APUNTE TEORICO DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Transcripción

1 APUNTE TEORICO DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES [6.08] ALGEBRA II Autor: Berardo Ortega

2 Ídice SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS...3 De primer orde co coeficietes costates..3 Sistemas Acoplados.4 Sistemas Desacoplables...5 Método para sistemas o Desacoplables.9 - -

3 Sistema de ecuacioes difereciales ordiarias De primer orde co coeficietes costates Se tiee u sistema de ecuacioes difereciales ordiarias de primer orde: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) = a + a + + a = a + a + + a = a + a + + a ( t ) ( t ) ( t ) Datos: a a A: R a a f f f f = dode f : I R so cotiuas e u itervalo I R, i = i Icógitas : I R es de clase C ( I ) i - 3 -

4 Idicado que matricialmete como: = y =, el sistema se puede escribir A F = + Observació: Dada B R y dado y B y t B t = y La demostració: y y y =, dode cada yi : I R es derivable e I etoces: y b b b y ( t ) b y y B y ( t ) = B y = = t b b b y ( t ) b y y Sistemas Acoplados Cosiste e aquellos sistemas e el que la matriz (por ejemplo) A es diagoal, es decir: { } A = diag λ,λ,,λ λ λ = + f = + f = + f λ - 4 -

5 Sistemas Desacoplables Cosiste e que ua matriz, (por ejemplo) A es diagoalizable. = +, etoces como A es diagoalizable eiste ua matriz V Si A F iversible y ua matriz diag { } V AV = D, por lo tato = tal que: D λ,λ,,λ A = VDV, etoces retrascribimos el sistema = A + F como VDV F V a la izquierda y os queda miembros tato el sistema desacoplado es y = Dy + G EJEMPLO: Sea el siguiete sistema de ecuacioes difereciables: t = t + 0 t t = t hallar ua solució del mismo. = + se multiplica ambos = + V t DV t V F t y t y t G t, por lo RESOLUCION: E este caso el valor de =, la matriz itervalo e que se esta trabajado es I =R. 0 A = 6 y F t = t el Como el sistema o es acoplado, ya que la matriz A o es diagoal, lo que se tiee que realizar es la diagoalizació de la misma. Para eso se tiee que aplicar los coocimietos apredidos de Autovalores y Autovectores

6 Pasamos a buscar los autovalores de A : λ P A = det A λi, etoces λ 0 Pλ ( A) = = ( λ ) ( λ) λ λ = + = = ( )( + ) P A λ 0 λ λ λ por lo tato sus autovalores so λ = y λ =. Para λ Para λ = su autovector respectivo es v = [ ] T 5 3 v =. = su autovector respectivo es [ ] T, etoces Etoces la matriz V os queda 3 V = 5, diagoalizamos la matriz A : A = VDV = = 5 0 V D V = + lo retrascribimos como: Al sistema A F = + V t DV t V F t y t y t G t etoces: 3 5 t 8t = = = t 3t. V F G t

7 y Dy G Etoces y 8t ( I) y = = + = y = + y 3t ( II) Paso a resolver ( I ) (como ua ecuació diferecial lieal de primer orde): y e = y 8t, despejamos y y dt t = e factor itegrate. t + t = 8t, calculo el factor itegrate: Etoces multiplico ambos miembros por el factor itegrate t t t e y ( t ) + e y = 8t e t, etoces t e y t t t sale itegrado por partes etoces t e dt = t e e + c t t 8 t t t e y e e c y ( t ) es: = +, despejo y ( t ) 8( t ) y = c e t. Paso a resolver ( II ) :, t 8 t t e y d = e t, ahora t e t dt t Para resolver la ecuació diferecial y y utilice e dt t I, el factor itegrate e este caso es, etoces: y la solució: de la ecuació diferecial t = t + 3t aplico el mismo método que e = e. La solució de la ecuació diferecial y es y ( t ) c e t 3( t ) = +. Ahora para ecotrar la solució del sistema se tiee que cosiderar lo siguiete: - 7 -

8 Se sabe que = V y( t ), etoces y t 3 c e 8( t ) t = t 5 c e 3( t + ), etoces y t = c e 6 t 5 t c e = 3t + c e + 5 c e t t t t t = c e 8 t 9 t c e = 7t + c e + 3 c e. t t t t Como =, etoces os queda: t t 3t + c e + 5 c e = t t 7t + c e + 3 c e despejamos u poco y os queda que: 3t t t 5 ( t ) = + c e + c e 7t 3 es la solució particular del sistema de ecuacioes. Observació: t -El factor itegrate correspodiete a c e podemos apreciar que la potecia t por el autovalor el sigo correspode -El factor itegrate correspodiete a t c e podemos apreciar que la potecia t el sigo + correspode por el autovalor - 8 -

9 Nota: Si A es diagoalizable, sea v, v,, v ua base de Autovectores de A tal que A vi = λ i vi co i =,,. = α + α + + α v v v = α + α + + α v v v = + + F t g t v g t v = + etoces: si A F ( ) α t v + + α t v = A α t v + + α t v + g t v + + g t v F t etoces, α t v + + α t v = α t A v + + α t A v + g t v + + g t v λ v λ v etoces, F α t v + + α t v = α t λ + g t v + + α t λ + g t v, por lo tato: g g α t = λ α t + t α t = β t + c e g λ t α t = λ α t + t α t = β t + c e α t = λ α t + t α t = β t + c e λ t λ t etoces: α α β β λ t λ t t = t v + + t v = t v + + t v + c e v + + c e v Sol. particular de t A t F = + Sol. geeral de = A - 9 -

10 Método para sistemas o Desacoplables Para =, para utilizar este método se debe cosiderar el Teorema de Cayley Hamilto Nota: El Teorema de Cayley Hamilto dice que PA ( A) = 0. Para el caso de = : A tr P A = A A A + det A I = 0 = + o es desacoplable, etoces se utiliza la seguda derivada Si A F de, es decir A F = +. = A + F A A + F + F, operamos u poco y os queda que: A A F F teemos que tr queda que: = + +, aplicado el Teorema de Caley Hamilto A = A A det A I, etoces reemplazado e la epresió os = ( A ) A det ( A ) I + A F + F tr, simplificamos u poco y teemos que: t = tr A A t det A t + A F t + F t etoces F = ( A ) ( A ) F det ( A ) + A F + F tr tr despejamos y os queda ( A ) + det ( A ) = A F ( A ) F + F tr tr H t - 0 -

11 ( A ) + det ( A ) = ( t ) ( I) tr h tr h ( A ) + det ( A ) = ( t ) ( II) EJEMPLO: Sea el sistema de ecuacioes difereciales: = = Hallar ua solució. RESOLUCION: Buscamos la matriz A : 0 A = 0 ( t ) = ( t ) ( t ) = ( t ) t t + t t = 0 ( t ) + ( t ) = + = 0 se puede observar que tr ( A) = 0 y sistema y os queda det A =, etoces ahora derivo ua vez mas al - -

12 = = = = despejo 0 ( I) + = + = 0 ( II) Paso a resolver ( I ) : Como es ua ecuació diferecial lieal de segudo orde homogéea, se puede ver claramete que o tiee ua solució posible e los R, tiee ua solució e los C. Etoces ua solució para ( I ) es: = cos + se = cos + se a b a b Paso a resolver ( II ) : Como es el mismo caso que e ( I ), etoces tiee solució e los C, como mas arriba se dijo que = etoces =, etoces de ahí se deduce que: ( t ) = cos ( t ) + se ( t ) = cos ( t ) + se c d b a Para verificar veamos que: ( t) ( t ) se ( t ) cos ( t ) cos ( t ) se = a + b = c d ( t) ( t ) se ( t ) cos ( t ) cos ( t ) se = c + d = a + b ( t) - -

13 Observació: Se puede observar que e el caso de : - a = c a = c - b = d b = d ahora para el caso de : - a = c a = c - b = d b = d Esto quiere decir, que satisface la codició iicial: = = - 3 -