LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

Transcripción

1 LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que ivolucra procesos ifiitos, o se desea realizar u estudio exhaustivo de ellas. iguiedo la tóica de la secuecia aterior, para aalizar la tedecia al ifiito de las series geométricas y por ede de los procesos ifiitos relacioados, se propoe que los alumos trabaje co ua calculadora cietífica co las características mecioadas e la secuecia aterior. Propósitos:. Itroducir el cocepto geeral de serie y e particular el de serie geométrica.. Determiar la eésima suma parcial de ua serie geométrica. 3. Ispeccioar la tedecia de la eésima suma parcial de ua serie geométrica cuado se vuelve ifiita. 4. Itroducir el cocepto de serie covergete y serie divergete. EL PROBLEMA DE LA CARRERA (PARTE 3) Ecotrar respuesta a las iterrogates: a) erá posible efectuar la suma co ua ifiidad de térmios ? E caso afirmativo, será cierto que el resultado es igual a? b) erá posible verificar que ? Que fuero plateadas al cierre de la primera de las secuecias didácticas. Recordar que e el aálisis realizado e la secuecia mecioada se observó que la distacia total recorrida por Jua es u proceso ifiito dode la distacia total recorrida por Jua está dada por la suma: - 8 Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite

2 AB AB AB AB AB AB Y para que Jua llegue al puto B, se debería cumplir que: AB AB AB AB AB AB AB O bie: ( AB) AB Lo aterior será cierto, sólo si Pero, será posible efectuar ua suma co ua ifiidad de térmios y que su valor sea u úmero fiito? Ates de dar ua respuesta a tal preguta, hacer otar que los térmios de la suma , so precisamete los térmios de la sucesió geométrica secuecia aterior.,,,,,...,,..., explorada e la Así que se puede itroducir el siguiete cocepto clave. Cocepto clave: erie geométrica. Ua serie es la suma idicada de los térmios de ua sucesió. i la sucesió es geométrica, etoces la serie es geométrica. i el úmero de térmios es limitado, la serie es fiita, pero si el úmero de térmios es ilimitado, lo cual se idica co putos suspesivos, la serie es ifiita. Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite - 9

3 Por lo tato, el modelo correspode a ua serie geométrica ifiita co primer térmio y razó comú r, de la cual habrá de respoderse a las siguietes pregutas: a) Cuál será la suma hasta el eésimo térmio? b) Cómo establecer el valor de la suma de toda la serie? Co el fi de ecotrar respuesta a lo aterior, se sugiere como estrategia, primero obteer la suma hasta el eésimo térmio de cualquier serie geométrica y luego aplicar el resultado obteido a la serie geométrica particular aludida. Para lograrlo, platear como actividad el procedimieto descrito e el párrafo siguiete, para lo cual se cosiderará las sumas parciales, defiidas como sigue: a a + ar a + ar + ar 3 a + ar + ar + ar a + ar + ar + ar + ar 3 4 a + ar + ar + ar + ar ar 3 4 Co el propósito de obteer algua expresió que permita realizar las sumas parciales si ecesidad de sumar térmio a térmio, pedir a los alumos que realice co cada ua de las sumas parciales aotadas, la siguiete serie de cuatro operacioes, que se ejemplifica co la seguda suma parcial a + ar :. Multiplique la suma parcial por la razó comú r : r ar + ar. Reste a la suma parcial el resultado aterior, reduciedo los térmios semejates: r a ar 3. Factorice ambos miembros de la igualdad aterior: ( r ) a ( r ) - 0 Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite

4 4. Divida etre r : a ( r ) r Ua dificultad que se podría observar e este proceso, es que alguos alumos o recuerde o i siquiera de u sigificado a la operació de factorizació, así que de mometo se tedrá que idicar que sigifica e geeral tal operació y e particular aplicar el método del factor comú. Tal vez sea u bue mometo para dejar como trabajo de ivestigació otros métodos de factorizació. El resultado de la actividad aterior se verá reflejado e el siguiete cocepto clave. Cocepto clave: uma hasta el eésimo térmio de ua serie geométrica. La eésima suma parcial de la serie geométrica co primer térmio a y razó comú r es a ( r ) r +, Z y r. Así que para la serie geométrica , dode el primer térmio es a y la razó comú es r, se tiee que la suma hasta el eésimo térmio es parcial hasta el quito térmio será igual a, y por ejemplo el valor de la suma Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite

5 El valor de la décima suma parcial es Ya se cueta co ua herramieta para establecer la suma de ua serie geométrica hasta su eésimo térmio, pero si la serie es ifiita, cómo ecotrar la suma de todos sus térmios? i se platea está preguta a los alumos, es muy probable que e poco tiempo algú estudiate propoga aalizar la tedecia de la eésima suma parcial cuado se vuelve ifiita, e otras palabras ivestigar la tedecia de a ( r ) r cuado. Ejercicio Obté la tedecia de la eésima suma parcial, cuado, y escribe el resultado utilizado la otació. Iterpretar el resultado del ejercicio de la maera siguiete: í fue posible realizar la suma co u úmero ifiito de térmios y cocluir que como , etoces , dado así respuesta al iciso (a) del problema iicial. Hacer ver que la tedecia obteida e el ejercicio aterior, tambié se puede coseguir de maera algebraica como sigue: - Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite

6 E la expresió ifiita, depederá totalmete de, su tedecia cuado se vuelve y como 0, es decir que se hace cero cuado, etoces podemos cocluir que ( 0). A partir de alguos casos particulares, establecer el siguiete resultado geeral: a) i r <, etoces r 0 b) i r >, etoces r Ua dificultad que podría surgir al implatar el resultado aterior es que la mayoría de alumos o coozca el cocepto de valor absoluto, así que es el mometo para itroducirlo a través de su iterpretació geométrica. Ejercicio Da respuesta al iciso (b) del problema iicial, esto es muestra que Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite - 3

7 Ejercicio 3 Ecuetra la suma de cada ua de las series geométricas siguietes: c) d) a) b) El iciso (c) del ejercicio mostrará a los alumos que o siempre la suma de ua serie geométrica es algú valor específico, sio que tambié puede volverse ifiita. Co el iciso (d) se muestra que la razó comú tambié puede teer u valor egativo. Como coclusió fial, se puede dar cierre a la secuecia euciado el cocepto clave que sigue: Cocepto clave: erie geométrica covergete y serie geométrica divergete. a) i L es u valor costate y la eésima suma parcial de ua serie geométrica es tal que L, etoces la serie es covergete y su suma es igual a L. b) i la eésima suma parcial de ua serie geométrica es tal que, etoces la serie es divergete y su suma se vuelve ifiita. - 4 Uidad. Procesos Ifiitos y la Noció de Límite