Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

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1 FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c y b c, ii 4 a a, iii a b a ó b, iv 9 a b 9 a ó 9 b, v a b + c a b ó a c, vi a c y b c a b c, vii a b a b, viii a b a b, ix a b + a a b, x a b a b, N.. Hallar todos los N tales que i , ii 3 5 8, iii , iv Sea a, b Z. i Probar que a b a b para todo N y a b Z. (c.f. Ejercicio 5 Práctica. ii Probar que si es u úmero atural par y a b, etoces a + b a b. iii Probar que si es u úmero atural impar y a b, etoces a + b a + b. 4. Sea a u etero impar. Probar que + a 1 para todo N. 5. Sea N. Probar que i si 1 y ( 1! + 1 etoces es primo ii si es compuesto, etoces 1 es compuesto. (Los primos de la forma p 1 para p primo se llama primos de Mersee, por Mari Mersee, moje y filósofo fracés, Se cojetura que existe ifiitos primos de Mersee, pero aú o se sabe. Hasta hoy, abril 015, se cooce 48 primos de Mersee. El más grade producido hasta ahora es , que tiee dígitos, y es el úmero primo más grade coocido a la fecha. iii si + 1 es primo, etoces es ua potecia de. (Los úmeros de la forma F = + 1 se llama úmeros de Fermat, por Pierre de Fermat, juez y matemático fracés, Fermat cojeturó que cualquiera sea N {0}, F era primo, pero esto resultó falso: los primeros F 0 = 3, F 1 = 5, F = 17, F 3 = 57, F 4 = 65537, so todos primos, pero F 5 = = Hasta ahora o se cooce más primos de Fermat que los 5 primeros mecioados Probar que i El producto de eteros cosecutivos es divisible por! ( ii es divisible por, iii. (i 1 es divisible por! iv i=1 ( que ( ( = ( + ( ( + 1. es divisible por + 1 (sugerecia: probar que ( + 1 ( ( = ( y observar 1

2 Álgebra I Práctica 3 Págia 7. Probar que las siguietes afirmacioes so verdaderas para todo N i , ii , iii , iv Calcular el cociete y el resto de la divisió de a por b e los casos i a = 133, b = 14, ii a = 13, b = 111, iii a = 3b + 7, b 0, iv a = b 6, b 0, v a = + 5, b = + ( N, vi a = + 3, b = + 1 ( N. 9. Sabiedo que el resto de la divisió de u etero a por 18 es 5, calcular el resto de i la divisió de a 3a + 11 por 18, ii la divisió de a por 3, iii la divisió de 4a + 1 por 9, iv la divisió de a + 7 por 36, v la divisió de 7a + 1 por 8, vi la divisió de 1 3a por i Determiar todos los a, b Z coprimos tales que b + 4 a + 5 b Z. ii Determiar todos los a, b Z coprimos tales que 9a b + 7a b Z. iii Determiar todos los a Z tales que a + 3 a a + Z. 4 ( 1k iv Determiar todos los k N tales que divide a 1k Máximo comú divisor y ecuacioes diofáticas ( 3k E cada uo de los siguietes casos calcular el máximo comú divisor etre a y b y escribirlo como combiació lieal etera de a y b:. i a = 53, b = 63, ii a = 5335, b = 110, iii a = 131, b = 3, iv a = + 1, b = + ( N. 1. Determiar, cuado exista, todos los (a, b Z que satisface i 5a + 8b = 3, ii 7a + 11b = 10 iii 4a + 14b = 7, iv 0a + 16b = 36 v 39a 4b = 6. vi 1555a 300b = Determiar todos los (a, b Z que satisface simultáeamete 4 a, 8 b y 33a + 9b = Si se sabe que cada uidad de u cierto producto A cuesta 39 pesos y que cada uidad de u cierto producto B cuesta 48 pesos, cuátas uidades de cada producto se puede comprar co 135 pesos? 15. Sea a, b Z. Sabiedo que el resto de dividir a a por b es 7 y que el resto de dividir b por 7 es 1, calcular (a : b. 16. i Cuátas veces hay que aplicar el algoritmo de divisió para calcular mediate el algoritmo de Euclides el máximo comú divisor (F +1 : F etre dos úmeros de Fiboacci cosecutivos? ii Existe úmeros b a N co b F que requiera más aplicacioes del algoritmo de divisió que los del iciso (i para calcular su máximo comú divisor (a : b? iii Dados b a N, cuál es la catidad máxima de veces que hay que aplicar el algoritmo de divisió para calcular (a : b mediate el algoritmo de Euclides, e térmios de b? FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015

3 Álgebra I Práctica 3 Págia Sea a Z. i Probar que (5a + 8 : 7a + 3 = 1 o 41. Exhibir u valor de a para el cual da 1, y verificar que efectivamete para a = 3 da 41. ii Probar que (a + 3a 1 : 5a + 6 = 1 o 43. Exhibir u valor de a para el cual da 1, y verificar que efectivamete para a = 16 da Sea a, b Z coprimos. Probar que 7a 3b y a b so coprimos. 19. Sea a, b Z co (a : b =. Probar que los valores posibles para (7a + 3b : 4a 5b so y 94. Exhibir valores de a y b para los cuales da y para los cuales da Sea a, b Z o ambos ulos. Probar que: i (c a : c b = c (a : b, c Z co c 0, ii (a : b = 1 y (a : c = 1 (a : bc = 1, iii (a : b = d y (a : c = 1 (a : bc = d, iv si (a : b = 1 etoces (a : b = 1, v (a : b = 1 (a : b m = 1,, m N, vi (a : b = d (a : b = d, N. 1. Sea N. Probar que i ( + 7 : 7 = 1, ii ( : = 3 ó 9, y dar u ejemplo para cada caso. iii ( : = ó 14, y dar u ejemplo para cada caso.. Sea a, b Z. Probar que si (a : b = 1 etoces (a b 3 : a + b = Sea a, b Z tales que (a : b = 5. i Calcular los posibles valores de (ab : 5a 10b y dar u ejemplo para cada uo de ellos. ii Para cada N, calcular (a 1 b : a + b. 4. Sea N coprimo co 10. Probar que existe u múltiplo de de la forma Sea a Z, a > 1 y sea, m N. i Probar que si r es el resto de la divisió de por m, etoces el resto de la divisió de a 1 por a m 1 es a r 1. ii Probar que (a 1 : a m 1 = a (:m i Dados a, b Z coprimos, probar que existe ua matriz de co coordeadas eteras y determiate 1 tal que su primera fila sea a, b. ii Dados a 1, a,..., a Z, probar que so las coordeadas de la primera fila de ua matriz etera cuyo determiate es exactamete (a 1 : a :... : a. 7. El algoritmo de Euclides biario es ua variate del algoritmo de Euclides que sólo utiliza divisioes por, lo que resulta vetajoso si se opera co úmeros escritos e el sistema biario (como sucede e ua computadora, ya que e ese caso la divisió por es muy simple (cf. Ej. 60. i Sea a, b Z o ambos ulos. Probar las siguietes igualdades (a : b = a si b = 0 ( a : b si a es par y b es par ( a : b si a es par y b es impar ( a : b si a es impar y b es par ( a b : b si a es impar y b es impar FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015

4 Álgebra I Práctica 3 Págia 4 ii Diseñar u algoritmo para calcular el máximo comú divisor etre dos úmeros positivos e base a las idetidades ateriores, y probar que siempre termia (la correctitud está dada por el iciso (i. Por ejemplo, para calcular el máximo comú divisor etre 60 y 4, el algoritmo fucioaría de la maera siguiete: (60 : 4 = (30 : 1 = (1 : 15 = (3 : 15 = (15 : 3 = (6 : 3 = (3 : 3 = (0 : 3 = (3 : 0 = 3 = 6. (Si a y b está escritos e base, y es la catidad de bits del mayor de los dos úmeros, este algoritmo requiere a lo sumo del orde de operacioes bit, ya que e cada paso se divide u úmero por, y las restas y las divisioes por requiere recorrer todos los bits. Primos y factorizació 8. i Probar que u úmero atural es compuesto si y sólo si es divisible por algú primo positivo p. ii Determiar cuáles de los siguietes eteros so primos: 91, 09, 307, 791, 1001, iii Hallar todos los primos meores o iguales que Probar que, 3, 5, 7, 13, 3, 43, 83, 163, 317, 631, 159, 503 y 4973 so úmeros primos. 30. Probar que existe ifiitos primos cogruetes a 3 módulo 4. Sugerecia: probar primero que si a ±1 satisface a 3 (mod 4, etoces existe p primo, p 3 (mod 4 tal que p a. Luego probar que si existiera sólo fiitos primos cogruetes a 3 módulo 4, digamos p 1, p,..., p, etoces a = p i sería u etero distito de 1 y 1 que o es i=1 divisible por igú primo cogruete a 3 módulo Otra prueba algebraica de la ifiitud de los úmeros primos, utilizado los úmeros de Fermat F = +1 (cf. Ej. 5 item (ii (Demostració de George Pólya, matemático húgaro, : i (cf. Ej. 3(ii Probar que para todo N {0} par y todo a Z, a 1, se tiee a 1 a + 1 = a 1 a + a a 1. ii Probar que F F m si m > y deducir que F y F m so coprimos si m. iii Cocluir que existe ifiitos primos distitos. 3. Decidir si existe eteros a y b o ulos que satisfaga i a = 8b, ii a = 3b 3, iii 7a = 11b. 33. Sea N,. Probar que si p es u primo positivo etoces p / Q. 34. i Calcular las máximas potecias de 3 y de 9 que divide a 77! ii Calcular la máxima potecia de 0 que divide a 81! iii Calcular la máxima potecia de 4 que divide a 81! iv Determiar e cuátos ceros termia el desarrollo decimal de 81! v Determiar e cuátos ceros termia el desarrollo e base 16 de 0! 35. Sea p u úmero primo y N. Sea p α la mayor potecia de p que divide a!. Probar que α = i=1 p i (la suma sólo tiee u úmero fiito de térmios o ulos. FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015

5 Álgebra I Práctica 3 Págia 5 ( 36. Sea N y p u primo impar tal que 3 < p. Probar que p o divide a ( 37. Sea p k potecia de u úmero primo que divide a. Probar que p k. 38. Sea p y q primos positivos distitos y sea N. Probar que si p q a etoces p q a. 39. Sea a, b Z. Probar que si ab es u cuadrado e Z y (a : b = 1, etoces tato a como b so cuadrados e Z. ( p 40. Sea p primo positivo. Probar que si 0 < k < p, etoces p divide a. k 41. Sea p u primo positivo. Probar que p es múltiplo de p, para todo N. ( m i Sea m N. Probar que p divide a. m m+1<p m+1 ii Probar que p p 4, dode el producto se extiede a todos los primos meores o iguales a N. Sugerecia: iducció y el ejercicio 37 (iii de la práctica. 43. Teras Pitagóricas, S. VI A.C. So las teras (a, b, c de úmeros aturales que satisface a + b = c, o sea que se correspode co las logitudes de los catetos e hipoteusa de triágulos rectágulos co lados eteros. i Probar que si (a, b, c es ua tera pitagórica, etoces (ka, kb, kc es ua tera pitagórica, k N. ii Probar que si existe k N que divide a dos de los térmios, etoces divide tambié al tercero. iii Probar que existe ifiitas teras pitagóricas primitivas (aquellas dode a, b y c so coprimos que satisface que c = b + 1, como por ejemplo (3, 4, 5, (5, 1, 13 y (7, 4, 5. (Sug: Probar que el cojuto {1 0, 1, 3,... } coicide co el cojuto de los úmeros aturales impares, y cosiderar e él los cuadrados de los impares. iv Sea m > N. Probar que la siguiete es ua tera pitagórica a = m, b = m, c = m +. Probar que es primitiva si y solo si m y so coprimos, uo de los dos es impar y el otro par. v Caracterizació de todas las teras pitagóricas primitivas: (a Probar que c tiee que ser impar obligatoriamete (sug: tomar cogruecia módulo 4, y que etre a y b hay uo que es par y el otro que es impar. (b Sea a el impar y b el par. Probar que (c a : c + a = y de b = c a = (c a(c + a, deducir que c a = y c + a = m para algú < m N. Cocluir. 44. Determiar cuátos divisores positivos tiee 9000, y Y cuátos divisores e total? 45. Hallar la suma de los divisores positivos de y de Hallar el meor úmero atural tal que 655 sea u cuadrado. 47. Hallar todos los N tales que i ( : 945 = 63, ( : 1176 = 84 y 800, ii ( : 160 = 70 y tiee 30 divisores positivos.. FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015

6 Álgebra I Práctica 3 Págia Hallar el meor úmero atural tal que ( : 3150 = 45 y tega exactamete 1 divisores positivos. 49. Hallar todos los N tales que i [ : 130] = 60. ii [ : 40] = Hallar todos los a, b Z tales que i (a : b = 10 y [ a : b ] = ii 3 a, (a : b = 0 y [a : b] = Sea u etero. i Probar que o es etero. Sugerecia: cosiderar la mayor potecia de meor o igual a. ii Probar que o es etero Sea h : N N N defiida por h(x, y = x 1 (y 1. Probar que es biyectiva. 53. Sea h : N N N N defiida por h(x, y, z = x 1 3 y 1 5 z 1. Probar que es iyectiva pero o sobreyectiva. 54. Postulado de Bertrad. Sea u úmero atural y N = etre y. <p i Probar que ( 4/3 ( N. Sugerecia: Ejercicios 36, 37 y 4. p el producto de todos los primos ii Probar que para todo N existe al meos u úmero primo p tal que < p. Sugerecia: Ejercicios 1 (viii y 14 (vi de la Práctica y 9 de esta Práctica. 55. Sea 1. Probar que para toda elecció de + 1 úmeros eteros 1 a 1 < a <... < a +1 existe dos tales que su suma a i + a j = p es u úmero primo. Sistemas de umeració 56. i Hallar el desarrollo e base de (a 1365, (b 800, (c 3 13, (d ii Hallar el desarrollo e base 7 de 8575 iii Hallar el desarrollo e base 16 de 4074, 4064 y Sea a N 0. Probar que si el desarrollo e base 10 de a termia e k ceros etoces el desarrollo e base 5 de a termia e por lo meos k ceros. 58. i Cuáles so los úmeros aturales más chico y más grade que se puede escribir co exactamete dígitos e base d > 1? FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015

7 Álgebra I Práctica 3 Págia 7 ii Probar que a N 0 tiee a lo sumo [log (a] + 1 bits cuado se escribe su desarrollo biario. (Para x R 0, [x] es la parte etera de x, es decir el mayor úmero atural (o cero que es meor o igual que x. 59. i Sea k = Calcular la catidad de cuetas que hay que hacer para calcular a k adaptado el algoritmo dividir y coquistar del Ejercicio 53 (ii de la Práctica (sugerecia: escribir k e base. ii Cuál es la máxima catidad de cuetas que hay que hacer para calcular a k para k N cualquiera, siguiedo ese mismo algoritmo? iii Cuál es la máxima catidad de cuetas que hay que hacer para calcular el -ésimo úmero de Fiboacci F de esta forma (co el modelo del Ejercicio 55 de la Práctica? 60. Sea a = (a d a d 1... a 1 a 0 u úmero escrito e base (o sea escrito e bits. Determiar simplemete cómo so las escrituras e base del úmero a y del úmero a/ cuado a es par, o sea las operacioes multiplicar por y dividir por cuado se puede. Esas operacioes se llama shift e iglés, o sea corrimieto, y so operacioes que ua computadora hace e forma secilla (comparar co el Ej. 38 de la Práctica Euciar y demostrar criterios de divisibilidad por 8, 9 y Sea f : N N ua fució defiida recursivamete por f(1 = 1, f(3 = 3, y para 1, 3 f( si es par f( = f( +1 1 f( 4 si 4 1 3f( 1 3 f( 4 si 4 3. Determie el úmero de eteros positivos 047 para los que f( =. 63. i Escribir a 10 e base y e base 5 para = 1,, 3, 4, 5 y 6. Qué feómeo observa? ii Hallar e fució de N la catidad de cifras del desarrollo de 10 e base y e base 5. iii Co la ayuda del ejercicio 51 de la Práctica, probar el feómeo observado e el item (i. 64. Probar que i o divide a!. ii si 1! etoces es potecia de. FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015