Sucesiones de números reales

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1 Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales Mootoía Sucesioes divergetes Criterios de covergecia Velocidad de covergecia Ejercicios 57 El cocepto de límite es básico e Cálculo y, de etre las diversas posibilidades, hemos elegido que haga su aparició asociado a sucesioes de úmeros reales La idea ituitiva de sucesió es secilla: ua sucesió es ua lista ordeada 4 Defiició y propiedades Defiició 4 Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació del cojuto de los Sucesió úmeros aturales e el cojuto de los úmeros reales, esto es, N R, x Llamaremos térmio geeral a x y, usualmete, o mecioaremos la fució sio sólo la Térmio geeral image de la fució Dicho de otra maera, hablaremos de sucesió co térmio geeral x y la otaremos {x } N o x ) N Ejemplo 4 Hay dos formas usuales de defiir ua sucesió: mediate ua fórmula geeral que os permita obteer todos los térmios de la sucesió o, por recurrecia, x o sea obteemos cada térmio e fució de los ateriores Por ejemplo, la sucesió { } x + ε es la sucesió, N 3, 5, 7, Como puedes ver, sabemos todos los térmios x de la sucesió El que ocupa el lugar 53 es 05 E cambio, la sucesió defiida como x = 0, x = y x + = x ε 3 x + + x coocida como sucesió de Fiboacci está defiida por recurrecia Para calcular u térmio teemos que coocer previamete el valor de los dos ateriores No Figura 4 Límite de ua sucesió importa Puesto que sabemos los dos primeros, podemos calcular el tercero y así sucesivamete: 0,,, 3, 5, 8, 3,, Defiició 43 Diremos que la sucesió {x } N es covergete si existe x R verificado Sucesió covergete que para cada ε > 0 existe 0 N tal que x x < ε, para cualquier 0 E ese caso escribiremos que x = x o {x } x Se puede comprobar fácilmete que x = x si, y sólo si, x x = 0 47

2 Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales Ejemplo 44 a) La sucesió costates so covergetes y su límite es dicha costate b) La sucesió { } es covergete a cero N c) La sucesió {} N o es covergete d) La sucesió { ) } N o es covergete 4 Sucesioes y acotació Sucesió acotada Defiició 45 a) La sucesió {x } N está acotada superiormete respectivamete iferiormete) si existe M R verificado que x M para todo N respectivamete x M) b) La sucesió está acotada si lo está superior e iferiormete o, lo que es lo mismo, si existe M R tal que x M, para cualquier atural Proposició 46 Toda sucesió covergete está acotada Demostració Aplicamos la defiició de covergecia para ε = Etoces existe u atural 0 tal que x x < para 0 E particular, el cojuto {x : 0 } está acotado superiormete por x + e iferiormete por x El resto de los térmios de la sucesió tambié está acotado por ser u cojuto fiito Por tato, la uió de ambos está acotado Observació 47 covergete 4 Álgebra de límites El recíproco o es cierto La sucesió { ) } N está acotada pero o es Después de defiir el límite de ua sucesió, los siguietes resultados relacioa su comportamieto y las operacioes usuales de úmeros reales E primer lugar, comezamos co la suma y el producto Proposició 48 Sea {x } e {y } dos sucesioes covergetes Etoces a) x + y ) = x + y, ) ) b) x y ) = x y, x c) si y 0, se tiee que = x y y Proposició 49 Sea {x } ua sucesió covergete a cero e {y } ua sucesió acotada Etoces {x y } es covergete a cero log ) Ejemplo 40 Vamos a calcular log + ) log ) log + ) = log ) ) 3 4 log + ) ) ) log 4 ) + log = 3 4 log ) + log + ) ) 4 log) + log = 3 4 log) + log + ) 48

3 Sucesioes de úmeros reales Sucesioes parciales dividimos por log) umerador y deomiador = 4 = 43 Covergecia y orde E esta secció vamos a hacer relacioar covergecia y orde El primer resultado os dice que las desigualdades etre los térmios de dos sucesioes se traslada a sus respectivos límites De hecho, o hace falta que todos los térmios verifica la desigualdad Es suficiete co que, por ejemplo, para los térmios pares o los impares tegamos la desigualdad Proposició 4 Sea {x } e {y } dos sucesioes covergetes Supogamos que el cojuto { N : x y } es ifiito Etoces x y x y El orde se coserva al to- Figura 4 mar límites 3 Proposició 4 Sea {x }, {y } y {z } sucesioes de úmeros Regla del sadwich reales verificado que a) x = z y que b) x y z, para cualquier atural Etoces {y } es covergete y x = y = z Ejemplo 43 Usado que Vamos a calcular el límite m 3 Límites y sucesioes e- Figura 43 cajadas para cualquier atural m etre y, podemos acotar superior e iferiormete la sucesió: + + +, N Como uestra sucesió está ecajada etre dos sucesioes que tiede a cero, se tiee que 4 Sucesioes parciales = 0 Si ua sucesió es ua lista de úmeros, podemos costruir ua lista ueva escogiedo alguos de estos, por ejemplo los que ocupa u lugar par o impar A este tipo de sucesioes las llamaremos parciales de la sucesió origial 49

4 Mootoía Sucesioes de úmeros reales Sucesió parcial Cola Defiició 44 Sea {x } ua sucesió de úmeros reales Diremos que {y } es ua sucesió parcial de {x } si existe ua aplicació estrictamete creciete σ : N N tal que y = x σ) para cualquier atural Ejemplo 45 a) El primer ejemplo de sucesió parcial de ua sucesió dada es simple: eiemos ua catidad fiita de térmios al iicio de la sucesió Por ejemplo, eiar los tres primeros térmios se cosigue co la aplicació σ) = + 3 La sucesió {x +3 } N es lo que se llama ua cola de la sucesió {x } N E geeral, si p es u úmero atural, las sucesió parcial {x +p } N es ua cola de la sucesió {x } N La covergecia de ua sucesió y de sus colas es equivalete: la sucesió coverge si, y sólo si, lo hace todas o algua de sus colas b) Quedaros sólo co los térmios que ocupa ua posició par o impar cosiste e cosiderar las parciales {x } N o {x } N Proposició 46 Sea {x } ua sucesió de úmeros reales covergete Etoces cualquier parcial es covergete y co el mismo límite Este resultado se suele usar para demostrar que ua sucesió o es covergete: si existe algua parcial o covergete o existe parciales distitas covergetes a límites distitos, la sucesió origial o es covergete Ejemplo 47 La sucesió { ) } o es covergete puesto que la parcial de los pares coverge a mietras que la de los impares lo hace a 43 Mootoía La defiició de mootoía para fucioes cualesquiera se puede euciar para sucesioes Sucesió creciete Defiició 48 Ua sucesió {x } N es creciete si cumple que x x + para todo atural Dicho de otra forma, cuado avazamos e la lista los térmios so mayores: m = x x m Aálogamete, diremos que {x } N es decreciete si cumple que x x + para todo atural o, lo que es lo mismo, m = x x m Evidetemete o todas las sucesioes so moótoas al igual que o todas las fucioes so moótoas Por ejemplo, la sucesió {cos)} N o es moótoa i tampoco lo es la sucesió { ) } Figura 44 La sucesió {cos)} N o es moótoa Eso sí, de cualquier sucesió siempre podemos elegir térmios cada vez mayores o cada vez meores E otras palabras, siempre podemos elegir ua sucesió parcial moótoa Proposició 49 Toda sucesió tiee ua parcial moótoa 50

5 Sucesioes de úmeros reales Mootoía Cuál es el iterés de las sucesioes moótoas? So más fáciles de estudiar Por ejemplo, la covergecia de las sucesioes moótoas se reduce al estudio de su acotació Proposició 40 Ua sucesió moótoa es covergete si, y sólo si, está acotada De hecho, si {x } N es ua sucesió creciete y acotada se tiee que x = sup {x : N} El hecho de que las sucesioes moótoas y acotadas sea covergetes os permite demostrar que ua sucesió es covergete si, teóricamete, coocer su límite Ejemplo 4 sucesió Vamos a estudiar la covergecia de la x =, x + = x +, Sucesioes Acotadas Covergetes Moótoas Figura 45 Distitos tipos de sucesioes Para demostrar que esta sucesió es covergete vamos a comprobar que es ua sucesió moótoa y acotada a) Observa que x = > x = Vamos a demostrar por iducció que la sucesió es creciete i) El primer paso ya lo teemos dado: x = > x = ii) Si ahora supoemos que x < x +, veamos que x + > x + : x + = x + + > x + = x + Luego la sucesió es moótoa creciete b) Veamos que tambié está mayorada, cocretamete que x, N De uevo lo comprobamos por iducció i) Es imediato para = ii) Si x, veamos que para x + tambié se verifica: x + = x + + = 3 Por tato, existe x = x y lo calculamos haciedo uso de la fórmula de recurrecia Tomado límites x+ = x + = x x = 0 = x = ± 5 Como {x } es creciete y el primer térmio es, la úica posibilidad que cabe es que x = + 5 E Ejemplo 4 Cosideremos la sucesió {x } N defiida por recurrecia como x = 3 y 3x + = + x 3 para cualquier atural Estudia si {x } N es covergete y, caso de que lo sea, calcula su límite a) Si calculas alguos térmios de la sucesió, parece que la sucesió es creciete Vamos a comprobarlo por iducció i) x = 3 x = 4 ii) Supogamos que x x + para u atural, etoces 5

6 Mootoía Sucesioes de úmeros reales x + = + x3 3 + x3 + 3 = x + ya que la fució f x) = x 3 es creciete Acabamos de demostrar que el cojuto { N : x x + } es iductivo y que, por tato, la sucesió es creciete b) Está acotada la sucesió? Por ser ua sucesió creciete, está acotada iferiormete Sólo os falta ecotrar ua cota superior De hecho, la sucesió será covergete si, y sólo si, está acotada superiormete Si la sucesió fuera covergete a u úmero L, como x = x + = L, se tiee que cumplir que 3L = + L 3 Las solucioes de este poliomio so y compruébalo por ejemplo por el método de Ruffii) Dado que la sucesió es creciete y su primer térmio es 3, queda descartado que el límite sea Vamos a comprobar por iducció que es ua cota superior i) Es evidete que x = 3 ii) Supogamos que x para u atural, etoces x + = + x E resume, la sucesió es creciete y mayorada y, por lo visto ateriormete, su límite es ) Ejemplo 43 Sea a R + y cosideremos la siguiete sucesió: x = a, x + = x + a x, para cualquier N Vamos a ver que {x } N es covergete y que su límite, x, verifica x = a Estudiamos e primer lugar si la sucesió es moótoa: x + x = x ) + a x = a x x x La sucesió será decreciete si x + x 0 o, equivaletemete, si a x 0 Si se da la desigualdad opuesta, la sucesió será creciete E cualquier caso, teemos que estudiar la relació etre x y a Como o teemos ua fórmula para x, vamos a trabajar co x + )) x + x + a x+ x 0 a + ax 4a x + a x + a 0 x + a x a 0 x a ) x Esta última afirmació es claramete cierta Por tato la sucesió {x + } es decreciete Al mismo tiempo hemos demostrado que está acotada iferiormete: a x, para cualquier atural Por tato, la sucesió {x + } que o es más que la sucesió {x } comezado e el segudo térmio) es covergete Llamemos L a su límite Debe verificar que L = L + a ) L = a L Volveremos a este ejemplo más adelate Si uimos los dos resultados ateriores: toda sucesió acotada tiee ua parcial moótoa que, por ser parcial, sigue siedo acotada y, por tato, covergete 5

7 Sucesioes de úmeros reales Sucesioes divergetes Teorema 44 de Bolzao Weierstrass) Toda sucesió acotada tiee ua parcial co- Teorema de vergete Bolzao Weierstrass Auque lo usaremos poco e los ejemplos prácticos, este teorema es la clave que permite probar la existecia de máximo y míimo de fucioes cotiuas e itervalos cerrados y acotados 44 Sucesioes divergetes La sucesió {} N o es covergete, pero tiee u comportamieto muy particular Los térmios de esta sucesió toma valores ta grades como se desee siempre que dicho térmios sea lo suficietemete avazados A esto os solemos referir como que la sucesió {} N tiede a + Defiició 45 a) Sea {x } N ua sucesió de úmeros reales Diremos que {x } N diverge positivamete o tiede a + si para cualquier M R existe u atural 0 tal que x M para cualquier 0 E ese caso escribiremos x = + b) De maera similar, diremos que {x } N diverge egativamete o que tiede a si para cualquier K R existe u atural 0 tal que x K para cualquier 0 E ese caso escribiremos x = c) E geeral, diremos que ua sucesió es divergete si diverge positiva o egativamete De la defiició se deduce directamete que las sucesioes divergetes o está acotadas: las sucesioes divergetes positivamete o está acotadas superiormete y las que diverge egativamete o está acotadas iferiormete Observació 46 U error muy comú es decir que ua sucesió tiede a + si sus térmios so cada vez más grades o si hay térmios ta grades como se quiera Compruébalo e los siguietes ejemplos: a) La sucesió,,, 4, 3, 9,,,, o es creciete pero es divergete b) La sucesió,,,, 3,,,,, tiee térmios ta grades como se quiera pero o es divergete Proposició 47 Sea {x } N y {y } N sucesioes de úmeros reales a) Si x = + y {y } está acotada iferiormete, etoces x + y = + b) x = + si, y sólo si, = 0 x c) Si x = + y existe u atural 0 y u úmero positivo k tal que y k para 0, etoces x y = + Ejemplo 48 Vamos a probar que x = { +, si x >, 0, si x < Comecemos co el caso x > Vamos a demostrar que la sucesió {x }, que claramete es creciete, o está acotada Por reducció al absurdo, supogamos que sí está acotada E ese caso, la sucesió es covergete al supremo de sus elemetos por ser creciete Notemos L a dicho supremo Se tiee que x L, N E particular, x + L, N = x L x < L, 53

8 Criterios de covergecia Sucesioes de úmeros reales lo que cotradice que L sea el supremo Si x <, etoces x > y podemos aplicar el apartado aterior para obteer que x = + y, por tato, x = 0 45 Criterios de covergecia Criterio de Stolz Criterio de la raíz Regla del úmero e El primer criterio que vamos a ver, el criterio de Stolz, permite resolver idetermiacioes de la forma 0 0 o E cierta maera juega u papel similar a la regla de L Hôpital para cocietes de fucioes Proposició 49 Sea {x } N e {y } N dos sucesioes de úmeros reales Supogamos que se verifica algua de las siguietes codicioes: a) {y } N es creciete y diverge positivamete, o bie b) x = y = 0 e {y } N es moótoa Etoces se verifica que: x + x x a) Si = L R, etoces = L y + y y x + x x b) Si = +, etoces = + y + y y x + x x c) Si =, etoces = y + y y Veamos u ejemplo de su uso Ejemplo 430 Vamos a calcular Aplicado el criterio de Stolz, teemos que estudiar ) ) ) + ) + ) 3 3 = = 3 Por tato, = 3 Proposició 43 Sea {x } N ua sucesió de úmeros reales positivos Se verifica que: x + a) Si = L R, etoces x = L x b) Si x + x = +, etoces x = + Ejemplo 43 Aplicado el criterio de la raíz, = ya que + = Proposició 433 Sea {x } N ua sucesió de úmeros reales covergete a uo, y sea {y } N ua sucesió cualquiera Etoces se verifica que: a) y x ) = L R x y = e L b) y x ) = + x y = + c) y x ) = x y = 0 Ejemplo 434 Calcular +3 + ) +3 54

9 Sucesioes de úmeros reales Criterios de covergecia ) = e L ) ) + + = L Para termiar, resolvemos el segudo límite ) ) + ) + 3 = + 3) ) 3 + 5) = = 3 + Ejemplo 435 La sucesió { ) + } es creciete y tiee límite e N Para comprobar que, e efecto, es creciete vamos a escribir el térmio -ésimo utilizado el biomio de Newto + ) = k=0 ) k k k = + ) ) ) ) ! 3! 3! = + + )! + ) ) 3 ) 3! + + ) ) 3 ) )! Es fácil imagiar cuál es el térmio siguiete: + + = + + ) + ) +! ) + ) + ) + ) 3 ) + ) + + ) 3 + ) + 3! + ) ) +! ) + )! Observa los dos térmios que acabamos de escribir Hay dos diferecias: a) Este último tiee u sumado más que el térmio -ésimo Dicho térmio de más, el último, es positivo E realidad, todos los sumados so positivos b) Si os fijamos e el resto de sumados y vamos comparado uo a uo y así sucesivamete ), +, ) + ) ), + 55

10 Velocidad de covergecia Sucesioes de úmeros reales Uiedo estos dos apartados, obteemos la desigualdad que estábamos buscado, esto es, que ) + +) El cálculo del límite es fácil utilizado la Proposició 433 la regla del úmero e): + = e ) L + ) = L, y este segudo límite es imediato comprobar que vale uo 46 Velocidad de covergecia Las sucesioes { } N y { } N tiee límite cero, pero u rápido vistazo a sus térmios e la Tabla 4 os covece de que los térmios de la seguda se acerca más rápidamete al límite Otra forma de ver esto es la siguiete El cociete etre los térmios geerales de las dos sucesioes es = = 0, lo que idica que la sucesió del deomiador,, es mucho mayor que la del umerador, / Defiició 436 Sea {a } N ua sucesió covergete co límite l y sea {b } otra sucesió covergete a otro úmero m a) Diremos que la velocidad o el orde de covergecia de la sucesió {a } es Ob ) si existe ua costate K tal que a l K, N b m b) Diremos que la velocidad o el orde de covergecia de la sucesió es ob ) si a l b m = 0 / / Tabla 4 Primeros térmios de las sucesioes / y / 56

11 Sucesioes de úmeros reales Ejercicios La otació O grade y o pequeña es bastate comú a la hora de describir la covergecia de u algoritmo Obsérvese que {b } m es ua sucesió que coverge a 0 Lo que se hace, e esecia, es comparar la velocidad de covergecia de {a } a su límite co la velocidad de la covergecia de otra sucesió que coverge a 0 Normalmete como sucesió {b } se toma la sucesió { p } para u atural p La defiició aterior tambié tiee tambié ua versió para sucesioes divergetes: Defiició 437 Sea {a } N ua sucesió divergete y sea {b } otra sucesió divergete a) Diremos que la velocidad o el orde de divergecia de la sucesió {a } es Ob ) si existe ua costate K tal que a K, N b b) Diremos que la velocidad o el orde de divergecia de la sucesió {a } es ob ) si a b = 0 Aálogamete a lo que es usual e sucesioes covergetes, para comparar co sucesioes divergetes suele utilizarse las sucesioes { p } co p atural Ejemplo 438 Co la omeclatura aterior la sucesió { } tiede a cero co velocidad O/) E el caso de divergecia se tiee que log) diverge co velocidad o) 47 Ejercicios 47 Sucesioes Ejercicio 4 Prueba que si x <, etoces + x + x + + x = x Ejercicio 4 Sea a u úmero real positivo y defiamos x = a, x + = x +x para N Probar que la sucesió {x } N coverge a cero Ejercicio 43 su límite Demuestra que la sucesió x =, x + = 3x, es covergete y calcular E E Ejercicio 44 Se cosidera la sucesió defiida por recurrecia por a = y a + = a + 3 para N Estudia si es covergete y, e caso de que lo sea, calcula el límite Ejercicio 45 Se defie la sucesió {x } por recurrecia como x =, x + = + x Calcula x y x x + E Ejercicio 46 Sea {x } N la sucesió defiida por recurrecia como x = y x + = x + 4 a) Demuestra que 5 < x < 4 5 para cualquier atural b) Demuestra que {x } N es decreciete c) Calcula su límite 5 57

12 Ejercicios Sucesioes de úmeros reales Ejercicio 47 Sea a R, a > Estudiar el comportamieto de la sucesió x = a, x + = para todo N 47 Criterios de covergecia x +a Ejercicio 48 Estudia la covergecia de las siguietes sucesioes y calcular su límite cuado exista { } { } + / + /3 + + / a) c) { 5 } {! +! + 3! + +! ) b) d) + }! + Ejercicio { 49 Calcula } el límite de las siguietes sucesioes log ) a), log) c) b) Ejercicio { } 40 Estudia la covergecia de las siguietes sucesioes: a) 4 6 d) {! } + b) 3 + )3 + ) 3 + ) )! c)! Ejercicio 4 Calcula el límite de las siguietes sucesioes a) + + ) c) { + log + ) log) ) } ) b) + + Ejercicio 4 a) log) Calcula el límite de las siguietes sucesioes { log + )! b) log + ) } Ejercicio 43 + a) Calcula el límite de{ las siguietes )} sucesioes b) se ) +log) cos c) + ) log) Ejercicio 44! a) ) + Calcula el límite de las siguietes sucesioes log!) b)

13 Sucesioes de úmeros reales Ejercicios E E Ejercicio 45 Ejercicio 46 Calcula el límite de la sucesió ) 3 Calcula el siguiete límite 3 )) log Ejercicios complemetarios Ejercicio 4 Sea a Estudia la covergecia de la sucesió defiida por recurrecia como x = a, x + = x E Ejercicio 4 Estudia la covergecia de la sucesió defiida de forma recurrete por x = a > 0, y x + = a + x, para todo N Ejercicio 43 Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes: a) { } {, b) + 3 } Ejercicio 44 Sea {a } ua sucesió de úmeros reales positivos covergete Estudiar la covergecia de la sucesió { a + a + + a } log) Ejercicio 45 Calcular el límite de la sucesió { } e a +e a / ++e a/ log+), dode {a } es ua sucesió covergete de úmeros reales positivos { ) } Ejercicio 46 Calcular el límite de la siguiete sucesió de úmeros reales ) 5 E Ejercicio 47 Calcula el siguiete límite ) ) cos) + cos + + cos log 3 + ) Ejercicio 48 Sea a, b R + ; estudiar el carácter de la sucesió { a + b ) /} 59

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