con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

Transcripción

1 Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes iversas, resta divisió. Si embargo, sobre IR teemos defiida ua operació suma que sí es itera: (a, b ) IR, (a, b ) IR, (a, b ) + (a, b ) = (a + a, b + b ) IR, co operacio iversa la resta (suma de opuestos) ua operacio producto escalar, que o es itera, (a, b ) IR, (a, b ) IR, (a, b ) (a, b ) = a a + b b IR o admite ua operació iversa. Dotar a IR de ua operació producto itera, co u fucioamieto aálogo al fucioamieto del producto e IR crea ua ueva estructura coocida como el cojuto de los úmeros complejos o el cuerpo complejo. Esta operació producto se defie de la forma siguiete: (a, b ) (a, b ) = (a a b b, a b + b a ). Así, el cojuto de los úmeros complejos, C, está formado por el cojuto IR co dos operacioes básicas: suma + (la suma de IR ) el producto complejo (defiido arriba). Es decir, C = (IR, +, ). 9.. Forma biómica de u úmero complejo El producto (complejo) tiee por elemeto eutro (, 0), pues (, 0) (a, b) = (a, b) (, 0) = (a 0b, 0a + b) = (a, b) = (a, b). Pero tambié, (a, b) = (a, b) = (a, b), de hecho, para cualquier escalar λ, (λ, 0) (a, b) = (λa 0b, 0a + λb) = (λa, λb) = λ(a, b) luego puede idetificarse los elemetos (λ, 0) co los úmeros reales λ, es decir, (λ, 0) = λ a todos los efectos. Como (a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+(0, b) = a+b(0, ), haciedo (0, ) = i el úmero complejo se escribe (a, b) = a+ib, que se deomia forma biómica del úmero complejo. Del elemeto i se dice que es la uidad imagiaria. E la forma biómica, el producto se efectua como u producto de biomios habitual: (a+ib)(c+id) = ac+iad+icb+i bd = (ac bd)+i(ad+cb) = (ac bd, ad+cb) = (a, b) (c, d) si más que teer e cueta que i = ii = (0, ) (0, ) = (, 0) =. Co esta ueva otació, suele escribirse C = {a + ib : a, b IR} los elemetos de C se deota por = a + ib. Los elemetos de C se represeta e el plao IR que suele deomiarse plao complejo, al eje se abcisas se le deomia eje real al de ordeadas eje imagiario. Teoría de variable compleja.

2 9 El plao complejo Defiició 9. Si = a + ib es u úmero complejo, se llama parte real de al valor real Re() = a parte imagiaria al valor real Im() = b, es decir, = Re() + i Im(). Si la parte imagiaria de es cero, el complejo es u úmero real, suele idicarse co IR. Si la parte real de es cero se dice que es imagiario puro, suele idicarse co iir. El cero e C es el cero real (0, 0) = 0 + i0 = 0. Proposició 9. Sea C {0}, etoces existe u úico w C tal que w =. E efecto, si = a + ib w = { x + i, w = (a + ( ib)(x + ) i) ( = ) ax ( b ) + i(a + bx) ax b = a b x w = = + i0 el sistema bx + a = 0 = tiee solució b a 0 a b úica. Pero esto es cierto, pues b a = a + b 0 al ser 0. Si = a+ib, el iverso se deota por = ates, por = a ib = a i b. a +b a +b a +b viee dado, resolviedo el sistema propuesto 9.. Cojugado de u úmero complejo Defiició 9.3 Sea = a + ib u úmero complejo, se llama cojugado de al úmero complejo = a ib. Propiedades 9.4 Sea, w C, etoces a) =. b) = = a + i0 IR; = = 0 + ib iir. c) + = Re(); = i Im(). d) + w = + w; w = w; = (). Si = a + ib w = c + id, se tiee que: a) = a ib = a + ib =. b) = a ib = a + ib { a=a b=b b = 0 = a; = a ib = a ib { a= a b= b c) + = (a + ib) + (a ib) = a = Re(); = (a + ib) (a ib) = ib = i Im(). a = 0 = ib. d) + w = (a ib) + (c id) = (a + c) i(b + c) = + w; w = (a ib)(c id) = (ac ( b)( d) + i( bc ad) = (ac bd) i(bc + ad) = w; () = (a ib) = i a +( b) a b = a a +( b) a +b + i b = a a +b i = a +b a +b. b 6 Teoría de variable compleja.

3 9. Forma polar de u úmero complejo 9..3 Módulo de u úmero complejo Defiició 9. Sea = a + ib C u úmero complejo. Se deomia módulo (o orma) de al valor real = + a + b. Nota: Es claro que si = a + ib = (a, b), se tiee que = (a, b), por lo que las propiedades de la orma real so válidas para el múdulo complejo. Propiedades 9.6 Sea, w C, etoces a) 0; = 0 = 0. b) + w + w ; w w. c) Re() ; Im() ; Re() + Im(). d) =. e) = ; = =. f) w = w ; =. a) b) c) So propiedades de la orma e IR. d) = a ib = a + ( b) = a + b =. e) = (a + ib)(a ib) = a ( b ) + i( ab + ab) = a + b = ; = = = = =. f) w = (ac bd) + (ad + bc) = a c + b d + a d + b c = (a + b )(c + d ) = w ; = = =. Defiició 9.7 Se llama distacia etre w al valor real d(, w) = w. 9. Forma polar de u úmero complejo Sea = a + ib = (a, b). U puto de IR queda perfectamete determiado mediate su distacia al orige r el águlo que forma co el eje polar (el semieje de abcisas positivo). Defiició 9.8 Sea = x + i u úmero complejo o ulo. Se llama argumeto de se desiga por arg() a cualquier úmero real que verifique que = x + i = cos + i se = (cos + i se ). Como las fucioes seo coseo so periódicas de período π, arg() está determiado salvo múltiplos de π. Co otras palabras, ha ua ifiidad de argumetos de, pero dos cualesquiera de ellos difiere e u múltiplo de π. Si ( π, π] se dice que es el argumeto pricipal de, escribiremos = Arg(). Etoces, todos los argumetos de so arg() = Arg() + kπ, co k Z. U úmero complejo C e forma polar suele deotarse como = r, dode r = = arg(); se tiee que = cos + i se = (cos + i se ). Teoría de variable compleja. 7

4 9 El plao complejo Proposició 9.9 Sea A 0 = { C : = x+i0, x 0} el semieje real egativo. El argumeto pricipal de u úmero complejo o ulo = x + i viee dado por la expresió Arg() = { arctg x+, si / A 0 π, si A 0 {0}. Si C {0}, co = x + i, el Arg() = es el águlo tal que tg = x. Pero esto o siempre es cierto e ( π, π], además, la fució iversa de la tagete arctg: IR ( π, π ) o abarca todo el itervalo ( π, π]. Resolvemos esto, de la maera siguiete: Puesto que img(arctg) = ( π, π ), para los valores de ( π, π) su águlo mitad sí está e el itervalo image, por tato, puede obteerse ua expresió para vía la arcotagete; obteida dicha expresió, basta multiplicar por para obteer ua expresió para e ( π, π). Podemos ecotrar la expresió de tg e fució de los x e de, usado u resultado de trigoometría básica que dice lo siguiete: E ua circuferecia de cetro O cosideremos dos A putos cualesquiera A B. Etoces si C es otro puto α cualquiera de la circuferecia que o esté sobre el arco AB, el agulo ACB r tiee la mitad de amplitud que el águlo AOB α. C π B r O r La prueba de este resultado o es dificil e geeral, e particular (es el caso que vamos a usar), es mu secilla si el puto se elige prologado uo de los radios hasta α = u diámetro de la circuferecia, es decir, si C es el diametralmete opuesto a uo de los ateriores, como e la figura adjuta. El triágulo ACO es isósceles (los lados AO CO so iguales) luego los águlos ACO OAC so iguales de amplitud α el otro águlo COA tiee amplitud π, luego α+π = π de dode α = α =. Volviedo al resultado que os ocupa, si = x+i es u complejo co Arg() = ( π, π) cosideramos la circuferecia de cetro 0 radio, por el resultado aterior, el águlo co vértice e el complejo tiee de amplitud (ver figura 9. siguiete; aálogamete para los egativos). x / Fig. 9.. Costrucció de Arg(). x Usado ahora el triágulo de vértices, x, se tiee que tg = x ( ) = dode el deomiador o se aula (pues x + = 0 = x = x + i0 A 0, que tiee de argumeto π ). Por cosiguiete, cada C A 0 tiee Arg() ( π, π) co Arg() = arctg x+. x+, 8 Teoría de variable compleja.

5 9. Forma polar de u úmero complejo Completado, para los complejos de A 0 {0}, teemos Arg() = que es la expresió propuesta. { arctg x+, si / A 0 π, si A 0 {0}, Observació 9.0 Tambié puede tomarse para el Arg() la siguiete expresió Arg() = arctg x, si x > 0 π + arctg x, si x < 0 e 0 π + arctg x, si x < 0 e < 0 π, si x = 0 e > 0 π, si x = 0 e < 0. Basta teer e cueta que para los complejos del ō cuadrate (x < 0, > 0) la tg = tg( π), para los del 3 er cuadrate (x < 0, < 0) la tg = tg( + π) para los de la recta imagiaria (x = 0) ha que poerlos expresamete pues o puede dividirse por 0. Operacioes multiplicativas e forma polar 9. Si = r w = r, teemos los siguietes resultados: a) = r ; = (r ). b) w = (rr ) + ; w = ( r r ). c) = (r ). Las pruebas so secillas usado que = r(cos + i se ) que (cos + i se )(cos δ + i se δ) = cos cos δ se se δ + i(se cos δ + cos se δ) = cos( + δ) + i se( + δ). ( ) a) = r(cos i se ) = r cos( ) + i se( ) = r. = = = r( cos( )+i se( )) r = r ( ) cos( ) + i se( ) = ( r ) = (r ). b) w = r(cos + i se )r (cos + i se ) = rr ( ) cos( + ) + i se( + ) = (rr ) +. w = w = r ( r ) = ( r r ). c) = r r ) r = (r ) + ) + = (r ). E particular se verifica la fórmula de Moivre: (cos + i se ) = cos + i se. 9.. Raices complejas Proposició 9. U complejo 0 tiee raices -ésimas distitas. Si r = es u argumeto de, so precisamete = (r ) + kπ, para k = 0,...,. Teoría de variable compleja. 9

6 9 El plao complejo U complejo w es la raí -ésima de, si se verifica que w = ; es decir, si w = r arg(w) = arg() = + kπ (alguo de los argumetos de ). Luego w = r arg(w) = +kπ, co k Z; pero co todos estos argumetos sólo se obtiee úmeros complejos distitos, los mismos que se obtiee tomado los valores de k = 0,,...,. Es decir, existe, sólo, complejos distitos que so raices -ésimas de, que so ( = r cos +kπ ) + i se +kπ, co k = 0,...,. Observació 9.3 Es claro de la prueba aterior que las raices -ésimas de u complejo está distribuidas regularmete e ua circuferecia de radio. Por ejemplo, las raices quitas de = r π, so los úmeros complejos 3 (i) 0 = r π + π0 (ii) = r π + π (iii) = r π + π (iv) 3 = r π + π3 (v) 4 = r π + π4 = r π. = r 7π. = r 3π = r 9π = r π. = r π = r π que queda distribuidos como e la figura aeja... = r 3π = r 7π =rπ 3 3 = r 9π 4 = r π 0 = r π 9.3 Cojutos e el plao complejo Como C es el cojuto IR el módulo de u complejo coicide co la orma del puto como elemeto de IR, los cojutos so etoros, so abiertos cerrados, so acotados, si lo so e IR. Así: Defiició 9.4 Dados u úmero complejo 0 etoro de 0 de radio r al cojuto u úmero real positivo r, se deomia E( 0, r) = { C : 0 < r}. E el caso complejo, es usual deomiar a los etoros bolas o discos deotarlos tambié por B( 0, r) ó D( 0, r). Llamaremos etoro reducido (tambié bola o disco perforado ) al cojuto E ( 0, r) = { C : 0 < 0 < r} Se deomia etoro cerrado (bola o disco cerrado) al cojuto E( 0, r) = { C : 0 r}. Defiició 9. Se dice que u cojuto A C es acotado cuado A está coteido e ua bola co cetro e el orige, es decir, existe M > 0 tal que A E(0, M). 0 Teoría de variable compleja.

7 9.4 Ejercicios 9.4 Ejercicios 9. Comprobar que el producto de complejos es asociativo, comutativo distributivo respecto a la suma. Es decir, que a) (wv) = (w)v,, w, v C. b) w = w,, w C. c) (w + v) = w + v,, w, v C. 9. Siedo = x + i, hallar la parte real la parte imagiaria de a) 3+ i, b) 3, c) +i, d) i + +i, e). 9.3 Simplificar a) i 79, b) i, c) i, d) ( + i) ( i). 9.4 Sea P (X) = a X + a X + + a X + a 0 u poliomio real (a i IR). Probar que para todo w C se verifica que P (w) = P (w) deducir de ello que si w C es ua raí de P (X) tambié w es ua raí de P (X). 9. Sea = a + ib α = + +a β = + a. Probar que = ±(α + iβ), si b 0, = ±(α iβ), si b < 0. Hallar los valores de tales que = 3 4i. 9.6 Hallar los valores de tales que 4 =, directamete mediate la aplicació del ejercicio aterior. Usar el resultado para descompoer el poliomio real P (X) = X 4 + e producto de dos poliomios reales de grado (ver ejercicio 9.4). 9.7 Probar que 8 = ±i 8. Usar esto para ecotar los valores solució de la ecuació x + x + = Sea a, b, c C. Comprueba que = b± b 4ac a, dode por ± b 4ac deotamos las dos raices del complejo b 4ac, so las solucioes de la ecuació a + b + c = Represeta e el plao complejo los cojutos a) S = { C : i < }. b) S = { C : = }. c) S 3 = { C : i < ; Re() 0}. d) S 4 = { C : Im( + ) = 0}. Teoría de variable compleja.