INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

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1 Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera. Si es fució de t : g t, etoces la diferecial de es: d ' f d f g t g t dt g t dt, co lo cual: Aplicaremos este método cuado la seguda itegral sea más fácil de calcular que la primera. La cuestió más difícil es saber la fució g t adecuada e cada caso. Ejemplo Llamado d se t, será d cost dt, y la itegral aterior se puede escribir: t se t t se t cost se t cos cos tdt C C Si se t, etoces t arcse, y además cos t se t. Por lo tato, arcse C Nota: La itegral cos t dt se ha realizado teiedo e cueta la siguiete igualdad trigoométrica: cos t cos t Geeralmete, al hacer u cambio de variable, se escribe t e fució de, e lugar de e fució de t, es decir, se hace t h dt h' d., co lo cual será: Ejemplo Retoquemos u poco: Llamado 0 5 t, será d 05 d 5 dt d, luego: d dt 5 5 t dt t C C t 5 5

2 Matemáticas II - º Bachillerato Método de itegració por partes Cosiste e aplicar la fórmula de la derivabilidad del producto: Itegrado e ambas partes: Así pues: uv' d u v u ' vd uv ' u' v uv' uv' uv ' u' v u v ' d u v ' u ' v d u v ' d u ' vd., fórmula más coocida de la forma: u dv uv vdu que se puede memorizar así: u día vi ua vaca vestida de uiforme. Podemos aplicar la fórmula aterior para calcular ua itegral del tipo v y v du. Ejemplo Esta itegral es del tipo De aquí se deduce que: cos d. u dv, siedo: du d v se u dv cos d Aplicado la fórmula de itegració por partes teemos: cos d se se d se cos C u dv siempre que sepamos calcular Ejemplo arctg d. u arctg du Esta itegral es del tipo u dv, siedo:. De aquí se deduce que dv d v Aplicado la fórmula de itegració por partes teemos: arctg arctg arctg l d d C.

3 Matemáticas II - º Bachillerato Ejemplo 5 p e d siedo p u úmero atural. Esta itegral es del tipo u dv p u, siedo: dv e d du p. De aquí se deduce que: v e p d Aplicado la fórmula de la itegració por partes teemos: e d e p p p p e d De esta forma el cálculo de la primera itegral se ha covertido e el cálculo de otra itegral del mismo tipo e la que el epoete p se ha rebajado ua uidad. Realizado el proceso p veces se llega a la itegral e d que es imediata. Otras veces, al aplicar la itegració por partes llegamos a la misma itegral que teíamos al pricipio, y etoces, podemos calcularla pasádola al primer miembro y despejádola. Ejemplo 6 Calcular la itegral: Esta itegral es del tipo se d. u dv, siedo: u se. Por lo tato: v se Aplicado la fórmula de itegració por partes teemos: v cos du se cos d se d se cos se cos d se cos se se d se cos se d se d ( ) ( ) se cos se se d Observemos que la última itegral es precisamete la que queríamos calcular, luego si la pasamos al primer miembro teemos: Fialmete: Nota: E el paso ( ) se ha utilizado que se d se cos se d C 8 6 se se cos se se d se.

4 Matemáticas II - º Bachillerato Itegració de fucioes racioales Ua fució racioal es de la forma y P( ) Q( ), dode P y Q so poliomios. Si el grado del umerador es mayor o igual que el grado del deomiador, se divide el primero por el segudo, co lo cual se obtiee u cociete C y u resto R. Etoces se cumple: P QC R, luego: P( ) Q( ) C( ) R( ) R( ) C( ) Q( ) Q( ) Q( ) Ejemplo d Como el grado del umerador es 5 y el del deomiador es, dividimos el primero por el segudo y obteemos 7 de cociete y de resto. Por lo tato: d d 7 d Como los poliomios so secillos de itegrar, el problema se ha reducido al cálculo de ua itegral del tipo P d, siedo el grado del umerador meor que el del deomiador. Q E primer lugar descompoemos e factores el deomiador siguietes: Q. Vamos a cosiderar los tres casos º) Q( ) tiee solamete raíces reales simples Supogamos que éstas so,,...,. Etoces: Q a0... P A A A... Q veremos e el siguiete ejemplo. Por lo tato: y podemos escribir:, dode A,A,...,A so úmeros que se calcula de la forma que P A A A d d d... d Q A l A l... A l

5 Matemáticas II - º Bachillerato Ejemplo 8 d Resolviedo la ecuació ecotramos sus solucioes:,,, que so reales y distitas. Etoces: A B C y vamos a hallar los úmeros A, B, C, que cumpla esta codició. La suma de las tres fraccioes del segudo miembro es: y como A B C los umeradores tambié deberá de ser iguales, luego: A B C Esta igualdad es cierta para cualquier valor que demos a. E particular, si hacemos resulta: A B C A de dode A. Aálogamete, si hacemos = resulta 5 C. Por lo tato: B, y si hacemos resulta d d l l l C 5 5 5

6 Matemáticas II - º Bachillerato º) Q( ) tiee raíces reales múltiples Supogamos que es ua raíz múltiple de orde. Eso sigifica que e la descomposició de Q aparecerá. Etoces se opera de ua forma similar al apartado aterior, haciedo ua descomposició e suma de fraccioes. La raíz dará orige a la suma de fraccioes: A A A..., dode A, A,, A so úmeros que se calcula de la forma que veremos e el ejemplo siguiete. Itegrado la suma de fraccioes aterior teemos: A d d... d A A A A... A l C Ejemplo 9 d. 5 Resolviedo la ecuació 5 0 ecotramos que sus solucioes so ua raíz triple, es decir: y, siedo 5. A B C D Luego:, y vamos a hallar los úmeros A, B, C, 5 D que cumple esta codició. La suma de las cuatro fraccioes del segudo miembro es: A B C D y como 5 A B C D, los umeradores deberá ser iguales, luego: Esta igualdad es cierta para cualquier valor que demos a. E particular, si hacemos A( ) A A. : D 7D D 7, si hacemos : 8 Si hacemos 0 : A B C D B C A D B C, 7 8 y si hacemos = : A B C D B C A D B C 7 Resolviedo el sistema formado por las dos últimas ecuacioes se obtiee B 9, C d d 5 l l 6 C

7 Matemáticas II - º Bachillerato º) Q( ) tiee raíces imagiarias simples Etoces la descomposició e fraccioes simples de P( ) Q( ) da lugar a fraccioes de la forma h a b c, dode h, so úmeros que se calcula de la forma que veremos e los ejemplos siguietes, y las raíces de a b c so imagiarias. h Veamos cómo se calcula la itegral d. a b c Vamos a distiguir dos casos, segú que sea o o sea ulo el valor de h del umerador h +. h = 0 Etoces aplicamos al deomiador el método del completamieto del cuadrado. De esta forma, el deomiador a b c toma la forma a m. Así pues, a m d d d a b c a m a m d. Si hacemos ahora el cambio de variable: t m ; dt m t C C. a t a a Etoces se tiee que arctg arctg Ejemplo 0 5 d 6 Aplicado el método del completamieto del cuadrado al poliomio 6 : Por lo tato, 6 6 Haciedo el cambio de variable: 5 5d 5 d d 6 5 d 5 d t dt d d dt teemos: 5 dt 0 arctg 5 arctg t C C 8 t 8 d dt d dt. 7

8 h 0 Matemáticas II - º Bachillerato Etoces descompoemos el umerador h buscado ua epresió que sea la derivada del deomiador (es decir, a b), y procedemos de la siguiete forma: Llamado a p b, teemos: h h a h a h h a a b b h a h a h h h a b p h a b d d d a b c a a b c a a b c l h p d h a b c h p d a a b c a a a b c Esta última itegral carece de térmio e e el umerador, luego se calcula por el procedimieto visto e el apartado aterior, para h 0. Ejemplo d 50 Teiedo e cueta que la derivada del deomiador es +, trasformamos el umerador de la siguiete forma: Por lo tato: d d d d Esta última itegral se calcula así: Fialmete teemos: 50 d l d d d d 7 d arctg C d l 50 arctg C 8

9 Matemáticas II - º Bachillerato Ejemplo Resolviedo la ecuació real. Etoces: Así pues: 58 d ecotramos que tiee A h y vamos a hallar los úmeros A, h y que cumple esta codició. La suma de las dos fraccioes del segudo miembro es: luego: A h A h como úica solució Esta igualdad es cierta para todo valor que le demos a. E particular, si hacemos, resulta: 5 A 6, de dode A. Aálogamete, si hacemos 0 resulta, y si hacemos resulta h. Por lo tato: La primera de estas dos itegrales es: l 5 8 d d d Para calcular la seguda itegral tegamos e cueta que la derivada del deomiador es 8, luego el umerador se trasforma así: y la seguda de las dos itegrales ateriores se covierte e: Por lo tato, fialmete teemos: 8 8 d 8 d d l 8 7 8arctg d 58 d l l 8 7 8arctg C