Eje I: Números y Operaciones

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1 Colegio Provicial de Educació Secudaria Nº Gregorio Álvarez Maestro Patagóico C I C L O Eje I: Números y Operacioes L E C T I V O ALUMNO: PROFESORA: MARÍA ELISA PALMAS

2 Eje I: Números y Operacioes Eje 1: Números y Operacioes (R) Uidad I: Revisió de los distitos campos uméricos (Naturales, Eteros, Racioales, Reales) co sus respectivas propiedades. 1 Uidad II: Poteciació y Radicació (Propiedades). Cocepto de úmero real. Extracció e itroducció de factores del radical. Operacioes co radicales; Adició, sustracció, multiplicació y divisió. Criterios de Evaluació: Resposabilidad y cumplimieto. Participació activa y productiva e clase. Lectura compresiva e iterpretació de cosigas e las distitas actividades. Utilizació de vocabulario específico. Utilizació de diversas estrategias para resolució de problemas aplicados a la vida real. Utilizació de diversos recursos bibliográficos y tecológicos para fortalecer la eseñaza apredizaje.

3 Eje I: Números y Operacioes Los úmeros racioales (Q) U úmero es racioal si puede ser expresado como cociete etre dos úmeros eteros. Los úmeros aturales y los eteros so úmeros racioales. a) 5 = 15 b) = 1 c) 6 = 0 5 d) 7 = U úmero racioal puede expresarse mediate ua fracció o ua expresió decimal. Las expresioes puede ser fiitas o periódicas. 1. Decidir si las siguietes expresioes so fiitas o periódicas. a) 5 b) 10 c) 5 d) 5 6 e) 7 f) 9 0 g) 11 9 h) 1 i) Qué determia e la fracció que la expresió decimal sea fiita o periódica?. Busca ua fracció equivalete cuyo deomiador sea ua potecia de 10 (o sea 10, 100, 1000,.) a) 5 = b) 9 = c) 7 0 = d) 00 = e) 5 50 = f) 8 =. Resolver a) = b) = c) = d) = e) = Expresioes exactas a) 0,5 = 5 b),5 = c) 1, 510 = Recordar: Expresioes periódicas Para operar expresioes periódicas, es ecesario trasformarlas e fraccioes irreducibles. Esto se logra co el método mecáico, como se muestra e los siguietes ejemplos: Periódicas Puras: a) 0, = 9 Periódicas Mixtas: a) 0, = 90 b) 0, 1 = 1 99 = 1 90 = 7 0 c), 6 = 6 9 b) 0,105 = = 9 = 8 = = d), 7 = 7 99 d) 1,6 =. Opera co fraccioes y expresa el resultado como fracció irreducible. a) 5. ( 15 ) = b) = c) 0,: = d) 1. ( 7 9 ) = e) 0, = = = = 1 90 = 1 0

4 Eje I: Números y Operacioes 5. Pasar a fracció los siguietes úmeros y ecotrar si es posible la fracció irreducible. a) 0, 6 = b)0,6 = c)1,16 = d)0,08 = e),5 = f)0,05 = 6. Represetar los siguietes úmeros racioales e la recta umérica. a) 1, 6 y 0,75 b) 0,8 y 1,9 7. Expresar los úmeros como fracció y resolver los cálculos, simplificado los resultados. a) 0,6 : 0,. (, ) + 5. (0,5 1) = d) (0, ) + (,5 1, 1 ): ( 5 6 ) = b)[( 0,75). 0, + 0,08 ]. ( 1 1) = e) ( 1 + 0,5). ( 1 0, ). (1 + 0,) = c) ( , 1 ) : ( 1 7., 1 ) + ( 1,1). (, ) = f) 0,5 +. 1, 6,5 + 0, 7 = Poteciació de úmeros racioales Potecia de ua fracció: ( a b ) = a b Expoete etero egativo: a = 1 a y (a b ) = ( b a ) Para calcular cualquier potecia de ua expresió decimal existe ua regla práctica La catidad de lugares de la potecia es igual al producto de la catidad de lugares de la base por el expoete. a) 0,0 = 0,0. 0,0 = 0,0009 lugares. lugares lugares b) 0,05 = 0,05. 0,05. 0,05 = 0,00015 = lugares lugares lugares 6 lugares. 8. Expresar como fracció y calcular: = 6 9. Calcular a) (0,) = b)(0,5) = c) 7 0, = d)(, 7 ) 0,5 = a) 8 1 = d) 5 = g) = b) 7 = e) ( 6) 1 = h) = c) 5 f) ( 9) = i) 1 8 =

5 Eje I: Números y Operacioes 10. Calcular a) ( 7 9 ) 1 = b) ( 1 10 )1 = c) ( 5 ) = d) ( 7 6 ) = e) ( ) = f) ( 5 ) = Recordado alguas propiedades de la potecia Potecia co expoete fraccioario: Para calcular potecias co expoetes fraccioarios, se p q descompoe la operació e ua potecia etera y u ua raíz, de esta maera: xq = x p (p etero, q atural y q 0). Si el ídice q es par, el radicado (x p ) debe ser mayor o igual a cero. 8 = 8 = ( 9 ) 1 = ( 9 ) = ( ) = 7 6 = Producto de potecia de igual base: Al multiplicar dos potecias de igual base, se escribe la misma base y se suma los expoetes y al dividirlas, se resta. ( 8 15 ). ( ) 8 = ( 15 ) 8 = ( 15 ) = ( 15 8 ) = = 5 Cociete de potecia de igual base: es ua potecia de la misma base, cuyos expoetes se obtiee restado los expoetes dados. ( 1 5 ) : ( 1 5 ) 1 = ( 1 5 ) ( 1) = ( 1 5 ) = Potecia de otra potecia: Para calcular ua potecia de otra potecia, se escribe la misma base y se multiplica los expoetes [( 1 ] ) = ( 1 6 ) = 79 [( ) ] = ( ) = ( 5 ) = 11. Resolver las siguietes potecias de expoete fraccioario desarrollado cada procedimieto a) ( ) 8 6 = b) ( 16 ) 1 = c) ( ) 1 = d)(11, 1 ) = Resolver aplicado propiedades a) (1, 7 ) (1, 7 ). (1, 7 ) = b)(0,69 ) (0,69 ) 11 6 =

6 Eje I: Números y Operacioes c) [( ) ] = d) ( ) 1 8. ( 7 ) 8. ( 7 ) = 5 Radicació de úmeros racioales Raíz de ua fracció: a b = a b Para calcular cualquier raíz de ua expresió decimal, existe ua regla práctica. La catidad de lugares de la raíz es igual a la catidad de lugares de la base dividida el ídice. a) 0,6 = 0,6, porque 0,6 = 0,6 b) 0,07 = 0,, porque 0, = 0,07 Si la catidad de lugares de la base o se puede dividir exactamete por el ídice, etoces, la raíz o es exacta: 0,; 0,009 y 0,6 o tiee aíz exacta. 1. Calcular las siguietes raíces a) 1 9 = b) 7 5 = c) 1 = d) = e) 0, Resolver = f) = g) 6 = h) 8 = 16 a) ( 9 : ) + ( ) : ( 0, 6 ) 8 1, 6 = b)(1, 6 ). 0, = c) ( 5 1, ) + 0, = d) 1 + 0,.0, (0, 7 + 1,7 ) = e) 0, (.0,7 8 5 ) = f).1, , = Propiedades de la radicació: La raíz es distributiva co respecto al producto y al cociete: a. b = a. b = =..5 0 = 0 a b ( 51) 8 = ( a b ) = ( ( 51) ) 8 6 = 8 = Raíz de raíz: la raíz eésima de la raíz eésima de u úmero real, es igual a la raíz eésima de dicho úmero.

7 Eje I: Números y Operacioes m a m. = a 81 a = 81.. = a = = a 6 Simplificació de radicales: simplificar u radical es ecotrar otro radical de igual valor pero de meor ídice. Para simplificar ua raíz se divide el ídice y el expoete por el mismo úmero. 65 = 5 6. b 8 6: : 5 : = 5 = :. b 8: =. b Si el radicado es u poliomio, éste debe ser reducible a potecia de otra potecia para probar si la simplificació es posible. a + ab + b : = (a + b) : = (a + b) Reducció de radicales a comú ídice: si varios radicales tiee ídices siempre es posible reducirlos a otros tatos, respectivamete iguales a los dados que tega el mismo ídice. El ídice comú, es decir, cualquiera de los múltiplos comues de los ídices dados. ab ; a; Extracció de factores fuera del radical: para extraer u factor fuera del radical, se divide u expoete del factor por el ídice, el resultado es el expoete del factor fuera del radical y el resto de divisió es el expoete del factor que queda detro del radical. a 8 b 7 c = a b bc Los úmeros reales (R) U úmero es irracioal cuado o puede ser expresado como el cociete de dos úmeros eteros, y su expresió decimal tiee ua catidad ifiita de cifras o periódicos. Todas las raíces o exactas so úmeros irracioales. a) = 1,115 b) 1 =,898 c) 0,9 = 0,9868 Se puede determiar u úmero irracioal a partir de ua ley de formació. a) 0, b) 1, c) 0, El úmero π =, es irracioal Los úmeros racioales y los irracioales determia el cojuto de los úmeros reales (R) 1. Decidir si el resultado de las siguietes operacioes es racioal o irracioal. Justificar. a) b) 8. c) 15 6 d) 0: 5. Aproximar las siguietes raíces co ℇ < a) 9 b) c) 0,. Ecotrar u valor de a para que el resultado de la operació cumpla co la codició pedida. a) a + 7 es racioal si a = d) 9a es irracioal si a = b) 1 a es irracioal si a = e) 5 a es irracioal si a = c) 6. a es racioal si a = f) 5: a es irracioal si a =

8 Eje I: Números y Operacioes El cojuto formado por los úmeros racioales y los irracioales es el cojuto de los úmeros reales. 7 Propiedades del cojuto de los úmeros reales: Es ifiito. No tiee primero i último elemeto. Etre dos úmeros reales existe siempre u úmero ifiito de úmeros reales. El cojuto de los reales es deso. Nigú úmero real tiee atecesor i sucesor. El cojuto de los úmeros reales es u cojuto totalmete ordeado. Propiedad trasitiva de la igualdad Si a=b y b=c etoces a=c Propiedad comutativa de la suma y la multiplicació a + b = b + a + = + 7 = 7 a. b = b. a 7. ( ) = ( ). 7 8 = 8 Propiedad asociativa de la suma y la multiplicació a + (b + c) = (a + b) + c a. (b. c) = (a. b). c + ( + ) = ( + ) + 6. ( 1. 5) = (6.1 + (7) = (5) + ). 5 9 = 9 6. ( 5 ) = (6 ). 5 ( 0 ) = (0 ) 10 = 10 Propiedad del iverso Para cada úmero real, existe u úico úmero real deotado por a tal que: a + ( a) = ( 8) = 0 El úmero a es llamado iverso aditivo o egativo de a. Para cada úmero real, excepto el cero, existe u úico úmero real a 1 tal que: a. a 1 = 1 a. 1 a = 1 El recíproco de cero o está defiido Propiedad distributiva La multiplicació es distributiva co respecto a la suma (b + c). a = b. a + c. a ( + ). = = = 1 a. (b + c + d) = a. b + a. c + a. d a. (b + c) = a. b + a. c. ( + ) = = = 1 La divisió siempre es posible, excepto para el divisor cero.

9 Eje I: Números y Operacioes Itervalos reales U itervalo real es u segmeto o semirrecta de la recta real y se represeta como u par ordeado de úmeros ecerrados etre parétesis y/o corchetes. El úmero de la izquierda es el extremo iferior; y el de la derecha, es el extremo superior. E todo itervalo, el úmero ubicado a la izquierda debe ser meor que el ubicado a la derecha. El parétesis idica que o se icluye al extremo, y el corchete que sí se lo icluye. a) 1 < x < ( 1; ) c) x < [ ; ) e) x > (; + ) 8. Escribir los itervalos reales y calcular su amplitud cuado sea posible. a) x < 7 b) x < c) < x < d) 6 < x 1 e) x 5 f) 8 x 0 5. Escribir la expresió algebraica y represetar cada itervalo e la recta real. a) (-; ) c) [0;6] b) (-7;-] d) (- ; 5] e) (-;) f) (- ; 10) Números irracioales e la recta umérica Los úmeros irracioales o puede ubicarse exactamete e la recta umérica; salvo las raíces cuadradas, que se puede represetar por u segmeto 6. Pesar y respoder. Justificar a) Cuál es el valor de la diagoal de u cuadrado de? b) La diagoal de u cuadrado puede medir 50? c) Puede la diagoal de u cuadrado ser u valor racioal? d) Cuál es el valor de la diagoal de u rectágulo cuyos lados so y 6? e) Qué rectágulo o cuadrado tiee por diagoal 50? 7. Represetar las siguietes raíces e la recta real. a) 0 b) 6 8. Hallar los valores de a y b que verifique las siguietes costruccioes.

10 Eje I: Números y Operacioes 9 a) Operacioes co úmeros irracioales. Alguos úmeros irracioales se expresa exactamete mediate u radical, que es la raíz idicada de u úmero, siempre que esta tega solució real. Para operar co radicales, hay que aplicar propiedades. Radicales: Adició y sustracció Existe factores, detro de u radical, que puede ser extraídos si el expoete de los mismos es mayor o a lo sumo igual que el ídice de la raíz. Para ello debe aplicarse las propiedades de la poteciació y radicació. Extracció de factores fuera del radical: para extraer u factor fuera del radical, se divide u expoete del factor por el ídice, el resultado es el expoete del factor fuera del radical y el resto de divisió es el expoete del factor que queda detro del radical. a 8 b 7 c = a b bc 9. Extraiga factores del radical a) = c) 0,15 e) 6a = = g) a b 7 = b) 7c5 = d) 81a b 8 c 1 01c = f) 18a5 b 9 c 10 9bc 11 = h) 51a b c 15d 5 Radicales semejates: Dos radicales so semejates cuado tiee ídice y el mismo radicado. = Térmios co radicales semejates 5 5 y ;. y. Adició y sustracció de radicales Térmios co radicales o semejates 7 y 7; 5. y 7. ;. y 9. Sólo es posible sumar o restar térmios que cotiee radicales semejates = = (6 + ± 1). = = (5 + ). 6 + ( 9 + ). = Existe casos e los cuales ciertos radicales so semejates luego de llevarlos a su míima expresió = = = ( ). = = = + 5 = Colocar V (verdadero) o F (falso) segú correspoda. a) = 1 b) = 10 c)5 = 5 c) =0 d) + = e) = 11 f) Resolver correctamete las que so falsas. 11. Resolver las siguietes sumas y restas

11 Eje I: Números y Operacioes a) = b) + 5. = c) = d). b. a. b a = 1. Resuelva las siguietes sumas algebraicas a) = b) = 10 c) = d) = e) f) = Multiplicació y divisió de radicales Para efectuar cualquier multiplicació o divisió de radicales, estos debe teer el mismo ídice. La operatoria co radicales cumple co las siguietes propiedades. Distributiva de la multiplicació y divisió respecto a la suma y resta a. (b ± c) = (b ± c). a = ab ± ac (b ± c): a = b: a ± c: a. ( + 7) = = = + 9 = 1 ( 15 0): 5 = 15: 5 0: 5 = 5 = 5 = 5: 5 = 5: 5 = 7 Cuadrado de u biomio y diferecia de cuadrados (a ± b) = a ± ab + b (a + b). (a b) = a b ( ) = ( ). + ( ) ( ). ( 10 7) = ( 10) ( 7) = 10 7 = =. 6 + = 5. 6 Multiplicació y divisió de distito ídice Para que los ídices de dos o más radicales sea iguales, se debe calcular el mcm de los ídices de los radicales dados, obteiédose así el míimo comú ídice. a 6 y x mcm(; 6) = 1 ambos radicales debe teer ídice 1 a. = a. 1 = a y x = x 1. 1 = x Para multiplicar o dividir radicales de distito ídice, se los debe reducir a míimo comú ídice y luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicació respecto de la multiplicació y divisió. a. b. c d = a. a. = a.. = a. b. c d. a. 1. Resolver aplicado propiedades ( a b ) = a b co b 0 6 = = = = a 8 1. a 9 1 = a 8. a 9 1 = a 17 1 = a 1. a 5 1 = a. a 5 a). = b) 75: = c) 7. 7 = d) 1 : = e) 0. 5 = f) 8: 8 = 1. Reducir el radical a la míima expresió a) 8 b) 7 c) 5 d) 7

12 Eje I: Números y Operacioes 15. Resolver las siguietes operacioes a) = b) = c) ( 5 0): 5 = 11 d) 50 + = e) ( ) = f) ( 5 + ). ( 5 ) = g) (5 + ) = h) ( ) = i) ( + 6) 9 + = j) = 16. Reduzca a u ídice comú a) y b) a 5 y b c) 5 7 y 5 d) a b y 5c