TEMA 2: Potencias y raíces. Tema 2: Potencias y raíces 1

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1 TEMA : Potecias y raíces Tema : Potecias y raíces

2 ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Cocepto de potecia..- Potecias de expoete atural..- Potecias de expoete etero egativo..- Operacioes co potecias..- Notació cietífica...- Expresioes e otació cietífica...- Operacioes co otació cietífica....- Suma y diferecia....- Producto....- Cociete..- Raíces..- Radicales...- Simplificació de radicales...- Itroducir factores e el radical...- Sacar factores del radical. 8.- Operacioes co radicales Suma y resta Multiplicació y divisió Potecia Raíz de ua raíz. 9.- Potecias de expoete fraccioario..- Racioalizació de deomiadores..- CONCEPTO DE POTENCIA Ua potecia es ua expresió de la forma otro úmero real llamado expoete. a dode "a" es u úmero real llamado base y "".- POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL Las potecias de expoete atural se resuelve multiplicado la base tatas veces como idique el expoete: a a a... a veces Tema : Potecias y raíces

3 a) b) ( ) ( ) ( ) 9 c) ( ) ( ) ( ) ( ) Observacioes:. Las potecias de expoete u úmero par da siempre como resultado u úmero positivo, mietras que si el expoete es u úmero impar, el resultado tedrá el mismo sigo que tega la base.. No cofudir por ejemplo estas dos potecias: ( ) y. E el primer caso la base de la potecia es el úmero ( ), ya que el expoete está ecima del parétesis, lo que sigifica que afecta a todo lo que haya detro de él, por lo que la base es u úmero egativo, pero como el expoete es u úmero par, el resultado fial de la potecia va a ser positivo, por eso podemos escribir lo siguiete: ( ). E el segudo caso la base es el úmero, ya que solamete es ese úmero el que tiee el ecima, y o así el sigo que hay delate, por lo tato e este caso lo que podemos escribir es lo siguiete:..- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO Toda potecia cuyo expoete sea u úmero etero egativo se puede escribir como ua potecia de expoete positivo, para ello basta ivertirla: a a a) b) ( ) ( ) 8.- OPERACIONES CON POTENCIAS. El producto de potecias de la misma base es otra potecia que tiee la misma base y cuyo expoete es la suma de los expoetes de las potecias que se está multiplicado: m m a a a a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) Tema : Potecias y raíces

4 . El producto de potecias co el mismo expoete es otra potecia que tiee el mismo expoete y como base el producto de las bases: a b ( a b) Ejemplo: ( ). El cociete o divisió de potecias de la misma base es otra potecia que tiee la misma base y cuyo expoete es la resta de los expoetes de las potecias que se está multiplicado: m m a : a a a) b) : ( ) : ( ) ( ) ( ) c) : ). El cociete de potecias co el mismo expoete es otra potecia que tiee el mismo expoete y como base el cociete de las bases: a : b ( a : b) Ejemplo: : ( : ). Cualquier potecia de base distita de cero y de expoete cero, vale : a 0, co a 0. a) 0 b) ( ) 0. La potecia de ua potecia es ua potecia de la misma base cuyo expoete es el producto de m los expoetes: a m a Ejemplo:.- NOTACIÓN CIENTÍFICA..- Expresioes e otació cietífica La otació cietífica cosiste e escribir u úmero (ormalmete muy grade o muy pequeño) co ua cifra etera seguida o o de decimales y multiplicado por ua potecia de diez. 0, ,0009 0,00, 9,,, ,9,9,9 8 Tema : Potecias y raíces

5 ..- Operacioes co otació cietífica...- Suma y diferecia Para realizar sumas y restas co expresioes e otació cietífica hay que trasformar cada expresió decimal de maera que todas las potecias de base tega el mismo expoete. 8 a),, (hay que expresar todos los sumados co la misma potecia de, eligiedo la meor de las que aparece, e este caso,, 000, ( 000,) 0,,0 b),, ( ), 8 )...- Producto El producto de expresioes e otació cietífica es el resultado de multiplicar los úmeros decimales y sumar los expoetes de las potecias de base. a),, (,,) b), (, ),...- Cociete El cociete de dos expresioes e otació cietífica es el resultado de dividir los úmeros decimales y restar los expoetes de las potecias de base. 9 a), : 9 (, : ) b), :, (, : ) 0,,.- RAÍCES La raíz eésima de u úmero real "a" se represeta por a y es el úmero que hay que elevar a "" para que dé como resultado "a". Al úmero "" se le llama ídice de la raíz y al úmero "a" se le llama radicado. Tema : Potecias y raíces

6 a) (hay que averiguar qué úmero hay que elevar a para que dé ) b) 8 (hay que averiguar qué úmero hay que elevar a para que dé 8) 9 (e este caso hay dos úmeros que cumple lo aterior) c) 8 (hay que averiguar qué úmero hay que elevar a para que dé -8) d) (hay que averiguar qué úmero hay que elevar a para que dé -) o existe Observacioes:. Las raíces de ídice u úmero par y radicado positivo tiee siempre dos solucioes, la positiva y la egativa. Ejemplo:. Las raíces de ídice par y radicado egativo o tiee solució e el cojuto de los úmeros reales. Ejemplo: 9 o existe. Las raíces de ídice impar siempre tiee ua úica solució cuyo sigo coicide co el que tega el radicado.,.- RADICALES Se llama radicales a las expresioes e las que aparece raíces idicadas porque o so exactas.,..- Simplificació de radicales Para simplificar radicales hay que escribir el radicado e forma de potecia y dividir el ídice de la raíz y todos los expoetes de las potecias del radicado etre el mismo úmero. a) (tato el ídice, como el expoete, se puede dividir los dos etre tres) 8 b) a (tato el ídice 8, como el expoete, se puede dividir los dos etre ) c) (tato el ídice, como todos los expoetes, y, se puede dividir etre dos) Tema : Potecias y raíces

7 ..- Itroducir factores e el radical Se puede itroducir los factores que hay fuera de u radical detro de él. Para ello basta elevarlos al ídice del radical. a) b) 8 9 c)..- Sacar factores del radical A veces se puede extraer factores fuera de u radical. Para ello dichos factores se tiee que poder expresar como potecias cuyo expoete sea mayor o igual que el ídice de la raíz. a) 00 b) OPERACIONES CON RADICALES 8..- Suma y resta Los radicales co el mismo ídice y mismo radicado se suma y resta operado co los coeficietes de los radicales. a) b) Tema : Potecias y raíces

8 La suma o resta de radicales que o tega el mismo ídice o el mismo radicado tiee que dejarse idicada: Ejemplo: Hay ocasioes e las que aparetemete o se puede sumar o restar radicales porque o tiee el mismo ídice y el mismo radicado, pero podemos coseguir que lo tega simplificado los radicales y extrayedo fuera de ellos aquellos térmios que se pueda. Ejemplo: Multiplicació y divisió El producto de radicales del mismo ídice es otro radical que tiee por ídice el de los radicales que se multiplica y por radicado el producto de los radicados. a) c) 0 b) 8 El cociete de radicales del mismo ídice es otro radical que tiee por ídice el de los radicales que se divide y por radicado el cociete de los radicados. a) : b) : Los radicales que o tiee el mismo ídice se puede multiplicar y dividir, pero después de expresarlos como radicales co el mismo ídice a) 9 b) Tema : Potecias y raíces 8

9 8..- Potecia La potecia de ua raíz es otra raíz que tiee como ídice el mismo ídice, y por radicado la potecia del radicado (es como si el úmero al que está elevada la raíz solamete afectara al radicado). a) b) 8..- Raíz de ua raíz La raíz de ua raíz es otra raíz que tiee por ídice el producto de los ídices y el mismo radicado. a) b) Si etre ua raíz y otra hay algú térmio, hay que itroducirlo e la raíz que está más detro. a) b) 9.- POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO Los radicales se puede expresar e forma de potecia de expoete fraccioario. De maera geeral se tiee lo siguiete: b a a b Ejemplo: escribe e forma de potecia los siguietes radicales a) b).- RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Racioalizar el deomiador de ua fracció cosiste e quitar de él las raíces que tega. Para ello basta multiplicar tato el umerador como el deomiador de la fracció por ua catidad adecuada. Tema : Potecias y raíces 9

10 CASO : e el deomiador hay ua raíz cuadrada. E este caso el umerador y el deomiador se multiplica por la raíz cuadrada que haya e el deomiador. a) b) c) d) CASO : e el deomiador hay ua raíz de ídice mayor que. E este caso se multiplica el umerador y el deomiador por ua raíz co el mismo ídice que tega la raíz que hay e el deomiador, y cuyo radicado sea el mismo elevado al úmero que le falte al expoete iicial para llegar al ídice de la raíz. a) b) CASO : e el deomiador hay ua suma o ua resta. E este caso se multiplica el umerador y el deomiador por el cojugado del deomiador, quedado así ua idetidad otable co la que desaparecerá las raíces del deomiador. Observació: el cojugado de ua suma de dos térmios es la resta de esos mismos térmios, y al revés, el cojugado de ua resta es la suma. Por ejemplo, el cojugado de es y el cojugado de es. a) Tema : Potecias y raíces

11 Tema : Potecias y raíces b) c) 9 d) 9 9 FIN DEL TEMA