[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = = RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN. RESOLUCIÓN a a a RESOLUCIÓN SEMANA 9 TEORÍA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS.

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1 SEMAA 9 TEORÍA DE LOS ÚMEROS ÚMEROS PRIMOS. Sea A = 3...( 6) cifras Calcule si A tiee 444 divisores compuestos. A) 3 B) C) D) E) 6 A = = 6 ( ) A = 3 + A = 3 CD( A) = CD( A) = 448 ( A) ( ) o compuestos CD = + 3 ( + ) ( + ) = 448 CD = + 3 ( + ) = 4 = ( A) ( ) = 3 a. E el úmero = 3, la suma de sus divisores pares es 48. Determie la catidad de divisores compuestos de. º, A) 3 B) C) D) 3 E) 4 a a a = 3 a a a = ( 3 ) a a+ a+ 3 SD = = 48 4 Divisores º º, a a+ a+ ( ) SD = 3 = Sólo cumple para a = = 3 CD ( ) = = Divisores compuestos de : 7 4 = 3 3. Si: M 3 + divisores positivos múltiplos de y además impares. Halle x x x = i ; tiee 48 A) B) C) 3 D) 4 E) M = i 3 + x x M = ii 3 M = x M = 3 x x x+ x+ x+ 3x+ 3 x+ x+ + x+ 3x+ [ ] Divisores impares impares CD = 48 = x + 3 x + impares CD = 4 = x + 3 x + impares CD = 6 4 = x =3 4. Halle u úmero divisible por 6; de 3 cifras y que tega divisores. A) B) 76 C) D) 88 E) 34 x y M = abc = 6 = 3 CD = = 7 3 (M) Solo cumple: x = 6; y = 6 M = 3 = 64 9 = 76 RPTA.: B

2 α β. Si =..3 tiee 6 divisores múltiplos de y 6 divisores múltiplos de. Halle la catidad de divisores cúbicos de. A) B) C) 3 D) 4 E) α β =..3. ( α β i ) ( ) = 3 CD = α + β = 6. ( α β i i i ) ( ) = 3 CD = α β i = 6 De dode α = 3 β = 4 Luego: = i i3 = i i i 3 cubicos CD = + + = 4 6. Halle cuátos úmeros de la forma abab existe, tales que posee 6 divisores. A) 6 B) C) 4 D) 3 E) Efectuado la descomposició poliómica se obtedrá: = abab = ab Además: CD = + + Como es primo ab = primo² Solo cumple: ab = ² ó 7² Hay úmeros 7. Si 3 a b posee 3 divisores y ( a b) posee p9 divisores; halle ( + p) 3 a b 3 = divisores 3 = 7 = Como: Dado forma ( x ) ( y ) Dode: a = x² ; b = y² ( ) ( i ) = = xi y a b = x y = x i y Posee: ( + ) ( + ) = p9 ( + ) = p9 = 49 + = 7 = 3 p = 4 pide: + p = 7 8. Sea = 8 ab, determie (a + b) si la suma de divisores de, 8 es los de (a y b primos). 8 A) B) C) D) 3 E) 4 7 = iai b; aplicado el método y simplificado 8 SD = a + b + = ( ) 8 7 7i i ( ab) = i ab 8 7 7i a + b + = 7ii ab a y b so 3 y 7 a + b = 9. Halle el promedio aritmético de los divisores del úmero 36. A) 6, B) 48,7 C) 68, D) 47,8 E) 97, A) B) 6 C) 7 D) 9 E)

3 36 = 3 3 Calcule de la suma de divisores de 36: 4 3 SD ( 36 ) = = 7 3 CD = = 4 ( 36) ( ) Promedio aritmético = 7 4 PADivisores = 48,7 RPTA.: B. Si 3! Tiee divisores, Cuátos divisores tiee 3!? A) 33 8 C) 3 7 E) 33 3 B) 3 7 D) 3 6 3! = i CD3! = 7 = divisioes sucesivas para obteer la descomposició del primo e 3! 3! = 3! 3 = CD = 3 ( ) 3 3! 3 3 3! = ( 3! ) 3 = CD3! = 7. U úmero tiee 4 divisores y el triple de éste, 3 divisores. Cuátos divisores tiee el triple del cuadrado del mismo? A) 8 B) 9 C) D) E) 4 CD El úmero etero cosiderado admite como factor primo a tres: a p p 3 im i... CD = = ( a + ) ( p + ) ( q + )... = 4...() ( + ) a p q 3 = 3 im i... a + p + q +... = 3...() = ( ) De () y (), a =3 Reemplazado e () p =, q = = 3i m i 3 = 3imi 3 ( ) CD = = CD = 3. E el úmero 68, determie cuátos divisores termia e las cifras, 3, 7 ó 9? 68 A) 6 B) 8 C) D) E) = i3ii CD = = CD = = CD = = CD = = 8 CD que termia e la cifra, 3, 7 ó 9 = CD CD 68 + = So divisores CD CD x y M 3. Si el úmero. = i ; tiee el quituple del úmero de divisores de x y P = 3 i 6 y este tiee 3 divisores más que x y R 3 7 = i. Halle (x + y). A) B) 4 C) 7 D) 8 E) 6

4 x y x x y y M = i = ii3 i = x y y x i3 i + P = 3i 6 = 3i i3 = 3 i x y x y y x + y y x y R = 3 i 7 Cd(M) = Cd(P) ( x + ) ( y + ) ( y + x + ) = x ( + y + ) ( y + ) x + = ; x =4 Cd(P) = Cd(R) + 3 ( x + y + ) ( y + ) = ( x + ) ( y + ) + 3 ( + y) ( y + ) = 9 ( y + ) + 3 y = x + y = 4. Determie la suma de las cifras del meor úmero tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su úmero de divisores; y si su cuadrado tiee divisores. A) B) 3 C) 9 D) E) x y M = a b ; a y b primos Cd(M ) = = 7 3 = (x + )(y+) x = 6; y = Extraigo su raíz cuadrada. 3 M = a b Cd(M) = 4 = M = M = a b Cd(8M) = 3 3 = 4 x 4 x (cumple). Luego M o cotiee potecia de a, b míimos 3 M = 3 M = 7 = = 9. Sabiedo que 3 tiee a4 divisores. Cuátos divisores tedrá a E = 33 33? A) 38 B) 7 C) 98 D) 94 E) 96 = 3 = i 7 CD = + + = a4 = 64 ( ) ( ) ( ) CD = + = 8 = 7 a = E = E = 3 (3 ) = 3 CD(E) = ( 6 + ) ( 6 + ) ( + ) = Se tiee u úmero divisible por, el cual posee tres divisores simples y además sabemos que cuado se multiplica por 7, el úmero de sus divisores se duplica y cuado se multiplica por 6 su catidad de divisores se triplica. Determiar la suma de cifras de dicho úmero. A) 9 B) 8 C) 7 D) 36 E) = = 3 CD () = 3 ; CD primos () = simples a b = 3 i a+ 3 b 7 = 3 a b 4 6 = 3 + ( a + ) ( b + ) = ( a + 4) ( b + ) a = a + b + x3 = a + b + b = = 3 = = 9 ( )( ) 7. Si: tiee ab divisores compuestos. Halle el valor de (a + b + ); A) B) C) D) 3 E) 4

5 = impuestos ab = 3 7 CD compuestos = ab y CD ocompuestos = 4 CD = = abo + 4 = ab = 6 = a = 6 b = a + b + = 3 8. Se tiee u úmero W cuya taba de divisores es ua matriz 3 x 3; si se observa que el producto de los divisores que compoe ua de las diagoales es 96. Halle la suma de cifras de W. A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 96 = Luego los factores de W so 3 y 7 W = 44 = = 9 9. La suma de los divisores del úmero 3a a es 7 veces la suma de los divisores del úmero Calcule a. A) B) C) 3 D) 4 E) = 6 8 = 3 3a+ a 6a+ 3a+ 6a+ 3a+ 3 SD = 3 3a 3a M = 3 + SD M a+ 3a+ 3 = 3 a 3a Luego: SD = 7SD M 6a+ 3a+ 3a+ 3a+ 3 3 x = 7 3a+ 3 3a+ 7 3a+ + = ( ) 3a+ 3a+ 4 + = 7 = 6 = a =. Si los úmeros eteros P y Q so los meores posibles que tiee los mismos divisores primos, si se cumple que P tiee 3 divisores y Q tiee 39 divisores, determiar cuátos divisores compuestos tedrá (P x Q)? A) 74 B) 9 C) D) E) 3 Como P y Q so los meores úmeros eteros, se cumplirá que: CD = 3 = P = 3 P Q 6 4 CD = 39 = + + Q = ( Pxq ) = 3 CD = = 33 ( P Q) CD compuestos =3. Si aaa posee 8 divisores pero al restarle a uidades el úmero de sus divisores se duplica. Halle la catidad de divisores de ( a + ) ( a + ). A) 4 B) C) 9 D) 8 E) 6 aaa = 3 37 a 8 divisores a = ó ó 7 ó 3 Restádole a uidades aao = a 6 divisores de los valores ateriores solo cumple a =7

6 3 se pide (a + ) ( a + ) = 88 = = ( 3 + ) ( + ) = 8. Sea ( ) a b+ a = a a b, dode D.C tiee 8 divisores compuestos. Calcule la suma de los divisores cuadrados perfectos de cd si cd = (CD impares de ) + (CD de ). ( 6) A) 3 B) 48 C) 8 D) 6 E) 68 = CDC + CDP + = = CD = a + b + a + = ( ) ( ) ( ) CD = a + b + = 6 7 = 4 7 De dode a = 3 b = = 3 ( ) = 6 3 CD = 6 3 = 36 ( ),6 = x 3 CD = 7 4 = 8 cd = = 64 IMPARES = iai b SD = 3 ( ) 6 a + b + = 3ii ab ( + ) ( + ) = 7i 3 a b ab aybso7y3 a = 7 b = 3 = 67 CIFRAS = 4. Halle ( a +b ) si: ab tiee divisores y divisores. A) B) C) 4 D) 3 E) 8 Se verifica CD = = (+) ( +) ab CD = 33 = (. + )(.+) ab Luego: ab = 3 i ab tiee 33 So los úicos úmeros que cumple: Luego ab = 96 a + b = = RPTA.: B Suma de divisores cuadrados perfectos de 64: = 8 3. Halle la suma de cifras del úmero = 3 ab sabiedo que a y b so primos absolutos y la suma de los divisores de es el triple de. A) B) C) 3 D) 4 E)