Conjunto de Números. Contenidos. 1. Conjuntos Numéricos. Operaciones con Números Reales.

Transcripción

1 Programa Igualdad de Oportuidades. Cojuto de Números Coteidos 1. Cojutos Numéricos. Operacioes co Números Reales. 2. Múltiplos y Divisores. Máximo Comú Divisor y Míimo Comú Múltiplo.. Razoes y Proporcioes. Porcetaje. Regla de Tres. 4. Respuestas de las Prácticas. 5. Autoevaluació. Distribució de coteidos por clase: Clase Nº 1: Coteido 1. Clase Nº 2: Coteido 2. Clase Nº : Coteido. 18

2 Programa Igualdad de Oportuidades. 1. Cojutos Numéricos. Operacioes co Números Reales es el cojuto de los úmeros aturales. Sus elemetos so: 0, 1, 2,, 4, 5, 6,...,... La suma de úmeros aturales es u úmero atural. La adició de úmeros aturales satisface las propiedades comutativa, asociativa y tiee u elemeto eutro que es el 0. El producto de úmeros aturales es u úmero atural. La multiplicació de úmeros aturales satisface las propiedades comutativa, asociativa, distributiva respecto a la adició y tiee u elemeto eutro que es el 1. La sustracció y la divisió de úmeros aturales o siempre resulta u úmero atural. Así, al restar 5 y al dividir 12 5, la diferecia y el cociete o so úmeros aturales. es el cojuto de los úmeros eteros. Sus elemetos so:, 4,, 2, 1, 0, 1, 2,, 4, Luego La suma de úmeros eteros es u úmero etero. La adició de úmeros eteros es comutativa, asociativa y tiee u elemeto eutro que es el 0. x. Todo úmero etero tiee su opuesto o simétrico aditivo: el opuesto de x es Para sumar dos úmeros eteros debe tomarse e cueta sus sigos. Así: ( 2) + ( ) El producto de úmeros eteros es u úmero etero. La multiplicació de úmeros eteros es comutativa, asociativa, tiee u elemeto eutro que es el 1, se cumple la propiedad distributiva co respecto a la adició. Para multiplicar dos úmeros eteros debe tomarse e cueta sus sigos. Así: La divisió de úmeros eteros o siempre resulta u úmero etero. Así, al dividir 14, el cociete o es u úmero etero. 19

3 es el cojuto de los úmeros racioales o de las fraccioes. Programa Igualdad de Oportuidades. U úmero racioal es el cociete de dos úmeros eteros a b, co b 0 Luego Todas las operacioes de suma, resta, multiplicació y divisió (la divisió por cero o tiee setido) so cerradas e (siempre se obtiee u úmero racioal). La adició de úmeros racioales es comutativa, asociativa, tiee u elemeto eutro que es el 0 y todo úmero tiee su opuesto o simétrico aditivo. La multiplicació de úmeros racioales, es comutativa, asociativa, tiee u elemeto eutro que es el 1 y todo úmero diferete de cero tiee su iverso o simétrico multiplicativo: El iverso de a b es b a, a 0, b 0 es el cojuto de los úmeros irracioales Sus elemetos so los úmeros co desarrollos decimales ilimitados y o periódicos. Por ejemplo:, e 2, , , es el cojuto de los úmeros reales es la uió del cojuto de los úmeros racioales y el cojuto de los úmeros irracioales. Se verifica que Todas las operacioes de suma, resta, multiplicació y divisió etre úmeros reales so posibles, pues resulta siempre u úmero real. Sigos de Agrupació y Operacioes: existe u orde para realizar las operacioes si éstas aparece combiadas. Así: Si hay sigos de agrupació, los mismos se elimia de adetro hacia fuera. 20

4 Programa Igualdad de Oportuidades. Así, al efectuar : primero se realiza la operació detro de los parétesis, luego la de los corchetes y e tercer lugar la de las llaves. E cambio, al efectuar : primero se realiza la operació detro de las llaves, luego la de los corchetes y e tercer lugar la de los parétesis. Si hay operacioes combiadas, las mismas se realiza e el siguiete orde: 1º Las potecias 2º Las Multiplicacioes y las Divisioes º Las Adicioes y las Sustraccioes E cuato a la Relació de Orde e : sea a y b dos úmeros reales a es mayor que b: ( es el cojuto de los reales positivos). a es mayor o igual que b: a b a b a b El Valor Absoluto de u úmero real x se deota por x y se defie como: x si x 0 x x si x 0 0 si x 0 Si a es u úmero real y es u úmero atural (diferete de 0), a deota la Potecia Eésima de a, es decir, el producto de a por sí mismo veces. veces a a a a a... a a es la base y es el expoete. 0 a 1 1 a a y a 1 para a 0 a Si a es u úmero real y es u úmero atural (mayor que 1), a deota la Raíz Eésima de a. a 1 a b b a a es la catidad subradical y es el ídice de la raíz Si a 0 y es par, a o está defiida e Si a 0 y es impar, a b b a, co b 0 Si a 0 y es par o impar, a b b a co b 0 21

5 Programa Igualdad de Oportuidades. Si e a, es u úmero racioal de la forma p q, etoces (expoete fraccioario), co q, p, q 1. q a p p q a Propiedades de las Potecias: a m a m a b a b a a m a m a a m am Propiedades de las Raíces: (Siempre que esté bie defiidas) a 2 a m a m a a a a b a c a a b c 4 a a b a, b 0 b Cuidado! a b a b (el expoete o es distributivo). Cuidado! a subradicales diferetes). b a b (o se puede sumar raíces que tiee catidades a m a m a (NO se puede sumar los ídices de las raíces). a b a b (NO vale cacelar el ídice de la raíz co los expoetes e la catidad subradical) 22

6 Programa Igualdad de Oportuidades. Práctica I 1. Utilizado los símbolos de perteecia () y o perteecia (), idica a cuál cojuto perteece cada úmero de la siguiete tabla: ,02 8 6, Ordear de meor a mayor los siguietes úmeros reales: 2,5 ; 8 ; 1 ; 2 ; 2 ; 1 ; 2. Cuál de las siguietes fraccioes es mayor 5 ; 8 5 ; 1 5 ; 4 5? 4. Cuál de las siguietes fraccioes es mayor 7 ; 7 8 ; 7 9 ; 7 11? 5. Cuál de las siguietes fraccioes es mayor 7 5 ; 7 ; ; 11 ; 8 7? 6. Cuál de los siguietes úmeros es mayor 4 4 o 8 8? 7. Calcule el valor de las siguietes expresioes: a) b) Efectuar y simplificar: 2 4 a) b)

7 c) d) e) f) Programa Igualdad de Oportuidades Efectuar y simplificar: a) c) 5 b) 4 d) 81 e) 5 2 f) 4 g) 25 2 h) = i) j) k) 1 0,18 1 0,01 l) m) 1, ) o) q) s 1 t 1 s t t p) s r) 2 a 1 b 1 a b

8 Programa Igualdad de Oportuidades. s) t) 2 5 u) v) w) x) 5 64a 6 b 10 4a 12 b a 18 b 20 16a 24 b 4 = 10. Calcular el valor de las siguietes expresioes sustituyedo los valores de las letras por: a 2, b, c 5, x 7, y 12, 10, m 5, q 1 2 a) a b 2 b) a b 2 a 2 b c c) 2xy x 2x y 1 d) 2y x m 11. E las siguietes expresioes, las letras represeta úmeros reales o ulos, si está e el deomiador, y positivos si está elevados a ua potecia fraccioaria. Simplifíquelas y escríbalas de la forma más compacta posible. a) (2a 2 b c 4 ) (5a 1 b c 5 ) b) ((x 2 y 1 ) 2 ) c) 10r 2 s 50r s 1 2 2x5 y 2 d) 4x 2 y e) x y 1 a b a b 4 x y x y 6 6 y x a b 9 f) c d 6 4 g) x 2 y 4 x y 2 25

9 Programa Igualdad de Oportuidades. h) 7 x 8 y 9 z i) 125d 25d 6 = 12. Calcular 1 4 de Cuál es el valor de 1 0,21 1 0,01? 14. Cuátas horas so los 5 6 de u día? 15. Cuátos días so los 5 de los 2 de u año de 60 días? 16. Cuátas veces el úmero 2 cotiee a 1 4? 17. Cuátas veces x cotiee a 1 x? 18. Jua tiee u libro de 160 págias. Ayer leyó 1 4 de las págias y hoy leyó 1 4 del resto de las págias. Cuátas págias le falta por leer? 19. El promedio de otas de 20 estudiates es p y el promedio de otas de 10 estudiates es q. Calcular el promedio de otas de los 0 estudiates. 20. Ua parcela de 200m 2 represeta los de u terreo Cuál es la extesió 8 del terreo? 21. Al efectuar la operació , cuál es la cifra de las uidades?. 22. Dada la suma de las fraccioes Cuátos úmeros debe 12 suprimirse para que la suma de las restates sea 1? 2. Para que el valor de la fracció se duplique, restamos al deomiador u 5 cierto úmero. Cuál es este úmero? 26

10 Programa Igualdad de Oportuidades. 2. Múltiplos y Divisores. Máximo Comú Divisor y Míimo Comú Múltiplo Divisor, múltiplo, úmero primo, úmeros primos etre sí U úmero atural a 0 es u divisor de u úmero atural b si existe u úico úmero atural c tal que b c a. Tambié se dice que a divide a b, que b es múltiplo de a ó que b es divisible por a. Así: 2 divide a 10 (2 está coteido 5 veces e 10) ó 10 es múltiplo de 2 (10 cotiee a 2 cico veces) ó 10 es divisible por 2, porque 2 5 = 10 4 divide a 2 (4 está coteido 8 veces e 2) ó 2 es múltiplo de 4 (2 cotiee a 4 ocho veces) ó 2 es divisible por 4 porque 8 4 = 2 Número Primo es aquel úmero atural que admite úicamete dos divisores, el mismo úmero y la uidad. Ejemplo:,5, 7, 1 y 5. Se puede demostrar que todo úmero compuesto (o primo) se puede descompoer de maera úica e el producto de factores primos. Números Primos etre sí so dos o más úmeros aturales cuyo úico divisor comú es la uidad. Ejemplo: 7,12 y 15 so primos etre sí, ya que: Los divisores de 7 so: 1 y 7 Los divisores de 12 so: 1, 2,, 4, 6 y 12. Los divisores de 15 so: 1,, 5 y 15. El úico divisor comú etre estos úmeros es 1. U Número es Divisible por: 2 cuado es par (la cifra de las uidades es 2, 4, 6, 8 ó 0). Ejemplo: 14, 56, 14, 978 y 4002 so divisibles etre 2. cuado la suma de sus cifras es múltiplo de (, 6, 9, 12, 15, ). Ejemplo: 45, 84, 159, 78, 996 y so divisibles etre. 4 cuado es dos veces divisible por 2, o cuado las cifras de las uidades y las deceas so ceros o forma u múltiplo de 4 (4, 8, 12, 16, 20, ). Ejemplo: 500, 728, 1700, 456, y cuado la cifra de las uidades es 0 ó 5. Ejemplo: 105, 60, 975 y cuado es divisible por 2 y por. Ejemplo: 54, 192, 726 y Práctica II 1. Escribir dos úmeros de cuatro cifras que sea a la vez divisibles por y por 5 y que la cifra de las uidades o sea cero. 2. Cuál es el meor de los múltiplos comues a 6 y 8? 27

11 Programa Igualdad de Oportuidades.. Cuál es el úmero más grade que está coteido exactamete e los úmeros 0 y 24? 4. Cuál es el mayor factor primo de 52? 5. Cuál es la suma de los factores primos de 170? 6. Por cuátos elemetos está formado el cojuto de los úmeros primos meores que 1? 7. Tres úmeros primos p, q, r satisface las siguietes codicioes: p+q = r, 1< p < q. Cuál es el meor valor que puede teer r? 8. Por cuál úmero es siempre divisible la suma de aturales cosecutivos? 9. Cuál es el mayor úmero de 9 cifras distitas que es divisible por 18? 10. Si se desarrolla la expresió , cuál es el dígito de las uidades? 11. Cuál es el meor valor etero positivo que debe teer para que la expresió! 1 o sea u úmero primo? Míimo Comú Múltiplo El Míimo Comú Múltiplo de dos o más úmeros aturales, es el meor úmero atural que cotiee u úmero exacto de veces a cada uo de ellos. El míimo comú múltiplo (m.c.m) de 2 o más úmeros es igual al producto de todos los factores primos comues o o, co su mayor expoete. Ejemplo: Hallar el m.c.m de 48 y 60 Solució: Para hallar el m.c.m (48, 60) descompoemos cada úmero e sus factores primos: Luego realizamos el producto de los factores comues y o comues co su mayor expoete. m.c.m 48,

12 Máximo Comú Divisor Programa Igualdad de Oportuidades. El Máximo Comú Divisor de dos o más úmeros aturales, es el mayor úmero atural que los divide exactamete. El máximo comú divisor (M.C.D) de 2 o más úmeros es igual al producto de los factores primos comues co su meor expoete. Ejemplo: Hallar el M.C.D de 6, 60 y 72 Solució: Para hallar el M.C.D (6,60,72) descompoemos cada úmero e sus factores primos: Luego realizamos el producto de los factores primos comues co su meor expoete. M.C.D 6,60, Práctica III 1. Calcular el Máximo Comú Divisor y el míimo comú múltiplo de los siguietes úmeros: a) 64 ; 24 y 28 b) 1260 y 642 c) 150 y 77 d) a 2 b 2, a b y 9a 5 b 4 2. Cuátos úmeros de los 100 primeros úmeros aturales so divisibles por 2,, 4 y 5 simultáeamete?. Ua persoa camia u úmero exacto de pasos adado 650cm, 800cm y 100cm. Cuál es la mayor logitud posible de cada paso? 4. Ua persoa tiee Bs.F 8, otra tiee Bs.F 14 y ua tercera tiee Bs.F 18 e billetes de baco de la misma deomiació y del mayor valor posible Cuáto vale cada billete y cuátos tiee cada persoa? 5. Dos citas de 6m y 48m de logitud respectivamete se quiere cortar e pedazos iguales y de la mayor logitud posible. Cuál será la logitud de cada pedazo? 29

13 Programa Igualdad de Oportuidades. 6. Cuál es el meor úmero de cuaderos que se puede repartir exactamete etre 21, 24 ó 0 alumos? 7. Cuál es la meor capacidad de u depósito que se puede llear e u úmero exacto de miutos por cualquiera de tres llaves que vierte: la primera 10 lt por miuto; la seguda 12 lt por miuto y la tercera 0 lt por miuto?. 8. El úmero de veces que u alumo fue a la playa durate sus tres meses de vacacioes es el meor múltiplo comú de 2,, 4, 6, 8, 9 y 12. Cuátos días fue el alumo a la playa? 9. Ua campaa suea co 10 segudos de itervalo etre dos repiques, otra co 20 y otra co 24 segudos de itervalo. Si da el primer golpe simultáeamete, Después de cuátos segudos volverá a coicidir los repiques? 10. Cuatro barcos, B 1, B 2, B y B 4 hace cruceros por las islas del Caribe partiedo todos del Puerto de la Mar e Margarita. El barco B 1 emplea e el trayecto de ida y vuelta 6 días; B 2 emplea 7 días; B 10 días y B 4 14 días. Al cabo de cuátos días se vuelve a ecotrar los 4 barcos e Margarita? 11. La Costitució de u país establece que los alcaldes se elige cada 4 años, los goberadores cada años y el presidete cada 6 años. Si e 1998 coicidiero todas las eleccioes. E qué año vuelve a coicidir? 12. Tres perros arraca jutos e ua carrera e la que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segudos e dar ua vuelta a la pista, el segudo 11 segudos y el tercero 12 segudos. Al cabo de cuátos segudos pasará jutos por la líea de salida y cuátas vueltas habrá dado cada uo e ese tiempo? 1. Se desea colocar cerámica e u baño que mide 00 cm x 120 cm x 180 cm. Si se quiere evitar cortar baldosas, y se dispoe de los siguietes formatos: 20 cm x 20 cm; 45 cm x 45 cm; 60 cm x 60 cm; 180 cm x 180 cm. Cuál coviee elegir que sea del mayor tamaño posible? 14. E ua caja de 500 cm de largo, 160 cm de acho y 100 cm de alto cabe u úmero exacto de cubos de lado x. Cuáto vale x si se quiere que sea del mayor tamaño posible? 15. Si se tiee tres extesioes de terreo de 675 m 2, 1575 m 2 y 2275 m 2 respectivamete y se les quiere dividir e parcelas de igual extesió. Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el úmero de parcelas de cada extesió de terreo sea el meor posible? 16. Se tiee tres cajas que cotiee 1600 kg., 2000 kg. y 92 kg. de jabó respectivamete. El jabó de cada caja esta dividido e bloques del mismo peso y el mayor posible. Cuáto pesa cada bloque y cuátos hay e cada caja? 0

14 Programa Igualdad de Oportuidades.. Razoes y Proporcioes. Porcetaje. Regla de Tres Razó U par de úmeros que idica u determiado cociete etre dos magitudes se deomia razó. Ejemplo: 120 0, 6... El cocepto de razó es muy útil ya que se ecuetra presete e muchas situacioes de la vida diaria. E ua Uiversidad: la razó etre alumos y profesores, la razó etre mujeres y hombres, la razó etre profesores y persoal admiistrativo. Proporció Dos o más razoes iguales forma ua proporció. Ejemplo: Se lee 12 es 6 como 24 es 12. Tambié suele escribirse 12 : 6 : : 24 : 12 E la proporció , 6 y 24 se deomia extremos, 18 y 48 se deomia 24 medios. a c E toda proporció, b 0, d 0 se cumple que el producto de los b d medios es igual al producto de los extremos, es decir, a d b c. Y tambié se verifica a b c d a c b d. Porcetaje Se llama Tato por cieto de u úmero (se deota %) a ua o varias de las cie partes iguales e que se divide dicho úmero. 5 Decir 5% de ua catidad, es tomar ó 0,05 de ella. 100 El porcetaje se puede escribir utilizado otació fraccioaria o decimal: 5% 5 0 0,05 0% , 1 50% ,5 1 2 % ,005 1

15 Programa Igualdad de Oportuidades. Ejemplo: Qué sigifica el 5% de 200? Solució: 5% de 200 sigifica que 200 se ha dividido e 100 partes iguales (cada ua vale 2) y se toma 5 de ellas, es decir 10. Luego, 5% de 200 es % 2 se toma 1 2 de 400 sigifica que 400 se ha dividido e 100 partes iguales (cada ua es 4) y de ellas, es decir 2. Aumetos o dismiucioes sucesivas expresadas e porcetaje Es frecuete e las actividades de compra y veta realizar descuetos sucesivos. Si p 0 es el precio origial de u producto y x 1 %, x 2 % so dos descuetos sucesivos, etoces el precio fial p f del producto es: p f p x x 2 Si x 1% y x 2% so aumetos sucesivos, el precio fial p f se expresa así: p f p x x Práctica IV 1. De los 5 Bs.F que teía gasté el 85 %. Cuáto me queda? 2. Si el 80% del área de u rectágulo es 60m 2, etoces cuál es el área del rectágulo?. U campesio vede el 6 % de sus gallias y se queda co 74 gallias. Cuátas gallias teía? 4. Si Pedro tuviera u 15 % meos de la edad que tiee, tedría 4 años. Cuál es su edad actual? 5. Efectuar dos descuetos cosecutivos, primero de u 10% y luego de u 20%, es equivalete a efectuar u solo descueto de qué porcetaje? 2

16 6. De qué úmero es 12 el 8%? Programa Igualdad de Oportuidades. 7. De qué úmero es 20 el 0,05%? 8. La diferecia etre el 8% y el 5% de u úmero es 40. Calcular dicho úmero. 9. Qué porcetaje es 10 de 2600? 10. La calidad del oro se mide e quilates, que so veiticuatroavos del peso. El oro de 18 quilates cotiee 18 de oro puro. Cuál es el tato por cieto de oro puro e 24 ua cadea de 18 quilates? 11. Se tiee 9 litros de ua loció de afeitar que cotiee u 50% de alcohol. Cuál es el úmero de litros de agua ecesarios para covertirla e ua loció que cotega u 0% de alcohol? 12. U estudiate preseta u exame de 25 pregutas. El putaje es obteido asigado 4 putos a cada respuesta correcta y restado u puto por cada respuesta icorrecta. Si el estudiate obtiee ua ota que es el 70% del putaje máximo. Cuátas pregutas respodió correctamete? 1. Uo de los lados de u rectágulo mide 60 uidades y el otro 40 uidades. Si los lados meores aumeta su logitud u 60% Cuáto debe ser la medida de los otros lados para que el perímetro o cambie? 14. Determie el 20% del 40% de Cuáto vale x, si el 10% del x% de 00 es 60? 16. El 70% de los habitates de u país habla u idioma y el 60% de la misma població habla otro idioma. Qué porcetaje de la població habla los dos idiomas, sabiedo que cada habitate habla al meos uo de ellos? 17. Cuáto cuesta el almuerzo si el recibo es por Bs.F 2 y está icluidos el 10% de servicio y el 5% de cubierto? 18. La base de u triágulo mide 100 uidades y la altura 60 uidades. Si la logitud de la base dismiuye e u 20%. E qué porcetaje debe aumetar la altura para que el área o cambie? 19. Las pasas obteidas al secar ua catidad de uvas pesa el 2% del total del peso de las uvas. Qué catidad de uvas se debe secar para obteer 2Kg. de pasas? 20. Si u brillate de 2 kilates vale Bs.F 16. Cuáto valdrá u brillate de 8 kilates, sabiedo que el valor de u brillate es proporcioal al cuadrado del úmero de kilates? 21. Las edades de Álvaro y Luis so 10 y 15 años respectivamete. Cuál será la razó de sus edades detro de 5 años?

17 Programa Igualdad de Oportuidades. 22. Las edades de dos persoas so 18 y 27 años. Detro de cuátos años dichas edades estará e la razó de /4? 2. Pedro le dice a Pablo: La razó etre los caramelos que tego y los que tú tiees es :2. Si te regalo 10 caramelos la razó se ivierte. Cuátos caramelos tiee Pablo? 24. Jesús prepara ua paella e 45 miutos. Eiste tarda 60 miutos e hacer dicha paella y a Yelitza le lleva hacerla 50 miutos. E cuáto tiempo hará la paella si trabaja jutos? 25. Aa y Luisa realiza u trabajo por el cual cobra Bs.F 1,5. Si Aa cobra 2/5 de lo que cobra Luisa. Cuáto cobra Luisa? 26. E u curso de Biología, el 0% del curso obtuvo la calificació A, el 20% logró B, u 10% C y el resto logró D. Si esta iformació se represeta e u diagrama circular de radio 10 cm, cuál es el área del sector circular que represeta los que logra A? Regla de tres Es ua forma práctica de platear u problema de proporcioes cuado se cooce tres térmios (o más) y se requiere calcular el cuarto térmio (el quito, etc). La regla de tres puede ser simple o compuesta, segú el úmero de variables que itervega. Si iterviee sólo dos (2) variables se trata de ua Regla de Tres Simple. Si iterviee tres () o más variables, es ua Regla de Tres Compuesta. La Regla de Tres Simple puede ser directa o iversa, segú las variables ivolucradas sea directa o iversamete proporcioales respectivamete. Ua variable A es directamete proporcioal a ua variable B, si A = k B co k. Ua variable A 1 es iversamete proporcioal a ua variable B, si A = k co k. B Regla de tres simple directa Ejemplo: U acuario cotiee 9 litros de agua. El ivel del agua llega a ua altura de 10,8 cm. A qué altura llega el ivel del agua si e el acuario se ecuetra 15 litros de agua? Solució: Usualmete se platea el problema así: 9 l 10,8 cm 15 l x 15 l 10,8 cm x 18 cm 9 l La altura del agua llegaría a 18 cm. 4

18 Programa Igualdad de Oportuidades. Otras formas de resolverlo: Como ua proporció de variables directamete proporcioales: 9 10,8 15 x Como u problema de multiplicació y adició: si dividimos 10,8 cm etre 9 l obtedremos el úmero de cetímetros de ivel que correspode a u 1 litro 10,8 cm 1,2 cm 9 l l.como se tiee 15 l., al multiplicar 15 l 1,2 cm 18 cm l Regla de tres simple iversa Ejemplo: Ua cuadrilla de obreros ha hecho ua obra e 0 días trabajado 6 horas diarias. E cuátos días la habría termiado si hubiera trabajado 10 horas diarias? Solució: Usualmete se platea el problema así: 6 horas 0 días 10 horas x 6 h 0 días x 18 días 10 h Otras formas de resolverlo: 6 Como ua proporció de variables iversamete proporcioales: 10 x 0 Como u problema de multiplicació y adició: si trabajaro 6 horas diarias e 0 días, etoces trabajaro u total de 180 horas. Si dividimos este úmero etre 10 horas se obtedrá el úmero de días que se ecesita trabajar: 6 h 0 días x 18 días 10 h Práctica V 1. Si 4 cachorritos cosume 9 Kg. de alimeto por semaa. Cuátos Kg. debemos comprar para alimetar durate ua semaa a 12 cachorritos? 2. Si 4 litros de jugo cuesta 8 Bs.F Cuáto costaría 15 litros de jugo?. Si 4 hombres hace ua pared e 12 días. E cuátos días podría hacerla 6 hombres? 4. Dos grifos vacía u taque de agua e 24 horas. Cuátas horas será ecesarias para vaciar el taque si abrimos 6 grifos? 5

19 Programa Igualdad de Oportuidades. 5. Si leo 20 hojas cada día, ecesito mes y medio para leer cierto libro. Determiar el úmero de hojas que diariamete debo leer para cocluirlo e 2 días. 6. E ua fortaleza hay 240 soldados que tiee víveres para 44 días. Cuáto tiempo durará los víveres si les llega 50 compañeros? 7. Cuál es el alto de ua torre que da 120 m. de sombra si a la misma hora otra torre de 20 m. de altura da 50 m. de sombra? 8. Ua obra puede hacerse e 15 días trabajado horas diarias. Si se quiere termiarla e 6 días, cuátas horas habrá que trabajar diariamete? 9. U obrero tarda 12 5 ecesitará para termiar la obra? días para hacer 7 12 de ua obra. Cuáto tiempo 10. U automóvil emplea de hora e ir de ua ciudad a otra, a la velocidad de 0 m. Si la velocidad hubiera sido el triple. Cuáto tiempo meos hubiera tardado? Regla de tres compuesta Ejemplo: Se emplea 10 hombres durate 5 días, trabajado 4 horas diarias para cavar ua zaja. Cuátos días ecesita 6 hombres, trabajado horas diarias? Lo plateamos así: 10 hom. 5d 4h 6 hom. x h Se aaliza las variables ombres y oras e fució de la icógita (variables días ) para determiar si so directa o iversamete proporcioales. Así: Si 10 hombres cava la zaja e 5 días, 6 hombres lo hará e más días. Por lo tato, a meos ombres, más días (so iversamete proporcioales). Si trabajado 4 horas diarias, se cava la zaja e 5 días, co horas de trabajo diario se tardará más días. Por lo tato, a meos oras, más días (so iversamete proporcioales). A estas relacioes se les puede asigar u sigo, positivo (+) o egativo (-) segú la proporcioalidad. Así: hombres 5 días 4 horas 6 hombres X horas - 6 -

20 Programa Igualdad de Oportuidades. (- debajo y + ecima si so iversamete proporcioales; + debajo y ecima si so directamete proporcioales). 10hom.5d 4h Fialmete: x 6hom.h Es decir, se ecesita días. 200d d días Práctica VI 1. Si 4 hombres costruye 0 metros de pared e 11 días, e cuátos días 6 hombres costruirá 60 metros? 2. Se paga Bs.F 59 por el trasporte de 420 kg. de mercacías a ua distacia de 650 km. Cuáto se pagará por el trasporte de kg. de la misma mercacía a ua distacia de 760 km?. E u iterado de 145 alumos se cosume 870 kg de pa e 8 días. Cuátos kilogramos de pa e 10 días se cosumiría si el iterado tuviera 612 alumos? 4. Cuátos días tedrá que trabajar u obrero, a razó de 5 horas diarias, para gaar Bs.F 20 si por trabajar 6 horas diarias durate 10 días recibe Bs.F 240? 5. Ua calle de 50m de largo y 8m de acho se ecuetra pavimetada co baldosas. Cuátas baldosas será ecesarias para pavimetar otra calle de doble largo y cuyo acho es los 4 del acho aterior? 6. Veiticico hombres pavimeta 150 Km de ua carretera e 12 días trabajado 6 horas diarias. Cuátas horas debe trabajar 18 hombres para pavimetar 180 Km e 15 días?. 7

21 Programa Igualdad de Oportuidades. Respuestas Práctica I 2. 2, a) 7 ; b) a) 52 ; 17 b) ; c) 1 5 d) e) 5 16 f) a) b) c) d) 9 e) 2 f) 7 g) 125 h) 1 81 i) j) k) 18 l) 4 m) ) 6 5 ; o) s t 1 p) q) r) u) v) s) a 2 b 2 b a t) w) x) a 5 2ab 10. a) 17 b) 1 26 c) 6 d) a) -10a b 4 c b) y 6 x 12 c) 2s 5r 5 12 d) 2 x 2 y. x e) x 2 b 2 a 2 y f) 2 c2 d 4 12 g) x x 5 y x y h) x y 7 4 z i) 5d horas días 2 4 8

22 16. 8 veces , Programa Igualdad de Oportuidades. 2 x veces págias 19. 2p q 2 5 m Sólo uo 2. 2 Práctica II Práctica III 1. a) m.c.m = 144; M.C.D = 4; b) m.c.m = 14820; M.C.D = 6; c) m.c.m = 11550; M.C.D = 1; d) m.c.m = 9a 5 b 4 ; M.C.D = a 2 b 2. Sólo cm. 4. Cada billete es de Bs.F 2; 4 billetes, 7 billetes, 9 billetes m cuaderos 7. 60l días s días s; 66 vueltas, 60 vueltas, 55 vueltas 1. 60cm x 60cm cm m Kg. cada bloque; 100 bloques,125 bloques, 212 bloques 9

23 Práctica IV Programa Igualdad de Oportuidades. 1. Bs.F 0, m gallias años 5. 28% , 9. 5% % litros uidades x % 17. Bs.F 19, % 19. 6,25 Kg Bs.F 21. / años caramelos mi. 25. Bs.F 1, cm 2. Práctica V kg 2. Bs.F 0. 8 días 4. 8 horas hojas 6. 6,41 días 7. 48m 8. 7,5 horas / día 9. 9 días horas meos Práctica VI 1. 8 días 2. Bs.F 206, kg días baldosas 6. 8 horas 40

24 Programa Igualdad de Oportuidades. Autoevaluació. Cojuto de Números 1. Si todos los úmeros eteros so úmeros reales, etoces es cierto que: a) Todos los reales so eteros. b) Alguos eteros so reales. c) Nigú etero es real. d) Alguos reales so eteros. 2. Cuál de las siguietes fraccioes es más próxima a 2 1? a) 5 12 b) 8 15 c) d) Al efectuar 125 se obtiee como resultado: a) -25 b) 25 c) 1 d) La suma de los primeros eteros positivos pares es p y la suma de los primeros eteros positivos impares es q. Etoces p q es igual a: a) 1 b) c) d) 2 5. Si u úmero x es divisible por, cuál de las siguietes expresioes es divisible por? a) x+1 b) x+5 c) x+6 d) x+7 6. Para que el úmero 524A sea divisible etre, 6 y 9, la cifra A debe ser: a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 7. Cuál es el porcetaje de úmeros aturales que hay etre 7 y 26, ambos iclusive, que so múltiplos de 5? a) 4% b) 8% c) 20% d) 25% 8. El 10% de ua catidad es igual al 25% de 16. Cuál es esa catidad? a) 100 b) 80 c) 40 d) 24 41

25 Programa Igualdad de Oportuidades. 9. Nueve hombres puede hacer ua obra e 5 días. Cuátos hombres más hace falta para hacer la obra e u día? a) hombres más b) 11 hombres más c) 26 hombres más d) 6 hombres más 10. Se emplea 14 hombres para hacer 45 metros de ua obra trabajado durate 20 días. Cuáto tiempo empleará la mitad de esos hombres e hacer 16 metros de la misma obra, presetado esta obra el triple de dificultad que la aterior? a) 6 1 b) 8 4 c) 40 2 d) El diero que tiee dos persoas está e la razó 4:5 y ua de ellas tiee Bs.F 20 más que la otra. Cuáto diero tiee etre las dos?. a) Bs.F 80 b) Bs.F 90 c) Bs.F 100 d) Bs.F Los águlos iteriores de u triágulo so etre sí como 2::4. Cuál es la medida del águlo meor?. a)10º b) 20º c) 40º d) 60º 1. U trabajador A puede pulir u carro e 8 horas, otro trabajador B e 7 horas y otro C e 10 horas. E cuátas horas puede hacer el trabajo los tres jutos?. a) b) c) 25 d) Cuado u úmero atural se divide etre 15 el residuo es 7. Al sumar los residuos que se obtiee al dividir dicho úmero atural etre y etre 5 da como resultado: a) b) 5 c) 7 d) Cuál es el valor de a e la expresió: a 1? a) 4096 b) 600 c) 1 d)