LÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA DURACION 4 JULIO DE 04 8 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO Determia adecuadamete el límite de fucioes reales, aplicado sus teoremas fudametales. Muestra respeto por el trabajo e las clases. Desarrolla ordeadamete las actividades propuestas por el profesor. LÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL Después de haber trabajado e el segudo período todo lo relacioado co las fucioes reales y sus aplicacioes, pasas ahora a maejar uo de los coceptos más fudametales que tiee el cálculo como es la teoría de límites. Los coocimietos que vas adquiriedo va elazados uos co otros y so muy importates tato para tu desarrollo itelectual como para la aplicació e próimos coceptos matemáticos. Es así, por ejemplo, como el cocepto de límite os llevará al estudio de otros de los temas fuertes del cálculo como lo es la derivada cuyo estudio realizarás e el último período. Cotiúa adelate co tu trabajo que ya falta muy poco para que logres alcazar ua meta más e otra etapa esecial de tu vida. Racioales Factorizació LÍMITES DE FUNCIONES reales Irracioales Laterales Racioalizació Factorizació y/o racioalizació Defiició ituitiva de límite: Sea Y= f () ua fució cualquiera y sea a y L dos úmeros reales, queremos aalizar el comportamieto que tiee Y a medida que la variable X se acerca o se aproima al úmero real a. X se puede aproimar al úmero a por dos lados: por la izquierda de a (ó sea tomado valores ligeramete meores que a) o por la derecha de a (ó sea tomado valores ligeramete mayores que a). Si a medida que X se aproima por la izquierda de a ( < a) tomado valores ligeramete meores que a pero muy cercaos, decimos que X a - (se lee tiede a a por la izquierda ) y si a medida que esto ocurre f () se aproima al úmero real L etoces podemos decir que el límite cuado X tiede a a por la izquierda de f () es igual a L y se escribe:

2 f () = L a - (límite lateral por la izquierda de a). Si a medida que se aproima a a por la derecha de ( > a ) tomado valores ligeramete mayores que a pero muy cercaos, decimos que X a + ( se lee tiede a a por la derecha ) y si a medida que esto ocurre f () se aproima tambié al úmero real L, etoces podemos decir que el límite cuado X tiede a a por la derecha de f () es igual a L y se escribe: f () = L a + (límite lateral por la derecha de a). Si el f () es igual al f () y so iguales al úmero real L, es porque el límite total eiste y a + a - podemos escribir: f () = L y eiste, es decir, el límite de ua fució dada eiste cuado los a dos límites laterales so iguales al mismo úmero real; por lo tato el límite de la fució dada o eiste cuado los dos límites laterales so diferetes. E tus cursos de cálculo uiversitario podrás aalizar co todo el rigor matemático dicha defiició. Ahora bie, para hallar el límite co tedecia a real de ua fució o siempre es ecesario calcular los límites laterales; para ello es suficiete co teer presete los teoremas que tú aalizarás a cotiuació: ACTIVIDADES Estaré muy ateta a estas actividades; lo que o etieda se lo pregutaré a Valetia Gil.. LEO Y ANALIZO DETENIDAMENTE LOS SIGUIENTES TEOREMAS: a. Uicidad del límite: El límite de ua fució si eiste debe ser úico e igual a u úmero real. b. ite de la fució costate: El límite de ua fució costate es la misma costate, es decir, sea Y = f () = #, etoces: f () = # = # a a Ej: a. 7 = 7 ; b. ( - 8 / ) = - 8 / ; c. ab = ab - c. ite de la fució poliómica: El límite de ua fució poliómica lo calculo reemplazado e el poliomio a la variable por su tedecia y el resultado es el límite, es decir, sea Y = f () co f () poliómica, etoces: f () = f (a) a

3 Ej: ( + ) = (0) (0) + = 0 Desde aquí puedo observar que Colombia tambié tiee límites... Tedrá que ver esto co lo que estamos estudiado? Tú qué piesas? d. ite de ua potecia o de ua raíz co base o catidad subradical poliomios: Procedo de igual forma que como procedo e el teorema c. aterior, es decir, sea Y = f() u poliomio, etoces: [ f () ] P = [ f (a) ] P y f ( ) f ( a), dode e la a a raíz f (a) o puede dar cero porque e caso de dar cero es ecesario aalizar límites laterales, los cuales estudiaré u poco más adelate. Ej: [8 + ] = [8 (/) - (/) + ] = [ / + ] = /8 ½ e. ite de la fució racioal: Sea Y = N () / D () ua fució racioal (dode el umerador y el deomiador so poliomios), etoces: N () / D () = N (a) / D (a) siempre y cuado D (a) 0 a Este teorema e palabras quiere decir lo siguiete: Para tomarle el límite a ua fució racioal reemplazo metalmete e el deomiador a la variable por la tedecia y si da cero, es ecesario factorizar tato el umerador y el deomiador (si es posible) y simplifico la fracció resultate (tal como simplifico fraccioes algebraicas) y luego reemplazo a la variable por la tedecia y el resultado es el límite; ahora bie, si el deomiador o da cero etoces o ecesito factorizar sio que reemplazo directamete a la variable por la tedecia e toda la fució racioal y el resultado es el límite. NOTA: Cuado me platee el límite de la suma y/o resta de varias fraccioes racioales, es pertiete efectuar primero las operacioes idicadas para obteer ua sola fracció y luego se aplica el teorema e. f. ite de ua fució irracioal: Sea Y = f () ua fució irracioal (fraccioario co variable detro de raíces); para calcular el límite a dicha fució procedo de igual forma que e el teorema e, pero si el deomiador se aula es ecesario racioalizar E geeral si al calcular el límite a ua fracció el deomiador se aula, debo factorizar y/o racioalizar, simplifico y luego reemplazo a la variable por su tedecia y el resultado es el límite. Por otra parte cuado tego ua fució racioal o irracioal co varios factores e el umerador y/o e el deomiador, sólo ecesito factorizar o racioalizar a aquellos factores que se aula cuado se reemplaza a la variable por la tedecia.

4 . MUY ATENTA EN CLASE ESTOY AL CÁLCULO DE LOS SIGUIENTES LÍMITES QUE ENCUENTRA MI PROFESOR APLICANDO LOS TEOREMAS ANTERIORES: 7 9 a. 4 b. 9 c. = d e. X f. 9 6 g h i CON OTRAS DOS COMPAÑERAS TRABAJO LOS SIGUIENTES LÍMITES: Del teto Nueva matemáticas de Ed. Satillaa que ecuetro e el bibliobaco solucioo los siguietes límites: a. De la pág. 98 los umerales, y. b. De la pág. 0 los umerales 8, 0, y. c. De la pág. 0 los umerales,,,, 40, 4 y 46. Debo teer muy presete que estos ejercicios los debo realizar e u bloque de clase, los que o termie de realizar los haré e mi casa. 4. PARA REALIZAR EN MI CASITA MUY JUICIOSA... Calculo co mucho áimo e iterés los siguietes límites: a. b. c X m 0 m0 m (y )(y Y ( y y)( y. 6 y 7) y 4) 7 d Yo, Yuliaa Sierra, me podré activa para hacer muy bie estos ejercicios.. t t 9 t 7t 0 e. z 4 z z 6 f. X 6 4 g ( )( ). /0 4

5 Las pregutas a 4 so de selecció múltiple co úica respuesta.. es igual a: A. / B. 7/ C. / D. 7/ X f ( ) 4. Si f ( ), etoces es igual a: X f (0) A. B. No eiste C. 4 D. 0. Si k 9 0, el valor de k es: A. B. - 6 C. 6 D Si k 4 0, el valor de k es: A. 0 B. - C. D. - 4 El estudio tiee su raíz amarga pero su fruto es dulce