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- Inés Caballero Vega
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1 PRÁCTICA SUCESIONES Prácticas Lemat Práctica 6: Sucesioes uméricas Objetivos Ayudar a compreder los coceptos de sucesió, mootoía, acotació y límite de ua sucesió utilizado las herramietas gráficas y de cálculo que proporcioa Lemat. Acceso a Lemat. Etrar e la págia de Lemat Para poder utilizar este material se debe comprobar si el ordeador tiee istalado todo el software ecesario que se idica e la págia E esta práctica se utilizará el laboratorio de sucesioes que se ecuetra e el Nivel del tema de Sucesioes y Series de Lemat. Se puede acceder a él desde la págia
2 PÁGINA LEMAT: SUCESIONES Recuerda: (a) Para estudiar ua sucesió o basta co estudiar el comportamieto de los primeros térmios. (b) Para estudiar la mootoía y acotació de ua sucesió cosiderar la fució f ( x ) cumpliedo a f a se puede y particularizar los resultados e el caso de que se cosidere el domiio de la fució úicamete el cojuto de los úmeros aturales. Ejercicios resueltos Cosiderar la sucesió a (a) Escribir la expresió del térmio y de la sucesió. (b) Observar, co ayuda del laboratorio, la represetació de los primeros térmios de la sucesió e la recta y e el plao. Para itroducir el térmio geeral de la sucesió se debe teclear: (7*+3 *( )^)/(+). (c) Es moótoa la sucesió a? Observar el sigo de a - a. - (d) Está acotada la sucesió a? E caso afirmativo dar ua cota superior y ua iferior. (a) (b) a a + + (c) No es moótoa. Observa que los térmios impares so siempre mayores que los pares y que por tato a - a > - a - a < +
3 LEMAT: SUCESIONES PÁGINA 3 (d) Sí, está acotada. Ua cota superior puede ser y ua iferior 4 IMPORTANTE: Ua sucesió puede estar acotada y o ser moótoa. Cosiderar la sucesió a (a) Es moótoa la sucesió a? (b) Tomado L4 y comprobar, para distitos valores de épsilo, si puede asegurarse que a partir de u cierto térmio de la sucesió,, se cumple que a Î ( 4 - epsilo,4 + epsilo ) siempre que sea mayor que. Rellear para ello la siguiete tabla. epsilo Es covergete la sucesió a? (c) Es acotada la sucesió a? (a) Es moótoa creciete ya que: a a < ( + 5)( + 6) (b) Observar que: a
4 PÁGINA 4 LEMAT: SUCESIONES Luego a ( 4 epsilo,4 epsilo) decir, Î - + si se cumple a 5-4 < epsilo. Es < + 5-5< epsilo epsilo La sucesió a es etoces covergete y su límite es 4. E la siguiete tabla se muestra, para distitos valores de épsilo, el valor de a partir del cual si es mayor que se cumple a Î( 4 - epsilo,4 + epsilo) epsilo < 5.5 o < 595. o - 5 < o Como es ua sucesió moótoa creciete ua cota de la sucesió es su límite, 4, y ua cota iferior puede ser su primer térmio a 4. IMPORTANTE: Toda sucesió covergete está acotada. 3 se Cosidera la sucesió a 3+ *. (a) Represétala co ayuda del Laboratorio. Debes escribir: 3+*si()/ (b) Es moótoa? Justifica la respuesta. (c) Es acotada? Justifica la respuesta. (d) Calcula a mao el úmero de maera que se pueda asegurar que ( 3,3 ) a Î - epsilo + epsilo siempre que > para valores
5 LEMAT: SUCESIONES PÁGINA 5 de epsilo de la tabla: epsilo - - Comprueba los valores obteidos e el laboratorio. Es covergete? E caso afirmativo utiliza la defiició de límite para demostrar su covergecia.
6 PÁGINA 6 LEMAT: SUCESIONES IMPORTANTE: No toda sucesió covergete es moótoa TEOREMA DE WEIERSTRASS: Toda sucesió moótoa y acotada es covergete. Si es creciete coverge a su supremo y si es decreciete a su ífimo. NÚMERO e: Como cosecuecia de este teorema se puede defiir el úmero e como el límite de la sucesió moótoa y acotada a æ ö + ç çè ø. æ ö lim + e» '7888 ç çè ø Ejercicios propuestos Acceder al ivel de sucesioes de Lemat ua.htm E el meú elegir la opció Test de autoevaluació: Progresioes. Realiza el test y escribe las respuestas que hayas obteido. E el meú elegir la opció Test de autoevaluació: Sucesioes moótoas y acotadas. Realiza el test y escribe las respuestas que hayas obteido.
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34 CAÍTULO 2. LEY DE LOS NÚMEROS GRANDES Demostració. or el Teorema 2.0, vemos que basta probar que ( ) 2 2E (X,k E(X,k )) = 0. La esperaza e esta expresió se puede escribir como V ar(x,k ) + or la hipótesis
El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA. Temas 5 y 6 Sucesiones y Series. Series de Potencias
Temas 5 y 6 Sucesioes y Series. Series de Potecias SUCESIONES E los siguietes problemas determie si la sucesió { } ecuetre el límite e caso de ser covergete..- { }.- { } = 5 a.- { } a 5.- { a} = + 9 a
Sucesiones. Límite de una
Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua
Práctica 4. Re(z n ) y Im(z n ) n=1 convergen (absolutamente). z n. n=1. n=1. n αn? Demostrarlo. n=0 converge si z < 1 diverge si z > 1. para z < 1.
MATEMATICA 4 er Cuatrimestre de 205 Práctica 4. Sea (z ) ua sucesió de úmeros complejos. Probar a) z coverge (absolutamete) si y sólo si las series Re(z ) y Im(z ) coverge (absolutamete). b) si z coverge
Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
S6: Series Numéricas (I)
S6: Series Numéricas (I) Aprederemos como hacer sumas co u úmero ifiito de térmios. U ejemplo de suma ifiita es: 0 + + + + 4 + 5 + Para sumarla primero sumaremos térmios y después haremos +. Notació: S
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias
INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes
( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Capítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.
This is page Priter: Opaque this Capítulo Covergecia de sucesioes y series... La defiició de sucesió y ejemplos El cocepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximació es el cocepto de sucesió:
L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2
Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los
Series alternadas. n n. Es decir sus términos son alternadamente positivos y negativos. Se analiza su comportamiento utilizando el siguiente teorema:
So series de la forma Series alteradas + ( ) a o ( ) a co a > = =. Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Se aaliza su comportamieto utilizado el siguiete teorema: Teorema de Leibiz
Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Coordinación de Matemática II (MAT022)
Coordiació de Matemática II (MAT0) Primer semestre de 03 Semaa 0: Lues 7 de Mayo Vieres 3 de Mayo CÁLCULO Coteidos Clase : Coordeadas paramétricas. Áreas e coordeadas paramétricas. Clase : Ejercicio y
4. Con b = ( 1) 1 n. 6. Con c = n = p = 1, 1, ( 1) 1 2, ( 1) 1 3, ( 1) 1 4, ( 1) 1 5, ( 1) , 1 3, 1 2, 1 6 6, 5, 1.
Respuestas Respuestas al desarrollo de la competecia del capítulo E los problemas del al, ecuetra los primeros 6 térmios de la sucesió dada. Verifica tus respuestas co el comado Secuecia[ , ,
ACADEMIA CASTIÑEIRA. Curso: TELEFS Asignatura: Cálculo I MADRID Profesor: Elisa Escobar
Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS 9 534 6 64-9 533 8 0 Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar TEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS 9 534
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B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
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Convergencia absoluta y series alternantes
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