INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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1 Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i + i + 4i i ) 4i Solució: a) b) c) d) e) f) i + + i i + i i) + i ) + i i + i + i) + i) + i) i) + i + i + i + i + i + i + i i) + i) 9 4 i i + ) + i ) 5 i) + i 4 + i + 4i i ) 4i 8 i) 65 ) + i 04 i 04 i 4 ) 60 i i i + i) 4i) i + 4i) 8 8 i i i i ) i 8i 6i + 8) i

2 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Si z x + iy, co x, y R, calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) z + z + 5, b) z, c) z, d) z + Solució: a) Como z + 5 x y xyi, [ ][ z + x + ) + iy x z + 5 y + 5) xyi ] x y + 5) + 4x y b) dode Así pues, A x y + 5) + 4x y, A [ x + )x y + 5) + xy ] + i [ yx y + 5) xyx + ) ] x xy + 5x + x y xy ) + iyx y + 5y x y xy) x + x + 5x y + xy + 5) + i y x y + 5y xy) z + z + 5 x + x + 5x y + xy + 5 x y + 5) + 4x y + i y x y + 5y xy x y + 5) + 4x y z z z 4 x y xyi x + y ) c) z x xy ) + ix y y ) xx y ) + iyx y) d) z + x + + iy x + iy x + ) + 9y Problema Ecuetra todos los úmeros complejos z que satisface las ecuacioes a) z 4i, b) z 4 i 0, c) z + ) 4 + i 0 Solució: a) Hay dos formas de hacerlo La primera es escribir 4i e polares como 5e iθ, dode θ arcta 4/); etoces z ± 5e iθ/ Ahora bie, ta θ taθ/) ta θ/) 4 ta θ/) taθ/) 0, de dode taθ/) ó taθ/) / E el primer caso 5e iθ/ α + i), de dode α ; e el segudo caso 5e iθ/ α i), de dode tambié α Elevado al cuadrado comprobamos que + i) + 4i y que i) 4i, así que la seguda es la solució correcta, luego z ± i) La seguda forma de hacerlo es e cartesiaas, es decir, como z x y +xyi, teemos el sistema de ecuacioes { x y, xy 4

3 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS La seguda implica y /x, que sustituida e la primera lleva a x 4 x x4 x 4 0 x ± 5 Como x > 0, de las dos solucioes la úica válida es x 4, es decir, x ±, y por lo tato, y /x Ecotramos así la misma solució que por el método aterior b) z 4 i e iπ/ implica que z e iπ/8 e ikπ/, co k 0,,, Como para esos valores de k es e ikπ/ ±, ±i, las cuatro solucioes de la ecuació so z ±e iπ/8, ±ie iπ/8 Ahora bie, usado las relacioes del águlo mitad, + cosπ/4) cosπ/4) e iπ/8 cosπ/8) + i seπ/8) + i, y como cosπ/4) / y, por tato, etoces ± cosπ/4) ± ±, + e iπ/8 + i y las solucioes de z 4 i so ) ) + + z ± + i, ± i c) z + ) 4 i e iπ/ implica que z + e iπ/8 e ikπ/, co k 0,,, Del apartado aterior se sigue que + e iπ/8 i y que, por tato, ) ) + + z + ± i, ± + i Problema 4 Halla los siguietes úmeros complejos: a) + i) 4, b) i), c) + i, d) + i, e) i, f) + i) + i), g) i, h) i /4, i) i) /4 Solució: a) Como + i e iπ/4, elevado a la cuarta potecia + i) 4 4e iπ 4 b) i) e iπ/ ) e iπ/ i c) + i ± /4 e iπ/8 ± /4 + + i )

4 4 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS d) Como i ±e iπ/4 ± + i)/, + i ± ± i x + iy Se trata de hallar x + iy, para lo cual elevamos la expresió al cuadrado, x y + xyi ± ) ± i, y obteemos el sistema de ecuacioes { xy ± 8, x y ± De la primera ecuació se sigue que y ±/ 8x, co lo que sustituyedo e la seguda que se covierte e la ecuació cuártica x 8x ±, x 4 ± ) x 8 0 De las dos solucioes para x de esta ecuació, la úica que es positiva es x ± + 8 ± ) ) ) ± + ± + 8 ± + 4 ± ) 8, 8 y por lo tato x ±8 /4 ± + 4 ± 8, y ±8 /4 ± + 4 ± 8 ±8 /4 4 ± 8 Así pues, defiiedo z ± 8 /4 4 ± 8 + ± + i 4 ± 8 ), podemos escribir + i ±z +, ±z

5 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS 5 e) Como i e iπ/, etoces i i) / ) / i) /4 e iπ/8 ω k 4, k 0,,, Ahora bie, e iπ/8 + i ), y ω k 4, i,, i para k 0,,,, luego i ± + i ), ± + i + ) f) Como ± i e ±iπ/4, + i) + i) / e iπ/4 + e iπ/4) + cosπ/4) } {{ } cosπ/4) Ahora bie, si 4k, si 4k +, cosπ/4) coskπ) ) k ; cosπ/4) coskπ + π/4) coskπ)cosπ/4) sekπ) seπ/4) )k ; }{{} 0 si 4k +, y si 4k +, cosπ/4) coskπ + π/) 0, cosπ/4) coskπ + π/4) coskπ) cosπ/4) sekπ) seπ/4) )k+, }{{} 0 así que ) k k+ si 4k, + i) + i) ) k k+ si 4k +, 0 si 4k +, ) k+ k+ si 4k + g) Como i e iπ/, etoces i ± e iπ/6 ± ) i ± ) i h) i /4 e iπ/8 e ikπ/, para k 0,,,, y como e iπ/8 + + i ) e iπ/ i,

6 6 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS etoces i /4 ik + + i ), k 0,,,, o sea, i /4 ± + + i ), ± i + ) i) i) /4 i /4, así que i) /4 ± + i ), ± + i + ) Problema 5 Demuestra que las raíces de la ecuació z a a 0) so los vértices de u polígoo regular Solució: Si c es ua de las solucioes de z a, etoces todas las solucioes so z cω k, co k 0,,,, siedo ω e iπ/ ua raíz -ésima de la uidad Todas las solucioes tiee el mismo módulo, z c, así que está sobre la circuferecia de radio c cetrada e el orige, y como etre cada par cosecutivo de ellas hay u águlo π/, forma los vértices de u polígoo regular de lados uo de cuyos vértices es c Problema 6 Comprueba que para cualesquiera z, w C se cumple las idetidades a) z w z + w Rezw) z w z + w Rewz), b) z w + z + w z + w ), c) zw z w z ) w ) Solució: a) z w z w)z w) z + w zw zw z + w zw zw z + w Rezw) La seguda desigualdad se sigue de que Re a Re a b) z w + z + w z + w Rezw) + z + w + Rezw) z + w ) c) zw z w + z w Rezw) z w + Rezw) z ) w ) Problema 7 Calcula el módulo de los siguietes úmeros complejos: a) z i + i)5 i) i), b) z i) 8 + 6i)

7 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS 7 Solució: a) z i + i 5 i + i b) z i 8 + 6i 00 Problema 8 Sea w ua raíz -ésima de la uidad o sea, w ) Comprueba que si w se tiee que a) + w + w + + w 0, b) + w + w + + w w Cuáto vale estas sumas si w? AYUDA: a) es la suma de ua progresió geométrica y b) de ua aritmetico-geométrica Solució: a) Como w, + w + w + + w w w 0 porque w por ser w ua raíz -ésima de la uidad Evidetemete, si w, b) Llamemos multiplicado esta ecuació por w, Si restamos fw) wfw) obteemos Como w, + w + w + + w fw) + w + w + + w ; wfw) w + w + + )w + w fw) wfw) w)fw) + w + w + w w w)fw) w w w, y como w, w)fw), de dode fw) w Evidetemete, si w f) Problema 9 Deduce las idetidades trigoométricas de Lagrage a) + cos θ + cos θ + + cos θ ) se + /)θ +, seθ/) b) se θ + seθ + + se θ se + )θ/ ) seθ/), seθ/) + ) siedo θ R tal que seθ/) 0 AYUDA: Suma la progresió geométrica + w + w + + w, y haz w e iθ

8 8 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Solució: De la progresió geométrica se sigue que, tomado w e iθ, co θ kπ, k Z, y usado la idetidad obteemos + w + w + + w w+ w, w, + e iθ + e iθ + + e iθ ei+)θ e iθ ei+)θ e iθ, e iθ e iθ/ e iθ/ e iθ/ ) ie iθ/ seθ/), + e iθ + e iθ + + e iθ e iθ/se + )θ/ ) seθ/) La divisió por seθ/) puede hacerse porque si θ kπ etoces seθ/) 0 ) a) Tomado la parte real de ), + cos θ + cos θ + + cos θ cosθ/)se + )θ/ ) seθ/) [ + se + /)θ ) ] seθ/) se + /)θ ) + seθ/) seθ/) b) Tomado la parte imagiaria de ), se θ + seθ + + se θ seθ/)se + )θ/ ) seθ/) Problema 0 Calcula las sumas a) cosα + θ) + cosα + θ) + + cosα + θ), b) seα + θ) + seα + θ) + + seα + θ) Solució: Los apartados a) y b) so la parte real e imagiaria, respectivamete, de Por otro lado, luego e iα e iθ + e iθ + + e iθ) e iθ + e iθ + + e iθ e iθ + e iθ + e iθ + + e )iθ) }{{} ei )θ/ seθ/) seθ/) e i+)θ/seθ/) seθ/), a) cosα + θ) + cosα + θ) + + cosα + θ) cos α + + ) seθ/) θ seθ/),

9 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS 9 b) seα + θ) + seα + θ) + + seα + θ) se α + + ) seθ/) θ seθ/) Problema Demuestra que para todo θ R se cumple la idetidad ) + i taθ + i taθ i taθ i taθ AYUDA: Emplea la fórmula de De Moivre Solució: Multiplicado umerador y deomiador por cos θ, ) + i taθ ) cos θ + i se θ cos θ + i se θ i taθ cos θ i se θ cos θ i se θ + i ta θ i ta θ, empleado la fórmula de De Moivre y dividiedo e el último paso umerador y deomiador por cos θ Problema Describe el subcojuto de C que cumple a) Imz + 5) 0, b) Rez + 5) 0, c) Imz + 5) Re z, d) Rez + 5) Imz i) Solució: Tomamos e todos los casos z x + iy a) Como z + 5 x + 5) + iy, etoces Imz + 5) 0 equivale a y 0 Se trata del eje real b) z + 5 x y xyi, por lo tato Rez + 5) 0 equivale a y x 5, que es la ecuació de ua hipérbola c) Imz + 5) Re z equivale a y x, es decir, ua recta que pasa por el orige d) Rez + 5) Imz i) equivale a x + 5 y, que es la recta y x + 6 Problema Sea z, z,,z C Prueba que z j z j Solució: Lo probaremos por iducció Si la desigualdad ua igualdad e este caso) es trivial Supogamos que z j z j y deotemos ζ z j Etoces, z j ζ + z ζ + z + Reζz ) ζ + z + ζ z ζ + z ),

10 0 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS así que y como por la hipótesis de iducció la desigualdad queda probada z j ζ + z, ζ z j, Problema 4 Si z, prueba que para todo a, b C se cumple az + b bz + a Solució: Por u lado, az + b a z + b + Reazb) a + b + Reazb); por otro bz + a b z + a + Rebza) a + b + Reazb), y ambos resultados coicide Problema 5 Dado a C tal que a <, demuestra que z < si y sólo si z a az < Solució: Por u lado z a z + a Reaz) y por otro az + a z Reaz), de modo que restado az z a + a z z a a ) z ) Como a <, el miembro derecho es positivo si y sólo si z <, y az z a > 0 z a az < Problema 6 Cosidera el úmero complejo z + i ) i ) a) Exprésalo e forma biómica y expoecial b) Prueba que z 4 z c) Halla las otras tres raíces cuartas de z d) Halla todos los úmeros complejos que so raíces cuartas de sí mismos

11 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Solució: a) Como + i e iπ/, z + i i eiπ/ + i b) z 4 e i8π/ e iπ+π/) e iπ/ z c) El apartado aterior demuestra que z es ua raíz cuarta de z Dada ua, las cuatro raíces cuartas se obtiee multiplicado ésa por, i,, i Etoces, las cuatro raíces cuartas de z so ) ) ± i, ± + i d) Que z sea raíz cuarta de z implica que z 4 z Obviamete z 0 es uo de esos úmeros Para hallar los demás dividimos la ecuació por z y obteemos z, cuyas solucioes so las raíces cúbicas de la uidad, z, e ±iπ/ Problema 7 Halla el lugar geométrico de los putos z del plao complejo que verifica z z z z, siedo z y z dos úmeros complejos distitos Solució: Se trata del lugar geométrico de todos los putos que equidista de z y z, y ese lugar es la recta que pasa por el puto itermedio etre ambos y es perpedicular al segmeto que los ue Se puede obteer la ecuació de la recta a partir de la codició dada, ya que ésta es equivalete a z z z z, es decir, x x ) + y y ) x x ) + y y ) x x x + x + y y y + y x x x + x + y y y + y x x )x + y y )y x x + y y ) x + x x x )x + y y )y x x ) + y y ) y + y ) Problema 8 Dados tres vértices, z, z, z, de u paralelogramo, halla el cuarto vértice z 4 opuesto a z Solució: z z 4 z Visualizado los complejos como vectores, de acuerdo co la figura está claro que z 4 z + z z ) + z z ) z + z z z

12 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema 9 Dados dos vértices, z, z, de u triágulo equilátero, halla el tercer vértice z Solució: z Por las propiedades de rotació de la multiplicació de complejos, z π/ z z z z )e iπ/ z e iπ/ z + e iπ/ )z E cartesiaas, dado que e iπ/ + i )/, z z + i ) + z i ) z + z ) + i z z ) z Problema 0 Sea ω j e πij/, co j,,,, las raíces -ésimas de la uidad a) Prueba que si m N, ωj m { 0, si m o es múltiplo de,, si m es múltiplo de b) Prueba que si Pz) a 0 + a z + a z + + a z es u poliomio de grado a lo sumo e z, etoces Pω j ) a 0 + a c) Utilizado el apartado aterior y la fórmula del biomio de Newto para + z), halla el valor de ) k k 0 Solució: a) ωj m e iπjm/ Si m es múltiplo de, etoces m/ k N, luego la suma aterior vale e iπjm/ e iπjk

13 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS E cambio, si m o es múltiplo de, etoces e iπm/, y la suma puede hacerse como ua progresió geométrica: e iπjm/ e iπm/) j e iπm/ e iπm+)/ iπm/ eiπm e iπm/ e 0 eiπm/ b) Por simple sustitució, Pω j ) a 0 + a ω j + + a k ω k j + + a ω j De los expoetes,,,, sólo es múltiplo de, luego por el apartado aterior todas las sumas se aula excepto la -ésima, que vale Así pues, Pω j ) a 0 + a c) Como + z) k0 ) z k Pz) k es u poliomio de grado, por el mismo razoamieto del apartado aterior, Pω j ) es la suma de los coeficietes cuyo ídice es múltiplo de, es decir Pω j ) k 0 ) k estamos usado el coveio de que m k) 0 si k > m) Como ωj, co j,,, so las tres raíces cúbicas de la uidad, ω j, e ±iπ/, ± i ), y Pz) + z), [ Pω j ) + ) + i + ) ] i [ ) ) ] + + i + i [ + e iπ/ + e iπ/] [ + cosπ/)] Así pues, k 0 ) k [ + cosπ/)],

14 4 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS dode si 0 mod 6, si mod 6, si mod 6, cosπ/) si mod 6, si 4 mod 6, si 5 mod 6 Problema Dados z, z,,z C o ulos tales que α θ < arg z j < α + θ para todo j,,,, co α R y 0 < θ < π/, etoces z j cos θ z j Solució: Segú el euciado, z k z k e iα ϕ k), θ < ϕ k < θ; etoces z j eiα k { z k e iϕ k } z k e iϕ k Re z k e iϕ k k z k cos ϕ k }{{} cos θ cos θ k z k, k k dode hemos utilizado que cos ϕ k cos θ porque 0 < θ < π/ Problema Determia las codicioes bajo las cuales la ecuació az +bz +c 0 tiee solució úica z z 0 y hállala Solució: Si cojugamos la ecuació az + bz + c 0 obteemos otra ecuació bz + az + c 0, que co la aterior forma el sistema { az + bz c, bz + az c, ) ) ) a b z c b a z c Este sistema tiee solució úica si y sólo si det ) a b 0 a b 0 a b b a

15 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS 5 E este caso, además, la solució se obtiee como ) z z a b a b b a ) c c ac bc ) b a ac bc, b a de dode z ac bc b a