FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

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1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma ( p, w ) e el cual dos pares ordeados diferetes o tiee el mismo primer elemeto. P es u puto e el espacio umérico dimesioal w es u úmero real. FUNCIONES DE DOS VARIABLES SeaD u cojuto de pares ordeados ( x, ) de úmeros reales D R. Ua fució real de dos variables reales es ua regla que asiga a cada par ordeado ( x, ) e D u úico úmero real deotado por f ( x, ) El cojuto D es llamado el domiio de la fució el cojuto de todos los valores de la fució es el rago de la fució. E ua fució de dos variables se suele utilizar z (variable depediete) para represetar los valores de la fució f ( x:, ) z = f( x, ), dode x, so las variables idepedietes. z = f( x, ) La defiimos como ua fució dode {( p, z)/ z = f( x, ), P R z R} Gráficamete de cojutos de putos f : D R R EJEMPLO. Hallar f,3 f (, ) si (, ) x f x = x+ x f x, = x+ f,3 = = + = f,3 = f (, ) = ( )( ) + = = f (, ) = EJEMPLO. Hallar f ( x, ), f ( x, ), f,, f x, x f ( x ) ( x) ( x) ( ) x x f ( x, ) = a) f ( x, ) = = x x x ( )( ) si x = x x x x x b) f, = = ; c) sí f ( x, ) = = x x x f ( x, ) x EJEMPLO 3. Hallar los valores que toma la fució parábola Se tiee que = x costruir la gráfica de la fució F( x) f ( x, x ) f x, x = + etoces f x, = + x e los putos de la =. F x = f x, x = + x x = + x x

2 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 5 Ahora completamos cuadrados se tiee = x 4 5 parábola de vértice V, cua grafica es: 4 que os represeta ua EJEMPLO 4. Hallar el valor de la fució circuferecia Como z f ( x, ) x + = R x + x + z = x ( x + ) 4 4 x + x + = = = x x + 4 R z = f ( x, ) =. R 4 4. Como e los putos de la x + = R etoces FUNCIONES DE N VARIABLES La fució h= f( x, x,..., x ) la defiimos como ua fució f : R R de cojutos de putos dode{ ( p, h) / h= f( x, x,..., x ), P R h R} m f : R R ( x, x,..., x) f( x, x,..., x) Dode f( x, x,..., x ) se puede ver como: f( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x )... f m ( x, x,..., x ) Dode ha m fucioes del tipo: fi : R R NOTA: Gráficamete o se puede represetar ua fució de variable. EJEMPLO 5. 3 f : R R 3 ( x, z, ) f( xz,, ) = ( x +, z) Dode f ( xzpodía,, ) haberse escrito como vector columa : 3 3 x + x + x f( x,, z) = f( x, x, x3) = = z xx 3

3 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 3 DOMINIO Y RANGO El cojuto de parejas ordeadas para las cuales la regla de correspodecia da u úmero real se llama domiio de la fució. El cojuto de valores z que correspode a los pares ordeados se llama image o rago. FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Sea z f( x, ) ( p, z)/ z = f( x, ), P R z R = { } {(, ) / (, ) } { / (, ) (, ) } df = x R f x z R Rf = z R z = f x x R FUNCIÓN DE N VARIABLES Sea h ( x, x,..., x ) ( p, h) / h= ( x, x,..., x ), P R h R = { } {(,,..., ) / (,,..., ) } { / (,,..., ) (,,..., ) } df = x x x R f x x x h R Rf = h R h= x x x x x x R Normalmete o se específica cual es el domiio de la fució. Cuado éste es el caso teemos que cosiderar el domiio implícito. El domiio implícito de ua fució de dos variables es el cojuto más amplio de ( x, ) dode tiee setido evaluar la fórmula, el resultado es u úmero real. Muchas veces este domiio se represeta gráficamete. E el caso de dos variables la represetació es ua regió e el plao. Defiició. Sea f ua fució de dos variables. La gráfica de la fució f es el cojuto de todos los putos de la forma ( x,, z) dode z = f( x, ) ( x, ) Domf EJEMPLO 6. Sea la fució z f x x = (, ) = 6 Determie: a) Domiio de la fució, b) Rago de la fució Df = ( x, )/ x + 6, es decir, u disco cerrado co a) Claramete el domiio es { } cetro e el orige radio 4. Rf 0, 4 b) [ ] EJEMPLO 7. Hallar el domiio de la fució z f x x Como es ua fució poliómica el Df es todo el plao x = (, ) = + Grafique

4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 4 EJEMPLO 8. Sea la fució defiida por f( x, ) = + 4x 4 a) Hallar el domiio, b) Represételo gráficamete a) La fució está bie defiida es u úmero real cuado el radicado es maor o igual a cero, esto es: Df = {( x, )/ + 4x 4} b) Este cojuto se puede represetar e el plao. Es ua regió del plao limitada por la curva + 4x 4= 0 Es claro que uestra regió es el cojuto de putos ( x, ) que satisface la desigualdad + 4x 4 Este cojuto lo podemos ver como la uió de todas las curvas que está por ecima de ésta. E el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el domiio de la fució Para demostrar la solució evaluamos la desigualdad tomado u puto, si satisface la desigualdad etoces la regió que cotiee el puto de prueba es el cojuto solució, si o satisface la desigualdad etoces el cojuto solució a la desigualdad es la otra regió. EJEMPLO 9. Sea la fució defiida por f ( x, ) = x + x+ Hallar el domiio grafique El Df está defiido por todo el plao x EJEMPLO 0. Sea la fució defiida por la relació 3x + 5x f( x, ) = x determie el domiio grafique el domiio la fució. Para que la fució esté bie defiida sea u úmero real se tiee que cumplir que x 0 Df = ( x, ) R / x 0 { } La restricció es todo el plao salvo la recta x = 0

5 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 5 EJEMPLO. Ecuetre el domiio de la siguiete fució represételo gráficamete. x f( x, ) = x + Para que la fució esté bie defiida sea u úmero real se tiee que cumplir que: x+ 0 x 0 Df = ( x, )/ x+ 0 x 0 { } La primera restricció represeta todo el plao salvo la recta x+ = 0, la seguda restricció es el semiplao dode la variable x es o egativa, (semiplao a la derecha del eje x). Buscamos la itersecció de estos dos subcojutos de R para determiar el domiio de la fució. 5 x EJEMPLO. Sea la fució defiida por la relació f( x, ) = Determie: a) El domiio de la fució, b) Grafica del domiio Parte a) Para que la fució esté bie defiida sea u úmero real se tiee que cumplir que: 0 5 x 0 5 x Df= ( x, ) R/ f( x, ) = 0 5 x 0 f( x, ) R La primera restricció represeta todo el plao salvo la recta = 0, la seguda restricció es 5 x 0. Buscamos la itersecció de estos dos subcojutos de R para determiar el domiio de la fució EJEMPLO 3. Ecuetre el domiio de la siguiete fució represételo gráficamete. f ( x, ) = L(4 + x) Para que la fució esté bie defiida sea u úmero real se tiee que cumplir que: 4 + x> 0etoces: Df = { ( x, ) R /4 + x > 0} La represetació gráfica de esta regió del plao es u semiplao por ser ua desigualdad lieal. Para determiar el semiplao rápidamete, primero graficamos la recta, puteada pues los putos sobre la recta o satisface la desigualdad.

6 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 6 Recuerde la forma de comprobar la solució tomado u puto de prueba fuera de la recta, si este puto satisface la desigualdad el semiplao es dode está este puto, e caso que o se cumpla la desigualdad el cojuto solució es el otro semiplao. EJEMPLO 4. Ecotrar el domiio de la siguiete fució f ( x, ) = 6 4x La fució f está defiida e todos los putos ( x, )/4x+ 6. Es decir, el cojuto del domiio está defiido por todos los putos del iterior de la elipse icluedo la frotera como muestra la figura. x + = 4 6 CURVAS DE NIVEL. So el cojuto de putos del domiio dode la fució es costate. So las proeccioes de las curvas de altura costate de la gráfica de la fució sobre el plao ( x, ) Ua curva de ivel es la itersecció etre la superficie z = f( x, ) el plao z = k es decir Civel = {( x, ) R / f( x, ) = k} Las curvas de ivel de ua fució so de la forma f ( x, ) = k. U camio para represetar estas curvas sería ir dado valores a k para cada uo de ellos represetar la ecuació f ( x, ) = k EJEMPLO 5. Dada la fució, f ( x, ) = x + se pide: (a) dibujar su gráfica (b) costruir sus curvas de ivel, cuado k va desde hasta 5. Parte a:

7 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 7 Parte b: Las curvas de ivel de esta fució so de la forma f ( x, ) = k. Para cada uo de ellos represetar la ecuació cuado k va desde hasta 5. x + = ; x + = ; x + = 3; x + = 4; x + = 5. Obteemos las gráficas de esas 5 curvas de ivel: EJEMPLO 6. Dada la fució, sus curvas de ivel. f ( x, ) = 3x Determie: (a) Gráfica; (b) costruir 5 3x 0. = ; 3x 0. = ;3x 0. = 3;3x 0. = 4;3x 0. = 5 So parábolas paralelas abiertas hacia la derecha. x EJEMPLO 7. Dada la fució, f ( x, ) = + Determie: (a) Gráfica; (b) 4 9 costruir sus curvas de ivel. x x x x x + = ; + = 3; + = 4; + = 5; + = Se puede observar que cuado trazamos la gráfica e el plao ( x, ) todas las trazas e los plaos paralelos so elipses cogruetes.

8 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 8 EJERCICIOS PROPUESTOS. x + = > x f x+, x = x+ ) Determiar f ( x ) si f,( x 0) ) Hallar (, ) f x si 3) Sea z = x f x. Determiar las fucioes f z, si z = +, para x =. Determie el domiio de f (recuerde que para las gráficas se utiliza curvas puteadas para idicar cualquier parte de la frotera que o perteezca al domiio curvas cotiuas para idicar las partes de la frotera que perteezca al domiio. 4 4) f ( x, ) = ; 5) f ( x, ) = ; 6) f ( x, ) = x x + 4 x = = = + 0) f ( x, ) = x + ; ) f ( x, ) = x + 4 6; ) f ( x, ) = x 3) f ( x, ) = 4 4 x x ; 4) f ( x, ) = ; 5) f ( x, ) = 6 x 4 x x+ 7) f x, 6 x 4 ; 8) f x, x ; 9) f x, x 4 6 6) f ( x, ) = sex + ; 7) f( x, ) = l x+ ; 8) f x, = l x+ = ( ) = = ( ) 9) f x, l x ; 0) f( x, ) sex; ) f x, sec x x ) f ( x, ) x arccos ; 3) f ( x, ) arcse( x ) ; 4) f ( x. ) arctg + x = + = + = 5) f( x, ) = + x ; 6) f( x, ) = x + 7) f ( x, ) = x+ a a x, a> 0 ; 8) f( x, ) = x 9) f( x, ) = ; 30) f( x, ) = + x x + Hallar el domiio de las siguietes fucioes de tres argumetos. x+ + z z 3) f ( xz,, ) = ; 3) f( xz,, ) = ; 33) f( xz,, ) = x z x x+ + z 34) f ( x,, z) = l xz ; 35) f ( x,, z) = arcsex + arcse + arcse z 36) f( x,, z) = x z ; 37) f x,, z = 6 x 4 z 38) f x,, z = 9 x z ; 39) f x,, z = l x+ l + l z; 40) f ( x, z, ) = l ( 4 x ) + z; 4) f( xz,, ) = xzarccos( )

9 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 9 Determie domiio curvas de ivel e las siguietes fucioes 4) f ( x, ) = 6 x ; 43) f( x, ) = 6 x+ ; 44) f( x, ) = 6 x 45) f x, = x ; 46) f x, = 44 9x 6 ; 47) f x, = 4x + 9 = + 48) f x, x x 49) f ( x, ) = e Para,, e, 4,, e 4. 50) f ( x, ) = l xpara 0,,, 4,, 4. 5) z = x+ ; 5) z = x + ; 53) z = x ; 54) z = x; 55) z = + x+ x 56) z = x ; 57) z = ; 58) z = ; 59) z = ; 60) z = l x + x x x + 6) z = arcse x ; 6) u = x + + z; 63) u = x + + z 64) Se elabora ua caja rectagular cerrada co tres tipos de materiales de modo que 3 cotega u volume 6 pie. El material para la tapa el fodo cuesta $0.8 por pie cuadrado, el material para las partes delatera trasera cuesta $0.6 por pie cuadrado, el material para las otras dos caras cuesta $0. por pie cuadrado. a) Obtega u modelo matemático que exprese el costo total del material como ua fució de las dimesioes las partes delatera trasera. Determie el domiio de la fució. b) Cuál es el costo del material si las dimesioes de las partes delatera trasera so pie 4 pie, dode 4 pie es la altura de la caja? 65) Se elabora ua caja rectagular si tapa co u costo de material de $0. El material para el fodo cuesta $0.5 por pie cuadrado. a) Obtega u modelo matemático que exprese el volume de la caja como ua fució de las dimesioes del fodo. Determie el domiio de la fució. b) Cuál es volume de la caja si el fodo es u cuadrado cuo lado mide 3 pie? 66) U sólido rectagular del primer octate, co tres caras e los ejes plaos coordeados, tiee u vértice e el orige el vértice opuesto e el puto ( x, z, ) e el plao x+ 3+ z = 6. a) Obtega u modelo matemático que exprese el volume del sólido como ua fució de las dimesioes de la base. Determie el domiio de la fució. b) Cuál es el volume si la base es u cuadrado de lado.5 uidades? 4 67) El potecial eléctrico e u puto ( x, ) es V( x, ) volts V( x, ) =. 9 x Dibuje las curvas equipoteciales de V para 6,, ) La fució de producció f para cierto artículo está defiida por 3 3 f x, = 4x, dode x so las catidades de dos isumos. Dibuje u mapa de cotoros de f que muestre las curvas de producció costates para 6,,8,4.

10 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 0 69) Supoga que f es la fució de producció de cierto artículo, dode f ( x, ) uidades se produce cuado se emplea x máquias horas persoa está f x, = 6x, dibuje u mapa de cotoros de f que muestre las curvas de producció costate para 30,4,8,,6 dispoibles. Si 70) T( x, ) grados es la temperatura e u puto (, ) dode T( x, ) 4x x de ua placa metálica plaa, = +. Dibuje u mapa de cotoros de T que muestre las isotermas para,8,4, 0. 7) La presió de u gas e el puto ( x, z, ) del espacio tridimesioal es P( x,, z ) ( x ) atmósferas, dode,, 4 z P x z = e + +. Describa las superficies de ivel, deomiadas superficies isobáricas, de P para 4,3,,.. 7) El potecial eléctrico e u puto ( x, z, ) del espacio tridimesioal es V( x,, z ) 8 volts, dode V( x,, z) =. Las superficies de ivel de V se llama 6x z superficies equipoteciales. Describa estas superficies para 4,,. 73) Ua lata de refresco se costrue co ua evolvete lateral de hojalata, co tapa de alumiio. Dado que el costo de la tapa es de 0 Bs F por uidad cuadrada, 0 Bs F por uidad cuadrada para la base, de 30 Bs F por uidad cuadrada del evolvete. Costrua la fució de costo e fució del radio r la altura h.