Objetivos partir de su. nte de una función, Relacionar ASÍN CON CLA 11.4.

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1 CONTENIDOS.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD....- CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNN EN UN PUNTO....- LÍMITES LATERALES: CARACTERIZACIÓN....- LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES: ÁLGEBRA DE LÍMITES LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTICALES LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS OBLICUOAS ALGUNOS LÍMITES A TENER EN CUENTAA RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES MÁS SOBRE ASÍNTOTAS ASÍN 0.. ASÍN 0.. ASÍN.- CONTINUIDAD..... CON.. CON.. CLA.. TEO NTOTAS VERTI NTOTAS HORIZONTALES... NTOTAS OBLIC NCEPTO DE FUNCIÓN CONTIN NTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTA ASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES.. REMAS IMPOR ICALES CUAS... 0 NUA... ALES RTANTES... 7 Objetivos udametales Coocer el cocepto de límite de ua ució e u puto saber calcular límites secillos mediate ua tabla de valores. Saber calcular límites de ua ució, resolviedo las correspodietess idetermiacioes cuado éstas se presete. Determiarr las asítotas de ua ució. Saber estudiar la cotiuidad de ua ució, tato e u puto como e u itervalo: a partir de su gráica aalíticame te. Clasiicar las discotiuidades dee ua ució. Relacioar la cotiuidad, e u itervalo cerrado, co sus etremos absolutos.

2 Bloque III: Aálisis Matemático.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD a a Límites b Resolució de idetermiacioes Uidad Cotiuidad Clasiicació de las discotiuidades a a.- CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO EJERCICIO:. Observado la gráica de la ució a) b) c) l 0 d) l 0, calcula el valor de los siguietes límites: e) ) g) h) Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

3 Deiició ituitiva: Sea : D cuado a Departameto de Matemáticas ua ució, a D' L. Diremos que el límite de L, sii para valores de cada vez más a próimos a a (distitos de a), los valores de las imágees es L, escribiremos está cada vez más próimas a L. EJERCICIO:. Dádole a valores próimos a, tato maores como meores que él, calcula hacia que valor tiede las siguietes ucioes: a) d) b) e) c) ).- LÍMITES LATERALES: CARACTERIZACIÓN El límite por la izquierda es el valor al que tiede la ució a a siedo meor que a. Se deota por: ó a a a El límite por la derecha es el valor al que tiede la ució a siedo maor que a. Se deota por: ó a a a Esto da lugar a la siguiete caracterizació:, a a a a a E cuo caso a a a cuado la variable se aproima cuado la variable se aproima a EJERCICIO:. Calcula los límites laterales el límite, cuado eista, de las siguietes ucioes e los putos que se idica: si a) e si si b) e si.- LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES: ÁLGEBRA DE LÍMITES Se tiee las siguietes propiedades de los límites: ) k k a Cipri Límites Cotiuidad

4 Bloque III: Aálisis Matemático ) g g a a a ) g g a a a a ) siempre que a g g g a a 0 g ) a siempre que EJERCICIO: a a g. Sabiedo que las ucioes tiede a, calcula el valor de los siguietes límites: 0 a g tiee por límite 5, respectivamete, cuado a) 5 g b) g c) 7 g 5.- LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTICALES Decir que sigiica que cuado tiede a a, co a toma valores maores a que cualquier úmero real k: Aálogamete, decir que a sigiica que cuado tiede a a, co a, toma valores cada vez más pequeños:, Llamamos asítotas de ua ució a las rectas que se aproima la ució e el iiito. La recta = a es ua asítota vertical de a a sii eiste alguo de los siguietes límites a a a a a 6.- LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES Decir que b sigiica que cuado se hace ta grade como queramos, la ució toma valores mu próimos u úmero ijo b: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

5 Departameto de Matemáticas La recta = k es ua asítota horizotal de ó k k sii eiste alguo de los siguietes límites: b b b b 7.- LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS OBLICUOAS Tambié puede suceder que, lo que sigiica que grades a la vez. Por tato: k para todo p, siedo k p úmeros arbitrariamete grades. La recta = m +, m 0, es ua asítota oblicua de m. límites: m 0 e cuo caso m m 0 se hace iiitamete sii eiste alguo de los siguietes m 8.- ALGUNOS LÍMITES A TENER EN CUENTA Ates de meteros de lleo e la resolució de idetermiacioes, vamos a estudiar alguos límites mu secillos, pero que aparece mucho que por tato es ecesario teerlos siempre presetes: () Cipri Límites Cotiuidad 5

6 Bloque III: Aálisis Matemático g () () h () i Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 6

7 Departameto de Matemáticas (5) E geeral: Para impar: Para par: U par de cosideracioes a teer e cueta al calcular límites: a) Si P a... a a 0 es u poliomio, etoces P el resultado sólo depede del moomio a. b) Para límites e el iiito de ucioes racioales se tiee la siguiete regla práctica, dode P a... a a 0 P b m m... b b 0.: P Q si grado(p) gradoq a si grado(p) gradoq b 0 si grado(p) grado Q 9.- RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Cuado al calcular el límite de ua suma, u producto, u cociete o ua potecia de ucioes o se puede aplicar las propiedades de los límites, es decir, ha que hacer u estudio particular de cada caso, suele decirse que estos límites so ua idetermiació. k INDETERMINACIÓN DEL TIPO CON k 0 0 Se calcula los límites laterales:, a a- Si eiste ambos límites coicide su valor, etoces: a a a Si o eiste alguo de los límites laterales o o coicide su valor, etoces, o eiste. a INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 0 a) Para ucioes racioales Cipri Límites Cotiuidad 7

8 Bloque III: Aálisis Matemático Se descompoe umerador deomiador e actores se simpliica. b) Para ucioes irracioales Si se trata de ua ució co raíces cuadradas e el umerador (o e el deomiador), multiplicamos umerador deomiador por la epresió cojugada del umerador (o del deomiador). INDETERMINACIÓN DEL TIPO Se divide umerador deomiador por la maor potecia de que aparezca e la ució (basta co dividir por la maor potecia de del deomiador). INDETERMINACIÓN DEL TIPO a) La ució es dierecia de dos ucioes racioales Se eectúa dicha operació. b) La ució es dierecia de ucioes irracioales Multiplicamos dividimos por la epresió cojugada de la ució. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 Trasormar esta idetermiació e ua de las ateriores, geeralmete eectuado las operacioes. INDETERMINACIÓN DEL TIPO Se resuelve empleado la siguiete igualdad: g g a e dode a sabemos que a e EJERCICIOS: 5. Calcula los siguietes límites, resolviedo las idetermiacioes que aparezca: k a) Idetermiació del tipo co k b) Idetermiació del tipo 0 0 c) Idetermiació del tipo d) Idetermiació del tipo Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 8

9 Departameto de Matemáticas e) Idetermiació del tipo 0 6 ) Idetermiació del tipo Calcula el valor de los siguietes límites: ) ) ) 5) 5 7) 8) 5 0 0) ) ) ) 6) 7 8) 9 ) 6) 9) e e ) 5) 7) ) 7 0) ) 5 ) ) 5 ) 6) 5 5 5) 7) MÁS SOBRE ASÍNTOTAS 0.. Asítotas verticales La recta = a es ua asítota vertical de a a sii eiste alguo de los siguietes límites Observacioes: () Ua ució puede teer iiitas asítotas verticales. a Cipri Límites Cotiuidad 9

10 Bloque III: Aálisis Matemático () E las ucioes racioales las asítotas verticales se halla e los valores que aula al deomiador. () La gráica ele la ució o puede cortar a las asítotas verticales. 0.. Asítotas horizotales La recta = k es ua asítota horizotal de k sii eiste alguo de los siguietes límites: Observacioes: () Ua ució tiee como máimo dos asítotas horizotales. k () La gráica de la ució puede cortar a las asítotas horizotales. () Si e ua ució racioal el grado del umerador es meor que el grado del deomiador la recta = 0 (el eje OX) es ua asítota horizotal. () Si e ua ució racioal el grado del umerador el del deomiador so iguales la recta = ) será ua asítota horizotal (b idica el cociete etre los coeicietes líderes del umerador del deomiador). (5) Si e ua ruició racioal el grado del umerador es ua uidad maor que el del deomiador la ució preseta ua asítota oblicua o ha asítotas horizotales. (6) Si e ua ució racioal el grado del umerador es dos o más uidades maor que el del deomiador ha asítota horizotal. 0.. Asítotas oblicuas La recta = m +, m 0, es ua asítota oblicua de sii eiste alguo de los siguietes límites: m 0 m 0 e cuo caso m m Observacioes: () Ua ució puede teer como máimo dos asítotas oblicuas. () Si ua ució tiee asítota oblicua o tiee asítota horizotal recíprocamete. () Si e ua ució racioal el grado del umerador es dos o más uidades maor que el del deomiador, o ha asítota oblicua. () La gráica de la ució puede cortar a las asítotas oblicuas e uo o varios putos. EJERCICIOS: 7. Averigua las asítotas horizotales verticales de las siguietes ucioes, cuado eista: a) 6 d) b) 7 e) Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 0

11 Departameto de Matemáticas c) 6 ) 8. Estudia las asítotas de las siguietes ucioes. ) ) 9 ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) 5) 5 9 6) 7) 8) 5 9. Dadas las siguietes ucioes calcula sus asítotas horizotales, verticales oblicuas, si eiste: a) ( ) b) j ( ) c) g ( ) d) k ( ) e) h ( ).- CONTINUIDAD.. Cocepto de ució cotiua Ua ució : D es cotiua e el puto a Dom cuado a a () Aclaracioes: Para que ua ució sea cotiua e u puto, dicho puto ha de perteecer a su domiio de deiició. E otro caso, o tiee setido hablar de cotiuidad. Cipri Límites Cotiuidad

12 a, a a a a Bloque III: Aálisis Matemático No tiee setido decir que la ució o es cotiua e 0, por que dicho puto o perteece a su domiio. La codició () de cotiuidad implica: o a o o Dichos valores coicida: a a Ua ució es cotiua cuado lo es e todos los putos de su domiio de deiició. Si ua ució o es cotiua e u puto se dice que es discotiua e dicho puto. Ua ució es cotiua por la derecha e u puto si eiste límite por la derecha e él coicide co el valor que toma la ució e ese puto: cotiua e a por la derecha a Ua ució es cotiua por la izquierda e u puto si eiste límite por la izquierda e él coicide co el valor que toma la ució e ese puto: cotiua e a por la izquierda a Caracterizació: Ua ució es cotiua e u puto cuado es cotiua por la izquierda por la derecha e ese puto: cotiua e a cotiua por la derecha por la izquierda e a Ua ució es cotiua e ab, cuado: () Sea cotiua e el itervalo abierto ab, () Sea cotiua por la derecha e a () Sea cotiua por la izquierda e b.. Cotiuidad de las ucioes elemetales Las ucioes poliómicas, a a... a a0, so cotiuas e todos los putos. P Las ucioes racioales,, so cotiuas e su domiio. Q La ució epoecial, a a e, es cotiua siempre que lo sea. La ució logarítmica, log, es cotiua e todo puto, tal que 0 sea cotiua. Las ucioes trigoométricas, se e cos, so siempre cotiuas. La ució tg es cotiua e su domiio: k co k. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

13 Departameto de Matemáticas Las ucioes deiidas a trozos será cotiuas si lo so e sus itervalos respectivos e los putos de uió. E estos putos habrá que ver que la ució esté deiida que los límites laterales eista sea iguales. EJERCICIOS: 0. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució deiida a trozos: si 9 si 6 0 si. Dada la ució t si t si 8 si determia el valor de t para que la ució sea cotiua e todo su domiio.. Dada la ució. Determiar a 5 si 5 5, estudiar su cotiuidad. 0 si 5 b para que la siguiete ució sea cotiua: si 0 ab si 0 5 si. Halla los valores de los parámetros que aparece para que la siguiete ució sea cotiua: k 5 si h si 5. Hallar el valor de k para que cada ua de las siguietes ucioes sea cotiua: k si k si a) b) kk si k si 6. Estudia la cotiuidad de las siguietes ucioes: si a) a si si b) h h si d) e) k si k si 6 si k si Cipri Límites Cotiuidad

14 Bloque III: Aálisis Matemático k c) si 0 si 0 ) k5 si k si 7. Po u ejemplo de ua ució dode alle sólo ua de las tres codicioes ecesarias para que sea cotiua e u puto. 8. Dada la ució: calcula el valor de b para que b 8 9. Estudia la cotiuidad de las siguietes ucioes: si, 8 06 a) k si si si b) g k si 0 c) h sea cotiua e. Es cotiua e? 0. Calcula a b para que sea cotiua la siguiete ució: a b. Estudia la cotiuidad de la ució.. Se ha ivestigado el tiempo (T, e miutos) que se tarda e realizar cierta prueba de atletismo e ució del tiempo de etreamieto de los deportistas (, e días), obteiédose que Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

15 Departameto de Matemáticas s 00 si 0 0 T,5 si a) Justiicar que la ució T es cotiua. b) Se puede airmar que cuato más se etree u deportista, meor será el tiempo empleado e realizar la prueba?. La caliicació obteida por u estudiate e u eame depedee de las horas de preparació a través de la ució si si 5 0,, a) Tiee setido airmarr que a maor tiempo de preparació correspode maor caliicació? b) Es dicha ució cotiua?. Dada la ució a si si l si a) Calcular a para que la ució sea cotiua e. b) Represeta la ució para a... Clasiicació de las discotiuidades ) Si L L a etoces se dice que tiee ua discotiuidad evitablee a e el puto a. El valor que deberíamos darle a la ució e dicho d putoo para que uera cotiua e él se llama valor verdadero de la ució e a, es: a : EJERCICIO: 5. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució, clasiicado suu discotiuidad: a Cipri Límites Cotiuidad 5

16 Bloque III: Aálisis Matemático si si ) Si L, L' L L' se dice que preseta ua a a discotiuidad de salto o de primera especie e a. E este caso, el valor a a se llama salto de la ució e a, puede ser iito o iiito. a, a a a EJERCICIO: 6. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució, clasiicado su discotiuidad: si si a ) Las discotiuidades que o sea i evitables i de primera especie se deomia discotiuidades de seguda especie, es decir, cuado al meos uo de los límites laterales o eista. a a L a, a EJERCICIOS: 7. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució, clasiicado su discotiuidad: si 0 si 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 6

17 Departameto de Matemáticas 8. Estudia la cotiuidad de las siguietes ucioes, clasiicado sus discotiuidades: si 9 si a) c) si si si si b) d) si si.. Teoremas importates U par de resultados que es importate coocer memorizar: Teorema de Weierstrass: Toda ució cotiua e u itervalo de la orma ab, tiee máimo míimo absolutos. Este teorema es de eistecia, es decir, os dice que ha máimo míimo absolutos, pero o cuáles so. Para determiarlos, osotros represetaremos la ució. Bajo la hipótesis adicioal de que la ució sea iectiva, el máimo el míimo (absolutos) se alcaza e los etremos del itervalo. Lo úico que ecesitamos coocer sobre las ucioes iectivas es la siguiete iterpretació geométrica: Ua ució es iectiva, e u itervalo, si cualquier recta paralela al eje OX sólo corta a la gráica de la ució e u úico puto (e dicho puto). ució iectiva e ab, ució o iectiva e ab, g a b a b Cipri Límites Cotiuidad 7