1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE

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1 1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE 1. Cocepto de límite 1.1 Defiició de etoro o vecidad: Si a es u úmero real (supógase que a está e el eje X), etoces, u etoro o vecidad de a de radio es u itervalo abierto (a,a) { a<<a}. El radio es V a. Los úmeros reales que perteece a la semiamplitud del itervalo. Se simboliza ( ) V ( ) * ecluye el puto a y se simboliza V ( { a <<a, a} a satisface la desigualdad a <. U etoro reducido de a es aquel e dode se. Si yl es u úmero real (supógase que yl está e el eje Y), etoces, u etoro o vecidad de yl de radio ε es u itervalo abierto (Lε,Lε) {y Lε<y<Lε}. El radio ε es V L. Los úmeros reales y que perteece a la semiamplitud del itervalo. Se simboliza ε ( ) V ( L) ε satisface la desigualdad y L <ε. 1. Defiició de puto de acumulació: Si a es u úmero real e u cojuto A tal que cualquier etoro V ( ) r a de a de radio r cotiee úmeros reales diferete de a, etoces a es u puto de acumulació e A. 1.3 Defiició de ite de Cauchy: 1. Sea a y L dos úmeros reales tales que los valores de la fució f se acerca al úmero L cuado los valores de se acerca al úmero a, etoces se dice que L es el límite de la fució cuado los valores de se acerca al úmero a. Simbólicamete es f() L. a. f() L sigifica o garatiza que: Dado u etoro Vε ( L) eiste u etoro V ( a ), a dode f V a se 3. (ε, ), tal que para todo úmero real que perteece a la vecidad ( ) cumple que f() perteece a la vecidad V ( L) < (ε) etoces f() L < ε. ε. Es decir, si a f() L sigifica que: Dado u etoro ε ( ) eiste u etoro ( ) V L V a, dode a (ε, f ), tal que si d(,<ε etoces d(f(),l)<. Los símbolos d(, y d(f(),l) represeta distacias. 4. f() L a sigifica que: Dado u ε>0 eiste u etoro úmero real que satisfaga a < (ε) se cumple que f() L < ε. (ε, f )>0, tal que para todo 1

2 Aclaració: Supógase que m b L a y se busca geeralizar el radio de la vecidad V ( ) u ε cualquiera que es radio de la vecidad V ( L) 1 1 (f (Lε),f (Lε)) o así se tedrá el etoro V ( ) ε a para, etoces, es suficiete hallar el itervalo 1 1 (f (Lε),f (Lε)) segú sea creciete o decreciete la fució f()mb, y a apropiado de a dode f (Lε) a f (Lε) a, para que m se cumpla la defiició de límite. E fucioes que o sea de la forma f()mb este procedimieto geeralmete o fucioa, la mayoría de las veces ε f (Lε) a f (Lε) a, pero además muchas veces o es fácil calcular 1 1 f (Lε) a y 1 f (Lε) a. E tales casos, es suficiete co acotar el valor del radio y epresarlo e fució del radio ε. Tégase e cueta que al calcular el f(), se cetra la ateció e el comportamieto de a los valores de f cuado se toma valores del domio de f muy cercaos a a, por lo tato, será suficiete aalizar este comportamieto para valores de que se ecuetra e u etoro de a de semiamplitud iferior a u úmero ρ dado, geeralmete se toma ρ1. Obsérvese además que eiste ua fució φ() tal que f() L ( φ() ( φ(), por lo ε que sería suficiete hallar u úmero real K talque φ() K y así mi ρ, sería el radio K V a para que se cumpla la defiició de límite. apropiado de la vecidad ( ) 1.4 Defiició de ite de Heie: Defiició de Sucesió: Ua sucesió de úmeros reales es ua fució del cojuto N de los úmeros aturales cuyo rago está coteido e el cojuto R de los úmeros reales, es decir, a cada úmero atural se asiga u úmero real de maera úica. Ua sucesió se represeta co la otació { } o { : N} sucesió se represeta o f() para N.. Los elemetos o valores de la Covergecia de ua sucesió: Sea X { } ua sucesió de úmeros reales y L u úmero real. L es límite de X si para toda vecidad V(L) hay úmero atural K(V) tal que para todo K(V), se cumple que los térmios perteece a V(L). Tambié se dice que X { } es covergete y que coverge a L. Si ua sucesió o tiee límite se dice que es divergete. Defiició de Heie: f() L sigifica que para toda sucesió de que coverge hacia a el úmero a { 1,, 3,,, } (perteecietes a domiio de la fució f y distitos de, la sucesió de valores correspodietes de y {f( 1 ), f( ), f( 3 ),, f( ), } coverge al úmero L.

3 Nota histórica: La otació modera del límite de ua fució se remota a Bolzao quie, e 1817, itrodujo las bases de la técica épsilodelta, pero su trabajo o fue coocido mietras él estuvo vivo. Cauchy epuso límites e su Cours d'aalyse (181) y parece haber epresado la esecia de la idea, pero o de ua maera sistemática. La primera presetació pública de la técica Epsilodelta fue dada por Weierstrass e los 1850 y desde ese mometo se ha covertido e el método estádar para trabajar co límites. La otació de límite usado la abreviatura lim co la flecha debajo se debe a Hardy, presetada e su libro A Course of Pure Mathematics e ites laterales: 1. Defiició de límite por la derecha: Se dice que f() L a eiste >0 tal que si 0<a< etoces f() L < ε.. Defiició de límite por la izquierda: Se dice que 3. Si f() M a ε>0 eiste >0 tal que si 0<a< etoces f() M < ε. f() L a y f() L a, etoces f() a eiste y es igual a L., si y solo si, para cada ε>0, si y solo si, para cada Aclaració: Observe que para garatizar la eistecia del límite L cuado se acerca al úmero a o se requiere que la fució esté defiida e a, se requiere que los límites laterales sea iguales. 1.6 Teoremas sobre límites: 1. Teorema de uicidad: Sea f ua fució de variable real. Si f tiee límite e a, etoces éste úico. Es decir, si f() L y f() M etoces LM. a a. Teorema de compresió (Ecaje o Sádwich): Sea f, g y h fucioes reales defiidas e u cojuto A, a u puto de acumulació e A. Si f() g() h() e el cojuto A y f() L a h() L y a, etoces a g() L. 1.7 Teoremas de Divergecia: Sea f ua fució defiida e u cojuto A, a u puto de acumulació e A y L u úmero real, etoces: 1. La fució f o tiee límite L e a si y solo si eiste ua sucesió { } e A, co a para todo N, tal que la sucesió { } coverge al úmero a, pero la sucesió f ( ) o coverge al úmero L.. La fució f o tiee u límite e a si y solo si eiste ua sucesió { } a para todo N, tal que la sucesió { } f ( ) o coverge e R. e A, co coverge al úmero a, pero la sucesió 3

4 . Ejercicios Ejercicio 1: Para cada caso siguiete, determie el valor L al cual tiede los valores de la fució f cuado se acerca al valor a por la izquierda y por la derecha. Complete las tablas. 3 f() , , , , , , , ,99999 f() 3,00000,75000,50000,10000,01000,00100,00010,00001 f() f() ,0000 3,7500 3,5000 3, , , , , f() 3,00000,50000,75000,90000,99000,99900,99990, f() f() ,00000,50000,75000,90000,99000,99900,99990, f() 3 4,0000 3,7500 3,5000 3, , , , , f() 4, < f(), 3 8 4

5 ( π / ) f() ( π / ) f() e) 1 Se() f() π ( π / ) f() ( π / ) f() f) π f() Cos() ( π / ) f() ( π / ) f() g) 5 f() f() 0 f() h) log() 1 f()

6 f() 10 f() i) log() 1, 10 6 f() 9 1, > f() 10 f() Ejercicio : Determie u >0 apropiado para el ε dado, tal que si y escriba la vecidad V ( ) a para el ecotrado. ( 4 ) 10 ; ε0.01 ( ) 3 1 a < se cumpla que f() L < ε, 34 7 ; ε0.0 ( 5) 4 ; ε0.01 ( ) ; ε0.001 e) 4 1 ; ε0.05 f) ( ) ; ε g) ( ) ; ε0.1 h) ; ε0.0 i) 4 4 ; ε0.01 j) ; ε0. k) ; ε0. l) ; ε0.1 m) ; ε0.3 ) log() ; ε0. o) 1 Se() 1 Cos() π/ ; ε0.1 p) Ta() 5 ; ε0. Ta() π/4 6

7 Ejercicio 3: Para cada ua de las siguietes fucioes, calcule f() y determie u >0 apropiado para el ε dado de tal maera que se cumpla la defiició de límite. Escriba la vecidad V ( a ) para el ecotrado. 14 3, < f() 68 3, 4 3 ( ) 1, 3 5 f() ( 4) 1, >3 Ejercicio 4: Determiar ua codició sobre 1 para asegurar que se cumpla las siguietes desigualdades: 1 1 < 1 1 < 1 1 < < Ejercicio 5: Para cada uo de los siguietes casos, ecuetre el meor úmero racioal K para el cual se cumple que φ() K e el itervalo dado. φ() 3, e el itervalo (,4). 5 φ() 7 3, e el itervalo (1,3). 3 φ() 1, e el itervalo (3,5). 3 φ() 7, e el itervalo (,4). e) 15( 3) φ(), e el itervalo (4,6). 5 Ejercicio 6: Dada ua fució ϕ moótoa e u itervalo (a,, para determiar u valor de K tal que φ() K para todo e el itervalo (a,, es suficiete evaluar φ( a ) y φ( b ), y { ( ) ( )} K ma φ a,φ b. Es importate crear la habilidad de probar la mootoía de ua fució e u itervalo. Demuestre que: 3 f ( ) es creciete e el itervalo (4,6). 3 f ( ) es decreciete e el itervalo (3,6). 4 3 f ( ) 1 36 es creciete e el itervalo (0,3). 7

8 3 f ( ) es decreciete e el itervalo (1,3). Ejercicio 7: Demuestre los siguietes límites, es decir, dado u ε>0 cualquiera, ecuetre u apropiado, (geeralícelo o acótelo e fució de ε), para que se cumpla la defiició de límite. ( ) ( ) m b am b a ( ) a a 3 3 e) ( ) f) g) h) i) j) k) l) m) 4 16 ) 3 8 o) a a p) a a q) ( ) 1 s) ( ) r) ( ) t) ( ) 5 u) 1 Se 0 0 v) Se() Se( a w) Cos() Cos( a ) 0 0 1Se () y) log() 1 10 z) e Ejercicio 8:

9 6 Ecuetre ua fució ϕ ϕ ( ) tal que 1 (3) () ϕ. Ecuetre el meor etero K talque ϕ() K cuado Si elegimos 1 3 <. 4 1 ε mi,, Cuál es el meor etero M que podemos utilizar? 4 M Qué relació hay etre K y M? Ejercicio 9: Ecuetre ua fució ϕ ϕ ( ) tal que () ϕ (). Ecuetre el meor etero K talque ϕ() K cuado < 1. ε Si elegimos mi 1,, Cuál es el meor etero M que podemos utilizar? M Qué relació hay etre K y M? Ejercicio 10: Demuestre que los siguietes límites o eiste: π Se 0 1 Se 1 1 e) 0 f) 1/ / Ejercicio 11: Resuelva los siguietes problemas: Sea h() 4 si 1. Calcular si > 1 h() y h() si < 3 Sea f() 9 si si > 3 Calcular: I) f() y f() 3 3 II) f() y f() 3 3 III) f() y f() 3 3 9

10 Sea g() 1, si < 1 0, si 1 1, si > 1. Calcular g() y g(). 1 1 Sea f() 3 I) Calcular f() y f() 4 4 II) Eiste f()? 4 e) Sea f() k 3 si 1. Hallar el valor de k, para que eista el límite k si > 1 f(). 1 1 si < 0 f) Sea h() 1 si > 0 Determiar la eistecia de los límites g) Sea f() ( ) 3 Determiar la eistecia de los límites h) Sea f() ( 1) Determiar la eistecia de los límites h() y h(). 0 0 f() y f(). 0 1 f() y f(). 0 1 i) Los costos de embarque a meudo se basa e ua fórmula que produce u costo iferior por kilogramo coforme aumeta la magitud del embarque. Supoga que kilogramos es el peso de ua remesa, C() es el costo total del embarque y está defiido como 0.80, si 0 < 50 C() 0.70, si 50 < , si > 00 I) Trace la gráfica de C. II) Calcule los límites: C(); C(); C() Ejercicio 1: Resuelva los siguietes problemas: Sea f() si a b si < < 6 si 3 Ecuetre los valores de a y b para que los límites f() y f() eista. 10

11 Sea f(), si 3 a b, si 3 < < si 3 Ecuetre los valores de a y b para que los límites f() y f() eista. 3 Sea f() a si < 3 a b si 3 3 b 5 si > 3 Ecuetre los valores de a y b para que los límites f() y f() eista. 3 3 Sea 3a b, <1 1 f(), b 3a, >1 Qué valores debe tomar a y b, para que los límites 3ab, < e) Sea f(),. 4 3ab, > 3 Qué valores debe tomar a y b, para que los límites f() 1 f() y y f() 1 f() eista. eista. Ejercicio 13: Calcule los siguietes límites laterales: f() y 4 f() para f ( ) 4 4 f() y 0 f() para f ( ) 0 f() y f() para f ( ) f() y 0 f() 0 para 1 1 f ( ) 11

12 e) f() y 1 f() 1 para 1 f ( ) 1 f) f() y 0 f() para f ( ) 0 g) f() y f() para f ( ) [ ], Z. h) f() y f() para f ( ) [ ], Z. i) f() y f() para f ( ) [ ] [ ] j) f() y 1 f() 1 para 4 1 f ( ) 1 k) f() y 0 f() 0 para f ( ) 1 3 l) f() para 1 f ( ) m) 3 f() para f ( ). 9 3 ) f() para f ( ). 1 1 o) f() para f ( ) [ ] 1. p) f() para f ( ). Ejercicio 14: Ecuetre los valores de a para los cuales eiste los siguietes límites: a 3 a a 3 a ( ) a f(), si 3 a 11, <3 f() 8 16, >3 1

13 Ejercicio 15: Use el teorema de compresió para demostrar los siguietes límites: 1 Se Se Se 0 0 ( ) Se 1 0 e) ( ) Cos π Cos 0 π f) ( ) g) ( ) ( ) Se 1 0 Cos h) Ejercicio 16: Para que valores de a se cumple las siguietes igualdades: Cos() Se() a a ( π ) 3π a a Se() 13