S7: Series numéricas II

Transcripción

1 Dada la serie S = k= a k, si la suma es fiita diremos que es ua serie covergete y e caso cotrario ua serie divergete. A la siguiete sucesió de úmeros la llamaremos la sucesió de sus sumas parciales: S = a ; S 2 = a + a 2 ; S 3 = a + a 2 + a 3 ; S = a + a 2 + a a Formalmete ua serie es covergete si la sucesió de sus sumas parciales coverge. Alguas veces os iteresa sumar ua serie otras os basta saber si la serie coverge ó diverge. Alguos resultados que has visto e teoría = La serie armóica = es divergete La Serie geométrica de razó x, que es ua serie umérica para cada valor de x R, coverge x < y suma S7: Series uméricas II Si la sucesió a o coverge a cero, etoces la serie =0 x x = + x + x 2 + x x +, y diverge e el caso cotrario. a es divergete. Diremos que ua serie a es absolutamete covergete si la serie de sus módulos a es covergete. Diremos que ua serie es icodicioalmete covergete si cualquier reordeació coverge y lo hace a la misma suma. Teorema Toda serie absolutamete covergete es icodicioalmete covergete. Teorema Toda serie icodicioalmete covergete es absolutamete covergete.

2 Criterios de covergecia para series de térmios positivos a co a > 0 Criterio del cociete ó de D`Alembert a Sea α = + a, etoces: si α < etoces la serie a coverge. 2 si α > etoces la serie a diverge. 3 si α = etoces la serie a puede ser covergete ó divergete. Criterio de la raíz -eésima ó de Cauchy Criterio de Raabe Sea β = a, etoces: si β < etoces la serie a coverge. 2 si β > etoces la serie a diverge. 3 si β = etoces la serie a puede ser covergete ó divergete. Sea σ = Criterio de comparació a + a, etoces: si σ < etoces la serie a coverge. 2 si σ > etoces la serie a diverge. 3 si σ = etoces la serie a puede ser covergete ó divergete. Para series de térmios positivos a co a > 0, las sumas parciales de la serie va creciedo, es decir, la sucesió de sumas parciales S es moótoa creciete. Si S está acotada superiormete etoces a es covergete. Si S o está acotada superiormete etoces a es divergete. La serie armóica geeralizada coverge α > a Sea a y b co a b para todo tales que a > 0 y b > 0, y = λ R, λ 0. b Etoces a y b tiee el mismo carácter (es decir, b coverge a coverge, ó a diverge b diverge. α La serie armóica alterada a tal que: () a = 0. (2) a es decreciete, etoces la serie es covergete.

3 P2) Estudia el carácter de las series: (i) + + 2; (ii) + log + Solucioes (i) +. Como > 0, covergecia aplicaremos el criterio de Leibiz: a = + 2 = Ahora debemos mostrar que Por lo aterior la sucesió Leibiz, la serie es covergete = hace que la serie sea alterada. Para estudiar su 2 2 = 0 = 0 OK es decreciete. Para ello, estudiamos la mootoía de la fució equivalete f x = x +x 2, es decir si la derivada de esta fució es meor que cero será decreciete. Nos iteresa los valores de x (ó ) Etoces f x = x +x (ii) + log + a = log + 3 < 0 si x >, por lo tato f(x) es ua fució decreciete para x >. 2 es decreciete para 2. E cosecuecia por el criterio de. Se trata de ua serie alterada de térmios positivos. = log + = log = 0 a es decreciete: log + log + a + a + a es decreciete E cosecuecia por el criterio de Leibiz, la serie es covergete.

4 P3) Determia si las siguietes series so divergetes, absolutamete covergetes ó codicioalmete covergetes: + 0 +! + (i) (ii)! 0 (iii) 2 + (i) + 0! ; la serie de valores absolutos es 0! si aplicamos el criterio del cociete: 0 +! 0 +! = 0 + = 0 < coverge, por lo tato la serie (i) coverge absolutamete (ii) +! 0 ; la serie de valores absolutos es! 0 si aplicamos el criterio del cociete: 0 ( + )! =! 0 = > diverge. OBSERVACION! 0 = + 0 luego la serie (ii) o coverge.

5 (iii) + ; la serie de valores absolutos es si aplicamos el criterio del cociete: = =. No podemos cocluir ada sobre su covergecia. Aplicamos Raabe; = = No sabemos Tambié podemos aplicar el criterio de comparació comparado co la serie divergete 2 + = 2 = 0, 2 + armóica diverge la otra tambié. por tato ambas series tiee el mismo carácter y como la serie : Por lo tato (iii) o es absolutamete covergete. Si embargo, por Leibiz: = 0 a a +? lo cual es cierto para 2, por lo tato es decreciete, y la serie coverge por el criterio de Leibiz.

6 P extra) Sesió 6 Estudia el carácter de la serie + + = = = = Como la serie ++ α coverge para α > (armóica geeralizada) por el criterio de comparació la serie tambié coverge.