INTEGRALES DE RIEMANN

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1 NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00

2 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..- DIFERENTES TIPOS DE INTEGRALES.3.- INTEGRAL DE CAUCHY.4.- INTEGRAL DE CAUCHY II.5.- INTEGRAL DE RIEMANN

3 .- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN Es cocepto itegral, es uo de los desarrollos básicos del Aálisis Matemático. Sus orígees se remota al tiempo de los griegos para resolver problemas aislados de cálculo de áreas y volúmees. La evolució de la itegral pasa por ANTINOFONTE ( 430 AC Area del círculo) EUDOXO ( AC Volume de la pirámide y del coo) EUCLIDES ( Aprox 300 AC Elemetos: Recopilació de cálculos de Areas y Volúmees) ARQUIMEDES ( 87- AC Area de la parábola). KEPLER ( DC Volume de toeles) GALILEO ( -638 DC Itegració para la ley de caída de los cuerpos). CAVALIERI ( DC Volume de toeles). La itegral es u úmero que e su esecia es ua suma al límite. Es u cocepto aterior al de derivada. Cuado ésta se desarrolló (circa 700) permitió avazar e el cálculo de Itegrales por medio de primitivas (Regla de Barrow) que por supuesto o es el úico método...- DIFERENTES TIPOS DE INTEGRAL La defiició de Itegral ha sufrido modificacioes y perfeccioamietos sucesivas para ampliar sus aplicacioes. A las distitas defiicioes se las llamará: I. Cauchy I. Cauchy II I. Riema I. Lebesgue cada ua de las cuales icluye como caso particular a las otras, e orde sucesivo. Las Itegrales Impropias, objeto de este estudio e cuato a su defiició, existecia y cálculo, so u caso particular de la Itegral de Lebesgue, y extesió de la Itegral de Riema.

4 Se tratará a cotiuació las defiicioes de itegral de Cauchy (I y II) y de Riema..3.- INTEGRAL DE CAUCHY (IC) La itegral de Cauchy (IC) es u úmero real que se obtiee a partir de las hipótesis de que la fució f es cotiua sobre u itervalo acotado [a,b] Para defiir el úmero real que la IC se toma ua partició del itervalo [a,b]: a = x < x < x 3 <...< x k <x k+ <...< x < x + = b y e cada uo de los elemetos de la partició se elige u puto itermedio ξ k. La itegral de Cauchy se defie como el límite de la sumatoria del área de los rectágulos f(ξ k ) x k cuado el máximo x k 0 Def. Itegral de Cauchy H H d(a,b)<m f C/[a,b] b aic f(x) dx := lim max x 0 k f(ξ k ) x k Obs: Si se desea idicar la variable x la itegral se escribe: b aic f := b aic f(x) dx pero, ótese que la itegral o depede de la variable x i tampoco de la diferecial dx. La otació clásica co dx sugiere el cálculo de itegrales por la Regla de Barrow por Primitivas, que o se puede usar e todos los casos. No olvidar que la Itegral es u úmero que se obtiee por ua suma al límite.

5 Para que la defiició de la Itegral de Cauchy tega setido, debe asegurarse la existecia del límite de la sumatoria que la defie. Ello se demuestra a partir de la cotiuidad de la fució sobre u itervalo acotado. T.- H d(a,b)<m H f C/[a,b] lim max x 0 k f(ξ k ) x k D.- Llamado M k, m k a los extremos superior e iferior de f e el itervalo x k, x k+ estos siempre existe por la cotiuidad de f e u itervalo acotado: f C/[a,b] M k := sup f/[x k x k+ ] m k := if f/[x k x k+ ] Se acota etoces: s 0 := m k f(ξ k ) M k m k x k f(ξ k ) x k M k x k =: S 0 Tomado ua ueva partició que subdivida la aterior: e cada subitervalo existe uevos extremos que cumple m k m k f(ξ k ) M k M k etoces resulta s 0 := s := m k x k f(ξ k ) x k m k x k f(ξ k ) x k M k x k =: S 0 M k x k =: S repitiedo el proceso co particioes sucesivas se puede formar dos sucesioes s p y S p s p := m (p) k (p) x k f(ξ (p) k) (p) x k M (p) k (p) x k =: S p

6 Las dos sucesioes cumple s 0 s... s p s p+ S p+ S p... S S 0 Es decir s p es moótoa o decreciete, acotada superiormete por S 0 y S p es moótoa o creciete, acotada iferiormete por s 0 Por el teorema de Weierstrass ambas tiee límite s p S p s p + p + S Ambos límites so iguales porque S p s p = ( M (p) k - m (p) k ) (p) x k Ua fució cotiua sobre u itervalo acotado cumple f C/[a,b] M (p) k - m (p) k < ε Por lo tato S p s p = ( M (p) k - m (p) k ) (p) x k < S = s Lo cual lleva a que los dos límites so iguales ε (p) x k = ε (b-a) Y por lo tato las sucesioes S p y s p defie u úmero real que es S = s. De esto se deduce que por la acotació s p := m (p) k (p) x k f(ξ (p) k) (p) x k M (p) k (p) x k =: S p existe el límite de la sumatoria lim max xk 0 f(ξ k ) x k = s = S úmero real que defie a la Itegral de Cauchy.

7 .4.- INTEGRAL DE CAUCHY II La itegral de Cauchy se extiede fácilmete para el caso de fucioes cotiuas por partes. Dada ua fució real f se dice que es cotiua por partes o por tramos sobre u itervalo [a b] cuado tiee ua catidad fiitas de discotiuidades de salto fiito Def. Fució Cotiua por partes f: [a b] R x f(x) f C/ [a b] - {si } f CP/ [a b] := + f(x ), f(x ) i <.. > f(x + ) - f(x ) < M La Itegral para este tipo de fucioes se defie como la suma fiita de itegrales de Cauchy del tipo I. Def. H H Itegral de Cauchy II para fucioes Cotiuas por partes. d(a,b)<m f CP/[a,b] b aic f(x) dx := d i + di IC i= f(x) dx

8 .5.- INTEGRAL DE RIEMANN Ua ueva extesió del cocepto de itegral se obtiee ampliado la hipótesis geeral al caso de fucioes acotadas, mateiedo el itervalo fiito (acotado). Co la acotació de la fució puede reproducirse el proceso realizado e la demostració de la existecia de la IC salvo el caso que o pueda asegurarse que s = S. Partiedo de: H d(a,b) < M H f < M Se vuelve a reproducir el aálisis hecho para demostrar la existecia de IC Se toma ua partició del itervalo [a,b]: a = x < x < x 3 <...< x k <x k+ <...< x < x + = b Llamado M k, m k a los extremos superior e iferior de f e el itervalo x k, x k+ estos siempre existe por la acotació de f e [a b] f < M M k := sup f/[x k x k+ ] m k := if f/[x k x k+ ] Se acota etoces: s 0 := m k M k m k x k M k x k =: S 0 Tomado ua ueva partició que subdivida la aterior: e cada subitervalo existe uevos extremos que cumple m k m k M k M k etoces resulta

9 s 0 := s := m k x k m k x k M k x k =: S 0 M k x k =: S repitiedo el proceso co particioes sucesivas se puede formar dos sucesioes s p y S p s p := m (p) k (p) x k M (p) k (p) x k =: S p Las dos sucesioes cumple s 0 s... s p s p+ S p+ S p... S S 0 Es decir s p es moótoa o decreciete, acotada superiormete por S 0 y S p es moótoa o creciete, acotada iferiormete por s 0 Por el teorema de Weierstrass ambas tiee límite s p S p p + p + s S Aquí o se puede probar que los dos limites s y S sea iguales: pero como p S p s p 0 solamete se puede asegurar: s S Etoces e el caso que se cumpla la Igualdad Itegral de Riema s = S existe u úmero real que es por defiició la Def. Itegral de Riema H d(a,b) < M H f < M H 3 s = S b air f(x) dx := s = S

10 Obs.: Los valores s y S se llama Itegrales de Darboux iferior y superior respectivamete y se simboliza como: b aidi f(x) dx := s b aids f(x) dx := S Las itegrales de Darboux siempre existe. Etoces la Itegral de Riema existe cuado ambas Itegrales de Darboux so iguales. Es obvio a partir del aálisis del desarrollo hecho para la de IR que las fucioes itegrables segú la defiició de Cauchy (f C) y segú Cauchy II (f CP) tambié so IR. Alguos ejemplos de aálisis de IR so: Ejemplo. U ejemplo de ua fució co ifiitas discotiuidades (f CP) y que es itegrable segú Riema: f: [0 ] R x + x ] + ] N b air f = + i=0 (+ ) ( + ) = + i=0 (+ ) + = + i=0 + = + 3 = 3 5 Este es u ejemplo dode la itegral se calcula si hacer uso del cocepto de derivada, lo cual cofirma la idepedecia de los coceptos.

11 Ejemplo. U ejemplo dode o existe IR. La fució se llama de Dirichlet: Dirichlet: [0 ] R x 0 x Q x Q La fució de Dirichlet ( que e realidad o puede represetarse ) tiee, cualquiera sea la partició que se tome: s p := m (p) k = 0 M (p) m (p) k (p) x k = 0 S p := M (p) k x Por lo tato: s = 0 S = Las itegrales de Darboux que siempre existe so distitas y por lo tato o existe la Itegral de Riema.