MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

Transcripción

1 MEDIDA DE DIPERIÓN. Las medidas de tedecia cetral solamete da ua medida de la localizació del cetro de los datos. Co mucha frecuecia, es igualmete importate describir la forma e que las observacioes está dispersas, a cada lado del cetro. A esto por lo geeral se le cooce como dispersió o variació. Las medidas de dispersió que aalizaremos será: La amplitud, la desviació media, la variaza y la desviació estádar (desviació típica). Cuado determiamos ua medida de dispersió es posible evaluar la cofiabilidad del promedio que se está utilizado. Ua dispersió pequeña idica que los datos se ecuetra muy cercaos etre si, por ejemplo al rededor de la de la media aritmética. E caso iverso ua dispersió grade idica que la medida de la media o es muy cofiable. La medida de la dispersió es muy importate debido a que dos muestras de observacioes puede teer el mismo valor cetral paro teer ua dispersió distita. Por ejemplo, las calificacioes de dos alumos so las siguietes. Alumo Matemáticas Física Química Español Iglés Historia ociales promedio Atoio Alejadra E las siguietes gráficas se muestra las calificacioes de cada alumo, la líea puteada idica la media aritmética de sus calificacioes.

2 La calificació promedio de cada alumo es la misma (8.8), pero se puede observar e las calificacioes de Atoio que hay mayor variació co respecto a su media aritmética, E las calificacioes de Alejadra se puede observar meor variació co respecto a su media aritmética. Por lo que las dispersioes para los dos alumos so distitas. La medida más importate es la desviació estádar. AMPLITUD. La amplitud tambié llamada rago de variació de ua muestra x, x, x 3...x, es la diferecia etre el dato mayor y el dato meor. A Xmáx Xmi. Para el caso de las calificacioes de Atoio y Alejadra la amplitud es: A Atoio putos. A Alejadra 0-73 putos. U icoveiete de la amplitud es que sólo depede de los datos extremos y o toma e cueta los datos restates. DEVIACIÓN MEDIA. La desviació media, deomiada tambié como desviació promedio, mide el promedio de las distacias de ua muestra o població respecto a su media aritmética y la podemos defiir como El promedio de todas las distacias absolutas, medidas co respecto a la media aritmética, y se calcula co la siguiete fórmula. Dode: DM I xi x DM es la desviació media. xi es el valor de cada observació. x es la media aritmética. es el úmero de observacioes. es el valor absoluto.

3 i tomamos e cueta las calificacioes de Atoio, su desviació media se determia de la siguiete maera. i xi x xi- x xi x total xi x I 7.7 DM. 0 7 e puede iterpretar que e promedio las calificacioes de Atoio varía.0 putos respecto a su media aritmética. VARIANZA Y DEVIACIÓN ETÁNDAR. La variaza de ua serie de observacioes x, x, x 3...x, es el promedio de las dispersioes cuadráticas co respecto a la media aritmética, la variaza se determia de la siguiete maera: i (xi x) i se trata de ua muestra. Nota. i es grade los resultados so similares a los de la variaza poblacioal, pero si es pequeña coviee utilizar etre - para obteer u mejor acercamieto a los datos de la variaza muestral σ i (xi µ ) i se trata de ua població. N

4 Dode: µ es la media aritmética de la població N es el tamaño de la població. es el tamaño de la muestra. xi valor de la observació. x es la media aritmética de la muestra. Como la variaza preseta la desvetaja de estar e uidades cuadráticas es coveiete defiir la desviació estádar. La desviació estádar es la raíz cuadrada positiva de la variaza. Para ua muestra la desviació estádar se obtiee. (xi x) i + Para ua població la desviació estádar se obtiee. σ i (xi µ ) N Variaza y desviació estádar para ua tabla de distribució de frecuecias está dada por: i + i Dode: fi es la frecuecia de la clase. mi es la marca de clase. x es la media aritmética. tamaño de la muestra.

5 Ejemplos resueltos. Variaza y desviació estádar para datos o agrupados. Ejemplo. upoga que el úmero de materias reprobadas por diez estudiates de u grupo so las siguietes: 3, 4,,,, 3, 5, 0, 3 y materias, determiar su variaza y su desviació estádar. Primero calculamos la media. xi x + x + x3 + x + x _ i x Ahora calculamos la variaza y la desviació estádar. (3 i.5) (xi x) + (4.5) + (.5) + (.5) + (.5) + (3 0.5) + (5.5) Para la desviació estádar se extrae la raíz cuadrada de la variaza Materias. + (0.5) + (3.5) + (.5) Ejemplo. La siguiete tabla muestra el úmero de horas diarias que dedica 50 iños de primaria a ver la televisió. Co estos datos obtega la variaza y la desviació estádar. Horas Frecuecia fi xi x ( xi x ) fi ( xi x ) total x 9 6

6 Por lo que la variaza es: i La desviació estádar es: horas. 50 Variaza y desviació estádar para datos agrupados. Ejemplo 3. La siguiete tabla muestra las edades de las persoas que asiste a ua coferecia de las reformas a la ley del ITE. Co estos datos obtega la variaza y la desviació estádar marca de Clase Límites de clase Frecuecia clase (fi)(mi) ( mi x) fi(mi x) N Li Ls fi mi suma _ (fi)(mi) i 9977 x i i años Existe otra forma de obteer la variaza si que se obtega la media. i (fi)(mi) i (fi)(mi)

7 Determiemos la variaza y la desviació estádar empleado el modelo matemático aterior. marca de Clase Límites de clase Frecuecia clase (fi)(mi) (fi)( mi ) N Li Ls fi mi suma i (fi)(mi) i (fi)(mi) Años abemos que ua desviació estádar pequeña, para u cojuto de valores idica que éstos se ecuetra localizados cerca de su media aritmética. Por el cotrario, ua desviació estádar grade, idica que las observacioes está muy dispersas co respecto a la media aritmética. De uestro problema aterior sabemos que su media aritmética es de x años y su desviació estádar es de.9 años, pero Qué porció de los datos se ecuetra alrededor de la media aritmética y el valor de su desviació estádar? Para cotestar esta iterrogate utilizaremos el teorema de Chebysheff.