EJERCICIOS RESUELTOS. t +

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1 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 49 EJERCICIOS RESUELTOS Calcula la tasa de variació media de la fució f() = + e los itervalos [, 0] y [0, ], aalizado el resultado obteido y la relació co la fució. La fució f() = + correspode a ua parábola como ya estudiaste el curso pasado, co vértice e (0, ) y simétrica respecto al eje OY, cuya represetació gráfica es: Y m = m = + 5 f( 0) f( ) t.v.m. [, ] = = 5 0 = 0 ( ) f( ) f( 0) 5 t.v. m. [ 0, ] = = = 0 O X Observa que las dos tasas da valores opuestos, que la t.v.m. e el itervalo [, 0] es egativa y correspode a u itervalo dode la fució es decreciete, mietras que la t.v.m. [0, ] es positiva y correspode a u itervalo dode la fució es creciete. Ua població de 00 bacterias se itroduce e u cultivo. Si su úmero crece segú la epresió (t) = 00( + l(t + )), sieto t el tiempo e horas. Calcula: a) El úmero y la tasa de crecimieto al cabo de 5 horas. b) El istate e el que la velocidad de crecimieto es de 00 bacterias/hora. a) Si t = 5 (5) = 00( l6) 77 bacterias. las 5 horas hay aproimadamete 77 bacterias. La tasa de crecimieto al cabo de 5 horas es la tasa de variació media de la fució e el itervalo [0, 5]. ( 5) ( 0) Ésta es: t.v.m. [0, 5] = = = 95, b) Puesto que la velocidad de crecimieto pedida correspode a ua variació istatáea, el istate solicitado se obtedrá determiado el valor de t para el cual la derivada de la fució vale 00. t 600t '( t) = t + = t + 600t '( t) = t 600t 00 0 t + = + = Ecuació de segudo grado de solució t = hora, que es el istate buscado. Por tato, trascurrida ua hora desde su iclusió e el cultivo, las bacterias se está reproduciedo a ua velocidad de 00 bacterias/hora. Tema 7. Derivada de ua fució 49

2 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 50 EJERCICIOS RESUELTOS Determia el puto de la fució f() = cuya recta tagete es paralela al eje OX. Para que sea paralela al eje OX, su pediete m será 0, luego hemos de buscar los putos que aule a la fució derivada f'(). f'() = = 0 = f( ) = 6, el puto será P(, 6) y la recta tagete y + 6 = 0. 4 Halla la derivada de la fució f() = utilizado la defiició de derivada. f ( + h) f ( ) + h ( + h ) ( + h + ) f'( ) = h 0 h h 0 h h 0 h( + h + ) ( + h ) ( ) + h + h h 0 h( + h + ) h 0 h( + h + ) h 0 h( + h + ) = = + h + h + h 0 0 sí pues, si f() = es f'() = 5 Halla la ecuació de la recta tagete y de la ormal a la gráfica de la fució f() = e =. El puto de tagecia es (, ), pues f() =. Como f'() = ( ) 6 = ( ) ( ) La pediete de la recta tagete m = f'() = La ecuació de la recta tagete es: 6 = 6 = ( ) 4 y + = ( ) y + = + + y = 0 La recta ormal tedrá pediete y su ecuació será: y + = ( ) y + = y 5 = 0 50

3 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 5 6 Cosidérese la fució f() = k + 6 k 8. a) Qué debe valer k si las rectas tagetes a la gráfica de f e los putos de abscisa y so paralelas? b) Determiar las ecuacioes de dichas tagetes. a) Para que las tagetes e los putos dados sea paralelas se debe verificar que f'() = f'( ) Como f'() = k + k etoces: f'() = f'( ) k + k = k 4 k de dode 6 = 9k k = 4. b) hora es f() = luego f'() = + 4 y sustituyedo: f'() = f'( ) = 0 y ésta será la pediete de la recta tagete. Los putos de tagecia so: P(, f()) y Q(, f( )), esto es: P(, ) y Q(, 8) luego las ecuacioes de las rectas tagetes so: E P: y + = 0( ) y = 0 E Q: y + 8 = 0( + ) y = Utilizar la diferecial para obteer razoadamete u valor aproimado de e 0,005. Sabemos que la diferecial de ua fució e u puto es ua buea aproimació al icremeto de la misma; es decir: f( 0 + h) f( 0 ) < f'( 0 ) d o bie: f( 0 + h) f ( 0 ) + f'( 0 )d Tomemos f() = e, 0 = 0, d =,005. Etoces: f(0,005) = e 0,005 f'(0) + f'(0)d = e 0 + e 0 0,005 = + 0,005 =,005 Halla la derivada de las siguietes fucioes: a) f() = ( + ) b) f() = cos c) f() = log d) f() = l + e) f() = se 5 (e ) f) f() = se a) f'() = ( + ) = 6( + ) b) f'() = cos ( se ) = 9 cos se c) f'() = 0 l l = l l 0 d) f'() = = e) f'() = 5 se 4 (e ) cos (e ) e = 5 e se 4 (e ) cos (e ) f) Escribiedo la fució dada como ua potecia de epoete fraccioario teemos: f() =, luego f'() = (se ) se cos = (se se cos (se ) ) se cos = = se4 se cos cos = = se se se E el formulario de la uidad tiees la epresió de la derivada de la fució y = ó y = f válidas para radicales de cualquier ídice. Tema 7. Derivada de ua fució 5

4 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 5 EJERCICIOS RESUELTOS 9 Debido a uas pésimas codicioes ambietales, ua coloia de u milló de bacterias o comieza su reproducció hasta pasados dos meses. La fució que represeta la població de la coloia al variar el tiempo (e meses) viee dada por: 06 0 t f( t) = et 06 t > Se pide: a) Calcula la tasa de variació media de la població e los itervalos [0, ] y [0, 4]. b) Halla la tasa de variació istatáea e t = 4, comparádola co la última tasa de variació obteida. Justifica los resultados obteidos. a) Las tasas de variació pedidas so: f( ) f( 0) t.v.m. [0, ] = = = f( 4) f( 0) 0 e 0 t.v.m. [0, 4] = = =,5 0 5 (e ) < 59764, b) La tasa de variació istatáea e t = 4 es la derivada de f e dicho puto. Como f'() = 0 6 e t f'(4) = 0 6 e E [0, ] o hay icremeto de la població luego es lógico que la tasa de variació sea cero e dicho itervalo. E [0, 4] la fució es epoecial de base e > así pues o debe sorpreder su crecimieto. La diferecia etre la tasa de variació e [0, 4] y la tasa istatáea e t = 4 se debe, precisamete, a que esta última se cosidera e el etremo superior del itervalo. 0 Se quiere vaciar u depósito de agua. Sea Q(t) = 00(900 + t 60t) la fució que describe el úmero de litros que queda e el depósito al cabo de t miutos de haber comezado a vaciarlo. a) Cuátos litros de agua tiee iicialmete el depósito?, cuáto tiempo tardará e vaciarse?, cuál es la fució que describe el úmero de litros que ha salido al cabo de t miutos de haber comezado a vaciarlo? b) Calcula la fució derivada de la fució Q y su valor e t = 0 y t = 0 miutos. Relacioa los resultados obteidos co la rapidez co la que se vacía el depósito. a) Iicialmete es cuado t = 0, luego hay Q(0) = litros. El depósito estará vacío cuado Q(t) = 0, es decir, cuado t 60t = 0 y esto sucede a los t = 0 miutos. La fució que describe el úmero de litros que ha salido será: S() = Q(t) = 000t 00t e el itervalo [0, 0]. b) Q'(t) = 00(t 60) es la fució que proporcioa la rapidez co la que se vacía el depósito. E t = 0 y t = 40 es: Q'(0) = 00(0 60) = Q'(0) = 00(40 60) = lo cual idica que la velocidad de vaciado dismiuye co el tiempo. 5

5 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 5 FORMULRIO Derivada de y = f() e = a f( a + h) f( a) f( b) f( a) Derivada de y = f() e = a f'(a) h 0 h b a b a Recta tagete a la gráfica de y = f() es = a Recta tagete a la gráfica de y = f() es = a y f(a) = f'(a) ( a) Reglas de derivació Fució Derivada Fució Derivada y = k y'= 0 y = y'= s = f + g s'= f' +g' p = f g p'= f' g + f g' f f' g f g' c = c' = g g y = y'= y = f y'= f f' y = f' y' = y = y' = f f y = y' = y = f y' = f' f f' y = y' = y = f y' = f y = a y'= a l a y = a f y'= a f l a f' y = e y' = e y = e f y' = e f f' f' y = log a y'= y = log a f y'= l a f la y = l y'= y = l f y'= y = se y' = cos y = se f y'= f' cos f y = cos y' = se y = cos f y'= f' se f y = tg y' = + tg = = sec y = tg f y'= f'( + tg f' f ) = cos cos f = f' sec f f' f Tema 7. Derivada de ua fució 5

6 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 54 EJERCICIOS FINLES 6 7 Halla la tasa de variació media de las siguietes fucioes e los itervalos que se idica. a) f() = 4 + e [, 4] b) f() = + e [, ] c) f() = e [, 5] d) f() = cos e [0, π] Sea la fució f() =. Halla la pediete de la recta secate a la gráfica de f que pasa por los putos de abscisas y respectivamete f() = f() = f() = f() = 8 cos + cos 8 f() = 7 7 f() = 5 6 se U móvil se desplaza segú la ecuació e = 4t + t 40 e e metros y t e segudos. a) Halla la velocidad media etre los istates t = 4 y t = 6 segudos. b) Halla su velocidad e el istate t = s f() = 9 + l f() = + se f() = 4 f() = Del 9 al 7. Utiliza la defiició de derivada para hallar la derivada de las fucioes siguietes e los putos que se idica. f() = 4 7 e = 0 f() = 6 e = f() =( 5) e = 9 0 f() = f() = + 6 f() = f() = e = 5 f() = + e = f() = + 6 e = + f() = e = f() = ( ) e = f() = ( ) 5 f() = ( ) f() = 5 se f() = cos f() = f() = e = 4 Del 8 al 7 Halla la fució derivada f' de la fució f dada e idica el cojuto dode f es derivable. f() = f() = Del 8 al 44. Ecuetra la ecuació de la recta tagete a cada ua de las siguietes curvas e el puto cuya abscisa se idica. y = e = 54

7 BXX5744_07 /6/09 4: Págia y = e = y = e = + y = + e = 4 y = + e = 0 + y = e = h) f() = tg + tg i) f() = 5 se j) f() = k) f() = e l) f() = se se m) f() = ( ) e ) f() = se tg 44 y = e = y = ñ) f() = tg 45 y = l( + ) e = 0 o) f() = sec Calcula las coordeadas del puto de la gráfica de la fució f() = 5 6 e el que la recta tagete forme co OX + u águlo de 5. Determia la ecuació de dicha recta tagete y la de la recta ormal e dicho puto. Determia las coordeadas de los putos de la gráfica de f() = e los que la recta tagete + es paralela a la recta de ecuació + y 8 = 0. p) f() = cosec ( ) q) f() = r) f() = se + cos s) f() = se + se + se t) f() = l ( 6) u) f() = l v) f() = se + cos 48 Halla la derivada de las siguietes fucioes: a) f() = ( ) se b) f() = c) f() = ( ) ( + 4) d) f() = se w) f() = l + Halla los putos de la gráfica de la fució f() = e los que la recta tagete tiee pediete: a) 6; b) 9. Se ha trazado la recta tagete a la gráfica de la fució f() = 6 + y se sabe que su pediete es. Halla el puto de tagecia. e) f() = se f) f() = se g) f() = cos 5 Halla la diferecial de las siguietes fucioes: a) f() = + b) g() = 5 se 5 c) h() = tg d) j() = Tema 7. Derivada de ua fució 55

8 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 56 EJERCICIOS FINLES Utiliza la diferecial para hallar ua aproimació del icremeto de volume que eperimeta u cubo de arista metro cuado ésta crece mm. Ua empresa estima que al producir uidades de u producto, las fucioes de costes e igresos (e uidades moetarias, u.m.) so: C() = ,05 I() = 000 0,05 a) Calcula las fucioes de costes e igresos margiales. b) Calcula el coste y el igreso margial cuado = 5000 uidades. Iterpreta el resultado. c) Obté la fució de beeficios y determia cuál debe ser la producció para que por su veta se obtega uos beeficios máimos. Halla los putos e los que la recta tagete a la gráfica de la fució f() = 4 + forma co el eje OX u águlo de 45. Se ha comprobado que la propagació de cierto rumor trascurre de acuerdo co la epresió (t) = 0,5t (t ), dode es el úmero de deceas de persoas que se va eterado y t el úmero de días trascurridos desde el iicio del mismo. a) qué velocidad se está propagado al seto día? b) Cuádo se estará propagado a razó de 40 persoas día? c) Cuáto tiempo tardará hasta que el rumor deje de propagarse? El aálisis del comportamieto de u determiado fármaco eige que se le someta a u proceso de cambio de temperatura. Para ello se itroduce ua dosis del mismo e ua cámara térmica que hace que la temperatura T del fármaco varíe e fució del tiempo t (e horas) segú la fució: T(t) = t 0t + 5t. Se pide: a) Cuál es la variació de temperatura del fármaco etre la primera y cuarta hora?, y etre el mometo de iiciar el proceso y la quita hora? b) qué velocidad cambia su temperatura a las 4 horas? c) E qué istate la temperatura varía a razó de 8 C/h? Determiar m para que la tagete de la curva y = (m + ) + m + e = sea paralela a la recta y + = 0. Deriva las fucioes siguiete: a) y = e b) y = + c) y = l d) y = + e) y = + f) y = e + + e ( + ) e g) y = h) y = i) y = ( ) j) y = ( )( + ) k) y = se ( + ) Ua epidemia de gripe se declara e ua ciudad; t semaas después el úmero de persoas afectadas viee dado por la fórmula B Gt ()= + e kt dode B es el úmero de persoas residetes e la ciudad susceptibles de cotagiarse. Si iicialmete u 0% de esas persoas había cotraído la efermedad, y cuatro semaas después ya la había cotraído el 50%, cuátas estará ifectadas a la octava semaa? 56

9 BXX5744_07 /6/09 4: Págia 57 UTOEVLUCIÓN La tasa de variació media de f() = + e [0, ] es: B C 0 D ada de lo aterior La pediete de la recta tagete a la fució f() = e el puto (, ) es. B C D ada de lo aterior La derivada de la fució f() = l es: y' = B y' = C y' = D ada de lo aterior 4 La ecuació de la recta tagete a f() = e el puto P(, 9) es: 9 y 8 = 0 B 9 9y = 0 C 9y 9 = 0 D ada de lo aterior 5 La derivada de la fució f() = ( ) 4 es: 4( ) B 8( ) C 8( ) D ada de lo aterior 6 La tasa de variació istatáea de f() = + e = es: B 6 C 6 D ada de lo aterior 7 La derivada de la fució f() = cos es: cos se B ( se ) C se cos D ada de lo aterior 8 La derivada de la fució f() = e se es: e se B cos e se C e se D ada de lo aterior 9 El puto de la fució y = + 4 dode la recta tagete es horizotal es: P(, ) B P(0, 0) C P(, 0) D ada de lo aterior 0 La ecuació de la recta ormal a la curva y = 4 5 e = es: + 7y + = 0 B + 7y = 0 C + 7y + = 0 D ada de lo aterior Tema 7. Derivada de ua fució 57