Tema 1: Números Complejos

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1 Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto de todos los úmeros complejos se deota por C Diremos que dos úmeros complejos (a, b) y (c, d) so iguales si a = c y b = d U úmero real x puede ser iterpretado como el úmero complejo (x, 0) Por medio de esta ideticació podemos decir que R es u subcojuto de C Operacioes Suma: Si (a, b), (c, d) C, etoces (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Se comprueba que la suma tiee la propiedad asociativa, comutativa, posee elemeto eutro (0, 0) y cada (a, b) C, tiee opuesto ( a, b) Producto: Si (a, b), (c, d) C, etoces (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Se comprueba que el producto tiee la propiedad asociativa, ( comutativa, posee elemeto a eutro (1, 0) y cada (a, b) C {(0, 0)}, tiee iverso a 2 + b, b ) Además, el 2 a 2 + b 2 producto es distributivo respecto de la suma Uidad imagiaria Hemos dado ua deició especial de producto y os ecotramos co la siguiete situació (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) es decir, hemos ecotrado u úmero complejo cuyo cuadrado podemos ideticar co 1 Lo llamaremos uidad imagiaria y lo deotaremos co i Observemos el comportamieto de la uidad imagiaria i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i i 8 = 1 i 9 = i i 10 = 1 i 11 = i E cosecuecia, si N, teemos i = i r siedo r el resto de dividir etre 4 1

2 Si z = (x, y) C, etoces se puede escribir como sigue z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) (0, 1) x + y i Formas de represetar u úmero complejo Forma cartesiaa: z = (x, y) Forma biómica: z = x + y i Módulo y Argumeto de u Número Complejo Deicioes Dado u úmero complejo z = x+y i, se deomia parte real de z al úmero real x y se deota Re(z) Llamaremos parte imagiaria de z al úmero real y, lo deotaremos co Im(z) Así teemos z = Re(z) + Im(z) i U úmero complejo cuya parte real sea 0 será llamado imagiario puro Deició Dado el úmero complejo z = x + y i, se deomia cojugado de z al úmero complejo x y i y lo deotaremos z z = x y i Proposició Si z, w C, etoces se verica: (1) z + w = z + w (2) z w = z w (3) α z = α z co α R (4) z = z (5) z z = Re(z) 2 + Im(z) 2 (6) Re(z) = 1 (z + z) 2 (7) Im(z) = 1 2i (z z) (8) si z 0, etoces 1 z = z z z Deició A cada úmero complejo z se asiga u úmero real o egativo deomiado módulo de z que deimos como la raíz cuadrada positiva de z z y deotamos co z z = + z z Proposició Si z, w C, etoces se verica: (1) z = 0 z = 0 (2) z w = z w (3) Re(z) z, Im(z) z (4) z = z (5) z + w z + w (6) z w z w (7) Si z 0, etoces w = w z z Deició A cada úmero complejo o ulo z = (x, y) le asociamos u úmero real que deomiamos argumeto de z y que deimos como cualquier úmero real θ que verique x = z cos(θ) y = z si(θ) 2

3 Escribiremos arg(z) = θ Como las fucioes seo y coseo so fucioes periódicas, podemos armar que si θ es u argumeto de z tambié lo es θ + 2kπ co k Z Pero cada z C {(0, 0)} posee u úico argumeto e el itervalo ( π, π] que se deomia argumeto pricipal de z Deició Si z es u úmero complejo o ulo, podemos calcular su módulo y u argumeto de z y, e cosecuecia, podemos escribir z = x + y i = ( z cos(θ) ) + ( z si(θ) ) i = z ( cos(θ) + si(θ) i ) = z e θ i Esta última forma de represetar u úmero complejo es coocida como forma polar de z Nota La forma polar resulta muy útil para multiplicar y dividir úmeros complejos o ulos: si z = z e θ i y w = w e α i, etoces z w = z w e (θ+α) i z w = z w e(θ α) i Resume U úmero complejo o ulo z se puede represetar de las siguietes formas: Forma cartesiaa: z = (x, y) Forma biómica: z = x + y i Forma polar: z = z e θ i Potecias y Raíces de u Número Complejo Poteciació Sea z u úmero complejo o ulo y Z Llamaremos potecia -ésima de z y escribiremos z a z = z z, z 0 = 1 si 0 z = (z 1 ) si > 0 Fórmula de De Moivre (e θ i ) m = e (mθ) i co m Z Cálculo de potecias Si z = z e θ i es u úmero complejo o ulo y m Z, etoces z m = ( z e θ i ) m = z m ( e θ i ) m = z m ( e (mθ) i ) Radicació Sea z u úmero complejo o ulo y N Diremos que w C es ua raíz -ésima de z si w = z Si z = 1, hablaremos de raíces -ésimas de la uidad 3

4 Cálculo de raíces Cosideremos u úmero complejo o ulo z = z e θ i y N, pretedemos ecotrar u úmero complejo w = w e α i tal que w = z, esto es, w = z ( w e α i) = z e θ i w e (α) i = z e θ i Por tato, w = z y α = θ + 2kπ co k Z Como la fució seo y coseo so fucioes periódicas (2π), de los iitos argumetos que existe bastará cosiderar k {0, 1,, 1}, es decir, los argumetos θ, θ + 2π,, para costruir las raíces -ésimas de z distitas: θ + 2( 1)π w 1 = z e θ, w2 = z e θ+2π,, w = z e θ+2( 1)π Las raíces -ésimas de z reside e ua circuferecia cetrada e el orige y de radio z y determia los vértices de u polígoo regular de lados ( 3) Problemas Sesió 1 (PI) Efectuar las operacioes siguietes ( 1 (a) ) (2 3 i 12 ) i (b) (2 3 i)(3 2 3 i) (c) 3 + i 2 i (d) 5 i 5 + i (2 3i)(3 2i) (2 3i)(3 + 2i) (e) (f) (g) (1 i)2 i (1 + i) 2 (3 + 2i) (2 + i) 2 + i (PII) Desarrollado por las fórmulas del biomio de Newto calcular: ( (a) (1 i) 3 (b) ( 1 + i) i (c) 2 3 i (PIII) Hallar el valor x para que el producto (2 i)(x + 3i) sea u úmero imagiario puro (PIV) Hallar el valor de x para que el cociete 2 + xi sea u úmero real 3 i (PV) Hallar el valor de x para que el cociete 1 + 3i 1 + xi tega módulo 5 (P4)(pág 38) Prueba que z u z u (P6)(pág 38) Describe los siguietes subcojutos del plao complejo: (i) z 2 > z 3 (b) 1 z = z (c) z 2 = Im(z) 4 ) 7

5 (PVI) Demostrar que para cualesquiera úmeros complejos se cumple que: (1 z 2 )(1 w 2 ) = 1 z w 2 z w 2 Problemas Sesió 2 (PI) Calcula las potecias que se idica, efectuado las operacioes e forma polar, y expresado el resultado e forma biómica: (i) ( i) 6 (ii) ( ) 10 1 i 1 + (iii) (1 + 3 i) 3 3 i (1 + i) 2 (PII) Calcular: (a) i (b) (1 + i) 53 (c) i (P16)(pág 40) Calcular las raíces cúbicas de -i (P21)(pág 41) Calcular las raíces cúbicas de la uidad Si llamamos w y w a las dos raíces complejas, comprueba que se verica las relacioes siguietes: (i) 1 + w + w 2 = 0 (ii) w = w 2 (iii) w = (w ) 2 (iv) w w = 1 (PIII) Resolver las ecuacioes que se idica: (a) 4x = 0 (b) x 3 27 = 0 (c) x = 0 5