FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Transcripción

1 FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO Y RAÍCES DE UN OLINOMIO Sea u poliomio y a u úmero real cualquiera. Se llama valor umérico de e = a y se deota por a, al úmero que resulta al sustituir e la variable por a y realizar las operacioes correspodietes. Ejemplo Halla el valor umérico de 5 e Sea u poliomio y a u úmero real cualquiera. Se dice que a es ua raíz de si el valor umérico de e a es cero, es decir, a es ua raíz de si a Teorema Fudametal del Álgebra: Todo poliomio de grado admite raíces reales o complejas. E particular, todo poliomio de grado admite como máimo raíces reales. Las raíces eteras de u poliomio co coeficietes eteros se ecuetra etre los divisores del térmio idepediete. osibles raíces eteras = Divisores del térmio idepediete. Halla las raíces de es u poliomio de grado como máimo tiee raíces reales osibles raíces eteras = Div,,,, 6, 6 o es raíz de o es raíz de 8 8 o es raíz de 8 8 o es raíz de o es raíz de or tato, Raíces de,,. Halla el valor de k sabiedo que es ua raíz de k es raíz de k k k

2 . TEOREMA DEL RESTO El resto de la divisió de u poliomio etre el biomio a coicide co el valor umérico de e a. Es decir, : a resto a. Halla el resto de la siguiete divisió si efectuarla 8 : Resto 8 8 Resto. Halla el valor de a para que el resto de la divisió a : sea a : tiee resto a a a a. TEOREMA DEL FACTOR a es u factor divisor de : a tiee resto a 5. Estudia si es u factor de 5 es u factor de : tiee resto NO es u factor de. Halla el valor de m sabiedo que es u factor de m es u factor de : tiee resto m 6 m 8 m m a es ua raíz de a = El resto de la divisió : a es cero a es u factor de. Escribe u poliomio de grado cuyas raíces sea, y Solució, y so raíces de, y so factores de multiplicado 5 6

3 . FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS U poliomio se dice irreducible cuado o se puede descompoer e producto de otros poliomios de meor grado que él. E caso cotrario se dice que es reducible. a es reducible ya que b es irreducible porque o eiste poliomios de primer grado a b y c d tales que a b c d Factorizar u poliomio es epresarlo como el producto de factores lo más secillos posible, esto es, biomios de primer grado de la forma a y poliomios irreducibles. Si a a... a a a es u poliomio de grado que admite raíces reales,,,...,, etoces se descompoe de forma úica como: a... Si a a... a a a es u poliomio de grado co raíces reales,,,..., k de multiplicidades respectivas r, r, r,..., rk etoces se descompoe de forma úica como: r r r a... k k, r r r... rk Si a a... a a a es u poliomio de grado co raíces reales,,,..., k de multiplicidades respectivas r, r, r,..., rk etoces se descompoe de forma úica como: k k, r r r... rk r r r k... r Q co Q poliomio irreducible r k.. FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS MEDIANTE EXTRAER FACTOR COMÚN Y/O LAS IDENTIDADES NOTABLES I Sacar factor comú a 8 Raíces {, } b 8 Raíces {doble,8 } II Idetidades otables a 8 Raíces {, } b 5 5 Raíces { 5doble } III Sacar factor comú e idetidades otables a 6 Raíces { doble,, } b 6 Raíces { doble }

4 .. OLINOMIO DE RIMER GRADO a b º Calculamos la raíz de : b º Factorizamos: a a a b b a Es decir, si a b es u poliomio de primer grado etoces para factorizar etraemos factor comú el coeficiete pricipal a y, por tato, b a Raíz de = a b a a 8 Raíz = Raíz = b c Raíz = / d Raíz = /5.. OLINOMIO DE º GRADO a b c º Hallamos las raíces de : a b c º La factorizació de es: a a Factoriza 5 º Raíces de 5 a b 5 c º Factorizació : 5 5 b Factoriza º Raíces de º a b c Factorizació :

5 c Factoriza º Raíces de a b c o tiee solució real o tiee raíces reales º Factorizació: es irreducible.. FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS DE GRADO MAYOR QUE Sea a a... a a a u poliomio de grado º Determiamos las posibles raíces eteras de osibles raíces eteras de = {divisores del térmio idepediete a } º Elegimos ua de las posibles raíces a y dividimos etre a Si la divisió o es eacta a o es raíz de a o es factor de Si la divisió es eacta a es raíz de a co C cociete de la divisió es factor de a C º Ahora cotiuamos factorizado C Si C es u poliomio de º grado, lo factorizamos como hemos visto e el apartado.. Si C es u poliomio de grado mayor que, repetimos el paso aterior hasta que el cociete de la divisió sea u poliomio de grado y lo podamos factorizar como hemos visto e el apartado.. a Factorizar osibles raíces eteras = Div {, } es raíz es factor y 5 5 es raíz es factor y 8 ahora repetimos el proceso co este poliomio 5 poliomio de º grado ara determiar las raíces y factorizar 5 resolvemos la ecuació de º grado:

6 Luego, Solució,,, Raíces b Factorizar 5 6 Etraemos factor comú : Ahora teemos que factorizar el poliomio osibles raíces eteras = }, { Div co este poliomio proceso el ahora repetimos y es factor es raíz 6 grado de º poliomio y es factor es raíz ara determiar las raíces y factorizar resolvemos la ecuació de º grado: 8 Luego, Solució, doble, triple, Raíces