Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 138

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1 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE-5 8. DIGONLIZCIÓN... PRINCIPLES FUNCIONES DE DERIVE PR L DIGONLIZCION: CLCULO DE UTOVLORES Y UTOVECTORES. tes de iiciar el estudio de los pricipales coceptos que compoe la DIGONLIZCIÓN de matrices, vamos a mostrar alguas fucioes de DERIVE, útiles e este cotexto. lguas de ellas está predefiidas y otras se cotiee e el fichero de utilidades VECTOR.MTH. () Fucioes predefiidas e DERIVE. Sea ua matriz cuadrada: DET() calcula el determiate de la matriz. TRCE() calcula la traza de la matriz cuadrada. CHRPOLY() calcula el poliomio característico de la matriz. EIGENVLUES() calcula los autovalores de la matriz. (B) Fucioes del programa de utilidades VECTOR.MTH RNK() calcula el rago de la matriz. EXCT_EIGENVECTOR(,v) calcula los autovectores asociados al autovalor v de la matriz. PPROX_EIGENVECTOR(,v) calcula los autovectores asociados al autovalor v de la matriz. EJEMPLO.. Dada la matriz de cada uo de ellos. 2 calcular sus autovalores y el orde de multiplicidad Solució E primer lugar defiimos e DERIVE la matriz dada editado co o bie co Editar(utor)-Expresio la expresió a:[[,-,],[-,2,-],[,-,]] y se obtiee cotiuació calculamos sus autovectores directamete a través de la fució EIGENVLUES. Editado y simplificado la fució se obtiee Otro método, cosiste e calcular su poliomio característico mediate la fució

2 Diagoalizació. utovalores y autovectores. 9 y a cotiuació aplicar el comado Resolver-Expresió-(forma algebraica) la ecuació característica, (e este caso basta aplicar el comado resolver sobre la expresió aterior, ya que DERIVE sobreetiede que la ecuació a resolver es dicha expresió igualada a cero), y de esta forma obteemos que: Obsérvese que DERIVE, por defecto, toma como variable para el poliomio característico w. Si embargo es posible defiir el poliomio característico utilizado la expresió que le defie mediate que al simplificar co se obtiee EJEMPLO.2. Calcular los autovectores asociados a los autovalores de la matriz del ejemplo aterior. Solució Para calcular los autovectores asociados a los autovalores obteidos e el ejemplo aterior podemos utilizar dos procedimietos: ) Resolver u sistema de ecuacioes a través de ROW_REDUCE. - utovectores asociados al autovalor w. Los autovectores e este caso surge de resolver el sistema ( * I ) v es decir, so las solucioes de u sistema homogéeo cuya matriz de coeficietes es (-*I ). Para resolver este sistema basta aplicar ROW_REDUCE a dicha matriz y obtedremos la matriz de coeficietes de u sistema triagular equivalete. Por tato editado y simplificado la expresió resulta Luego el subespacio de autovectores asociado al autovalor es el cojuto de vectores (x,y,z) tales que xzy, que está geerado por el autovector (,,).

3 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE utovectores asociados al autovalor w Utilizado el mismo razoamieto que e el apartado aterior, e este caso editado y simplificado obteemos por los tato los autovectores asociados al autovalor w so aquellos ( x, y, z) R tales que x-z,y, por tato el subespacio asociado al autovalor w está geerado por (-,,). - utovectores asociados al autovalores w E este caso efectuado Luego el subespacio de autovectores asociado al autovalor es V ( λ ) {( x, y, z) R / x z, y 2z} que está geerado por el vector (,-2,). uque e este caso hemos resuelto el sistema usado la fució ROW_REDUCE, podríamos haber utilizado la fució SOLVE o bie la secuecia de comados Resolver- Sistemas de ecuacioes. 2) plicar la fució EXCT_EIGENVECTOR(,w) (Para utilizar esta fució debemos teer el fichero de utilidades VECTOR.MTH). - Cálculo de V ( λ ). Editado y simplificado obteemos como resultado u úico vector paramétrico (el parámetro es decir, V ( λ ) L{(,, )}. - Cálculo de V ( λ 2 ). Editado y simplificado resulta es decir, V ( λ 2 ) L{(,, )}.

4 Diagoalizació. utovalores y autovectores. 4 - Cálculo de V ( λ ). Editado y simplificado resulta es decir, V ( λ ) L{(, 2,)}..2. DIGONLIZCION DE MTRICES. Recordemos brevemete alguos resultados teóricos: Ua matriz cuadrada es diagoalizable, por defiició, si es semejate a ua matriz diagoal D, es decir, existe ua matriz regular P, llamada matriz de paso, tal que P D P La codició ecesaria y suficiete para que ua matriz sea diagoalizable e R es que los autovalores sea reales y la multiplicidad de cada autovalor λ sea igual a la dimesió del subespacio propio asociado a λ. Si u autovalor tiee multiplicidad m, etoces la dimesió del subespacio de autovectores (llamado tambié subespacio propio) es meor o igual que m. Si ua matriz de orde es diagoalizable, y obteemos ua base B de cada subespacio de autovectores V ( λ i ). Etoces la matriz de paso P, se costruye colocado e columa las coordeadas de los vectores propios que forma la base de cada subespacio. partir de estas ideas fudametales para el estudio de este tópico, vamos a platear alguos ejemplos de problemas típicos de DIGONLIZCIÓN. EJEMPLO.. Dada la matriz cuadrada Se pide: (a) Determiar si es diagoalizable.. E caso afirmativo obteer su matriz diagoal semejate D y la matriz de paso P y comprobar que se verifica P.D.P -. Solució (b) Utilizado la diagoalizació aterior, diagoalizar 2 y -. Defiimos la matriz, mediate el comado Editar (utor)

5 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE-5 42 (a) Para comprobar si la matriz es diagoalizable, vamos a estudiar sus autovalores editado y simplificado la expresió (b) Observamos que co este procedimieto o obteemos la multiplicidad de los autovalores. Para ello, lo que vamos hacer, es calcular el poliomio característico y a cotiuació lo vamos a factorizar. sí pues, editado la expresió al simplificar se obtiee que al factorizar co el comado Simplificar-Factorizar-Racioal se obtiee Por lo tato las multiplicidades de los autovalores λ -2 y λ 2 2 so y respectivamete, es decir, om(λ -2), y om(λ 2 2). Vamos a estudiar ahora la dimesió de los subespacios de autovectores asociados a cada autovalor (previamete cargamos el fichero VECTOR.MTH mediate la secuecia rchivo-leer-utilidades). Calculamos e primer lugar el subespacio V ( λ 2). Para esto, de uevo editado y simplificado la expresió obteemos que el subespacio de autovectores asociado al autovalor λ -2 tiee dimesió uo que coicide co la multiplicidad del autovalor λ -2, es decir, V λ 2) L{(,,, )},dim( V ( λ 2)) om( λ 2). ( Calculamos e segudo lugar el subespacio V ( λ 2 2). La ecuacioes de este subespacio propio se obtiee editado y simplificado la expresió por tato se cocluye que

6 Diagoalizació. utovalores y autovectores. 4 V( λ 2) L{(,,,),(,,, ),(,,, )}, 2 dim( V( λ2 2)) om( λ2 2) y e cosecuecia la matriz es diagoalizable. Segú los cálculos que hemos obteido teemos que la matriz D es y que la matriz de paso P viee dada por: Fialmete comprobamos que P.D.P -, editado la expresió p.d.p^- (c) La diagoalizació de la matriz, resulta secilla, ua vez calculada la de puesto que.. P. D. P. P. D. P. P. D. P P. D. P Por tato la matriz diagoal D es semejate a la matriz. Editado y simplificado d^ obteemos permaeciedo ivariate su matriz de paso P. Por último calculado

7 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE-5 44 y por otro lado podemos cocluir que hemos realizado bie el proceso. cotiuació pasamos a la diagoalizació de -. Para ello e primer lugar calculamos su iversa (que existe) y observamos que teiedo e cueta que ( P. D. P ) P. D. P podemos cocluir que la matriz diagoal semejate a - es y que la matriz de paso es la iversa de la aterior, es decir

8 Diagoalizació. utovalores y autovectores. 45 Se puede comprobar que efectivamete, se cumple la semejaza etre dichas matrices. EJEMPLO.4. Estudiar para qué valores de los parámetros dados, es diagoalizable la siguiete matriz: Solució tes de editar la matriz, vamos a liberar de valores a los parámetros a y b editado a: y b: hora sí podemos editar la matriz c de forma usual c(a, b):[[a,b,],[,,2],[,,2]] (obsérvese que editamos la matriz depediete de los parámetros a y b, ya que esto os puede resultar muy útil a la hora de cosiderar uos parámetros determiados) Sus autovalores se obtiee factorizado de forma racioal su poliomio característico, es decir editado y simplificado De dode obteemos que los autovalores de la matriz so wa, w2, w2. cotiuació pasamos a estudiar los distitos casos segú los valores de a : Si a, a 2 etoces tedremos tres autovalores distitos, por lo que la matriz C será diagoalizable.

9 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE-5 46 Si a, teemos que estudiar úicamete la dimesió del subespacio V ( λ ). Este subespacio se obtiee editado y simplificado exact_eigevector(c(,b),) y resulta Obteemos que el subespacio propio está geerado por el vector (,,), es decir, tiee dimesió. Por tato e este caso C(, b) o es diagoalizable puesto que dim( V ( λ ) 2 om( λ ) Si a2, el estudio del subespacio V ( λ 2 2) se obtiee editado y simplificado exact_eigevector(c(2,b),2) y resulta Por tato e este caso C(2, b) tampoco es diagoalizable puesto que dim( V ( λ2 2) 2 om( λ2 2) EJEMPLO.5. Costruir ua matriz cuyos autovalores so: λ /2 co om(λ ) λ 2 co om(λ 2 )2 λ co om(λ ) y tal que V ( λ / 2) L{(,,,),(2,2,2,2)} V ( λ 2 ) L{(,,,),(,,,)} V ( λ ) L{(,,,),(,,,)} Solució. Lo primero que debemos determiar es si podemos costruir ua base de R 4 formada por los autovectores dados, ya que, e caso cotrario la matriz o sería diagoalizable. Para ello, elegimos ua base de cada subespacio. Es evidete que ua base para el primer subespacio lo forma el vector (,,,). Para el segudo subespacio, lo forma {(,,,),(,,,)}. Y para el tercero {(,,,)}. estos cuatro vectores forma ua base de R 4? Para comprobarlo, costruimos la matriz que tiee por columas cada uo de estos vectores editado Si calculamos su determiate

10 Diagoalizació. utovalores y autovectores. 47 Deducimos que los cuatro vectores so l.i., y por tato forma ua base de R 4. Como os da los autovalores, la matriz diagoal correspodiete a esta matriz P es Por tato, la matriz pedida verifica que es semejate a D por P, es decir se obtiee efectuado que al simplificar os da la matriz pedida EJERCICIO 5. Dadas las matrices / 5 4 / 5 / / 5 6 / 5 / 5, 2 / 5 2 / 5 / 4 2 B, 5 2 C 5 2 a) Hallar sus poliomios característicos. b) Determiar si so diagoalizables, y e ese caso hallar sus matrices de paso y diagoales. EJERCICIO 54.

11 Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE-5 48 La expoecial de ua matriz cuadrada se defie por...!... 2!! 2 I e Si la matriz es diagoalizable este cálculo se puede efectuar de forma secilla ya que..! ).. (! D P P e P D P e Utilizado este hecho, calcular la fució expoecial de la siguiete matriz 2 EJERCICIO 55. Estudiar para qué valores de los parámetros so diagoalizables las siguietes matrices: t h t B EJERCICIO 56. Dada la aplicació lieal ), 4,2 ( ),, ( z z y x z y x z y x f Se pide: (a) Determiar los subespacios vectoriales de R ivariates por f. (b) Es posible escribir R como suma directa de subespacios vectoriales ivariates por f? E caso afirmativo, obteer ua base B de R como uió de bases de dichos subespacios ivariates y hallar la matriz asociada a la aplicació lieal f respecto a esta base B.