ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES (056) SEMANA 0 CLASE 0 LUNES 09/04/. Presetació de la asigatura. Coteido programático, pla de evaluació, software de apoyo, bibliografía recomedada. Se sugiere ver los archivos Nota Iformativa (Impreso) y Nota Iformativa (Presetació).. Se idica a los estudiates que repase todo sobre itegració simple. Se sugiere ver el archivo Tema (Itegració Idefiida) de la asigatura Cálculo II.. Ecuació diferecial. Es aquella e la que iterviee derivadas o difereciales. Si tales derivadas so las de ua fució de ua variable, etoces a la ecuació diferecial se le llama ordiaria. Ua ecuació diferecial parcial (o e derivadas parciales) cotiee derivadas parciales. 4. Ejemplos y observacioes de iterés. Las ecuacioes + =, x x y 7x 4 5 x 4 + =, (x 5y + )y' = 7x + y, so ecuacioes difereciales ordiarias, mietras que z =, y t t t + + = 0 y z so ecuacioes difereciales parciales o e derivadas parciales. E el ejemplo aterior las ecuacioes x y 7x + =, x + x = tambié puede escribirse de la forma y xy + y = 7x, respectivamete. Esto tomado e cueta la otació y =, y =, y =, y (4) 4 =,., y 4 () 4 (4) x y + x y'' =, =,., cuado la derivada ordiaria es co respecto a t, cosiderado a esta variable idepediete como tiempo, y x es, por ejemplo, ua variable que depede de t, se usa co frecuecia para las tres primeras derivadas la otació xɺ =, dt d x xɺɺ =, ɺɺɺ d x x =. dt dt Así, e el ejemplo aterior la ecuació + = x + y dt dt Prof. José Luis Quitero

2 podría escribirse como xɺ + yɺ = x + y. Tomado e cueta que las derivadas parciales co frecuecia se represeta co u subídice, el cual idica las variables idepedietes, se puede escribir las ecuacioes z z u u + = x, + = y u y t como z x + z y = x, uxy + utt = u, respectivamete dt k(t T m) dt =, dode k, T m so costates. Esta ecuació se preseta e problemas relacioados co efriamieto o caletamieto de u objeto mxɺɺ + β xɺ + kx = 0, dode m, β y k so costates. Esta ecuació se preseta e problemas e los que se tiee u sistema masa-resorte e movimieto ( x )y'' xy' + α( α + )y = 0, α R (Ecuació de Legedre que se preseta e problemas de propagació del calor co simetría esférica) y'' + µ (y )y' + y = 0 (Ecuació de Va der Pol que se preseta e problemas de circuitos eléctricos coteiedo tubos al vacío) utt a uxx = 0 (Ecuació de oda uidimesioal que caracteriza la propagació de odas e alguos medios y las vibracioes mecáicas de ua cuerda vibrate) u + u + u = 0 (Ecuació de Laplace que se preseta e el estudio de xx yy zz poteciales magético, eléctrico, gravitatorio y e el flujo de calor) 5. Orde de ua ecuació diferecial. Es el mayor orde de las derivadas que aparece e dicha ecuació. Es decir, es el orde de la más alta derivada de la ecuació diferecial. 6. Ejemplos de iterés. 5 4 y = es ua ecuació diferecial ordiaria de segudo orde o de orde dos La ecuació 4 t t + = 0 4 es ua ecuació diferecial parcial de orde cuatro x y'' + xy' + (x p )y = 0 (Ecuació de Bessel que se preseta e problemas de flujo de calor e cilidros, propagació de corrietes eléctricas e coductores cilídricos y vibracioes de membraas) es ua ecuació diferecial ordiaria de segudo orde 7. Grado de ua ecuació diferecial. Es la potecia de la derivada de mayor orde e la ecuació. Prof. José Luis Quitero

3 8. Ejemplos de iterés. y' = tg(x) es ua ecuació diferecial ordiaria de primer orde y primer grado z z x = 6 es ua ecuació diferecial parcial de orde y grado x + 5 = 0 es ua ecuació diferecial ordiaria de orde y grado 9. Variable depediete y variable idepediete. Se deomia variable depediete a la que preseta derivadas, mietras que la variable idepediete es aquella respecto de la cual se realiza la derivada. 0. Ejemplos de iterés. E la ecuació diferecial 5 7y cos(x) + = y es la variable depediete, mietras que x es la variable idepediete La ecuació v v + = 0 y z tiee dos variables idepedietes z, y, y ua variable depediete v. Observacioes de iterés. Ua ecuació diferecial ordiaria geeral, e ua variable depediete, de orde se puede represetar mediate F x,y,,, 0 =, () dode F es ua fució defiida e u subcojuto de reales. La ecuació x y 7x + = R + se puede represetar mediate F x,y,, 0 =, F x,x,x,x = x x x + x 7x. E efecto, tomado dode ( ) resulta Luego, 4 4 x = x, x = y, x = y x =, 4 = + F x,y,, x y 7x. = F x,y,, 0 y que toma valores Prof. José Luis Quitero

4 coduce a La ecuació x y 7x + =. 5 4 y = =, dode se puede represetar mediate F ( x,y,y,y ) 0 5 ( ) F x,x,x,x = x 4x x. 4 4 E muchos casos, se puede despejar el térmio de orde máximo de la ecuació () y se escribe etoces = f x,y,,, () La ecuació () se llama forma ormal de (). Así, cuado covega y sea posible, se usará las formas ormales f(x, y) =, f(x,y,y'') = para represetar ecuacioes difereciales ordiarias de primer y segudo orde respectivamete. Ecuació diferecial ordiaria lieal. Ua ecuació diferecial ordiaria es lieal si tiee la siguiete forma a (x) + a (x) + + a (x) + a 0(x)y = g(x), () dode a (x), a (x),, a 0(x) y g(x) depede sólo de la variable idepediete x.. Observacioes de iterés. Si g(x) = 0 la ecuació () se llama lieal homogéea Dada ua ecuació lieal, su correspodiete ecuació lieal homogéea e la que se ha hecho g(x) = 0 se deomia lieal homogéea asociada Si ua ecuació diferecial ordiaria o es lieal, etoces se cooce co el ombre de o lieal Si se mira la ecuació () como u caso particular de la ecuació (), se tiee etoces que ésta se puede represetar e térmios de la fució F(x,x,,x,x,x ) = a (x )x + a (x )x + + a (x )x + a (x )x g(x ) Ejemplos de iterés (ecuacioes lieales). x y cos(x) + =. Aquí se puede tomar F(x,x,x ) = xx + x cos(x ) x x y''' + (x + ) y' = e Prof. José Luis Quitero 4

5 5. Ejemplos de iterés (ecuacioes o lieales). y''' + yy'' = 0 (Ecuació de Blasius que se preseta e problemas de mecáica de fluidos) y = y'x + (y') y' (Ecuació de Clairaut que se preseta e variados problemas físicos) 6. Solució de ua ecuació diferecial. Se dice que ua fució f, defiida e algú itervalo I, es solució de la ecuació diferecial () e el itervalo I, si y = f(x) tiee por lo meos derivadas hasta el orde y además () F(x,f(x),f '(x),,f (x)) = 0 para todo x I. 7. Ejemplos de iterés. Para todo úmero real C, la fució ecuació y' + y = 0. E efecto, f(x) e lugar de y se obtiee, para todo x f(x) = Ce co x R, es solució de la f '(x) = Ce y al sustituir f '(x) e lugar de y' y R, la idetidad f '(x) + f(x) = 0 Sea C, C úmeros reales arbitrarios, la fució f(x) = Ce + Ce co x R, es solució de la ecuació y'' y = 0. E efecto, f ''(x) = f(x) y así se obtiee, para todo x R, la idetidad f ''(x) f(x) = 0 x 8. Observacioes de iterés. f(x) = Ce defie ua familia uiparamétrica de solucioes, co parámetro C, para la ecuació de primer orde y' + y = 0 x f(x) = C e + C e defie ua familia biparamétrica de solucioes, co parámetros C y C, para la ecuació de segudo orde y'' y = 0 E geeral ua ecuació diferecial de orde tiee ua familia de solucioes co parámetros (ua familia que icluye costates arbitrarias o parámetros) Si toda solució de ua ecuació diferecial ordiaria de orde, e u itervalo I, se obtiee de ua familia que depede de parámetros C,C,,C mediate eleccioes apropiadas de los C i, i =,,,, se dice etoces que la familia es la solució geeral de la ecuació diferecial Puede darse el caso que para ua ecuació diferecial exista algua solució que o se obtiee asigado valores específicos a los parámetros e ua familia de solucioes. A tal solució se le llama solució sigular La termiología de solució completa se usa alguas veces para deotar todas las solucioes, esto es, la solució geeral juto co las solucioes sigulares, si hay algua 9. Ejemplos de iterés. Para todo úmero real C, la fució f(x) = x + C 4 co x R Prof. José Luis Quitero 5

6 es solució de la ecuació y' = x y. Para ésta ecuació la fució g(x) = 0, x R, es solució. Si embargo, o existe C R tal que la fució g se pueda obteer a partir de la fució f. Así, g(x) = 0 es ua solució sigular para la ecuació y' = x y. Para todo úmero real C, la fució f(x) = x + C es solució de la ecuació y' = x e I = R, porque al sustituir f '(x) e lugar de y' se obtiee la idetidad x geeral de solució geeral particular de parámetro. = x. Etoces, a la fució f(x) = x + C, se le llama solució y' = x, ya que toda solució es de esa forma. Observe que e la f(x) = x + C aparece el parámetro arbitrario C. Ua solució y' = x se obtiee asigádole u valor específico a dicho 0. Ejemplo ilustrativo. Cosidere dos úmeros reales arbitrarios C, C. Demuestre que x f(x) = C e + C e es solució de y'' 4y = 0, e I = R. x Solució. x Como f '(x) = C e C e y x x f ''(x) = 4C e + 4C e, al reemplazar f(x) y x f ''(x) e y'' 4y = 0 se tiee que f ''(x) 4f(x) = 0, es decir, x x (4C e + 4C e ) 4(C e + C e ) = 0. Esto demuestra que f(x) es ua solució de y'' 4y = 0. La solució f(x) se llama solució geeral de y'' 4y = 0. Note que la ecuació diferecial es de orde y que la solució geeral cotiee dos parámetros arbitrarios C, C. Se va a calcular la solució particular de y'' 4y = 0 que satisface la codició y = si x = 0, y' = 0 (esto suele escribirse y(0) =, y'(0) = 0, es decir, f(0) =, f '(0) = 0). De esta maera f(0) = C e + C e = C + C =. f '(0) = C e C e = C C = 0 El sistema de ecuacioes a resolver es C + C =. C C = 0 De aquí se obtiee C = C =, etoces la solució particular para las codicioes iiciales dadas x (y(0) =, y'(0) = 0) es: f(x) = e + e.. Problema de valores iiciales (PVI). Es el problema que cosiste e ecotrar la solució y = y(x) de la ecuació = f x,y,,, Prof. José Luis Quitero 6

7 co ( ) 0 = α 0 0 = α 0 = α y(x ), y'(x ),,y (x ), dode x 0, α0, α,, α so úmeros reales dados. Los valores de y(x) y sus primeras derivadas e u solo puto x 0 se llama codicioes iiciales.. Ejemplo ilustrativo. Supoga que se quiere determiar ua curva C del plao pasado por el puto (,) y tal que la pediete de la tagete e cada uo de sus putos sea igual a la abscisa del puto correspodiete. Solució. Sea y = y(x) la ecuació, e forma explícita, de la curva C a determiar. Si (x,y(x)) es u puto cualquiera de C, la pediete de la recta tagete e el mismo es igual a (x) y por lo tato, de acuerdo al euciado del problema, se verifica (x) x =. Luego, el problema cosiste e ecotrar ua fució y(x) tal que satisfaga la ecuació aterior e todo puto x de su domiio y además y() =, ya que C pasa por el puto (,).. Ejemplo ilustrativo. Demuestre que y = C e + C e es solució de y 0 C, C y obtega ua solució particular que + + = para las costates arbitrarias satisfaga las codicioes y(0) =, y'(0) =. Solució. Se debe probar que E efecto: y = C e + C e y' = = Ce Ce y'' = = C e + 4Ce y =. C e + 4C e + ( C e C e ) + (C e + C e ) = 0 C e + 4C e C e 6C e + C e + C e = 0 Por otro lado, si y(0) =, y'(0) = se tiee: C + C =, C C = de aquí se obtiee C =, C =, etoces la solució particular para las codicioes iiciales dadas es y = e e. Prof. José Luis Quitero 7

8 4. Iterpretacioes para el PVI. Cuado el PVI se cosidera para ua ecuació de primer o segudo orde, se tiee ua iterpretació geométrica bie secilla. Para el PVI = f x,y y(x 0) = α0 ( ) se busca ua solució de la ecuació, defiida e u cierto itervalo I que cotiee a x 0, de modo que su gráfica pasa por el puto (x 0, α 0). Para el PVI = f(x,y,y') y(x ) = α, y'(x ) = α se busca ua solució, defiida e u cierto itervalo I que cotiee a x 0, de modo que su gráfica pasa por el puto (x 0, α 0) y además la pediete de la curva e ese puto sea el úmero α. 5. Observació de iterés. E los ejemplos ateriores las solucioes exhibidas viee dadas e forma explícita. Esto sigifica que se tiee fucioes y = f(x), e las que la variable depediete se expresa solamete e térmios de la variable idepediete y costates, que so solucioes. E muchas ocasioes, sobre todo cuado se iteta resolver ecuacioes o lieales, los métodos de solució o coduce e forma directa a ua solució explícita y = f(x). E estos casos, ua solució de la ecuació () podría veir defiida e forma implícita. Esto sigifica que existe ua relació del tipo G(x,y) = 0, dode se tiee que y esta defiida e forma implícita como fució de x, co x e cierto itervalo, y que además satisface (). 6. Ejemplo ilustrativo. Para < x < la relació implícita de la ecuació diferecial x =. y x + y 4 = 0 es ua solució E efecto, derivado implícitamete se obtiee d d d (x ) + (y ) (4) = 0, x y 0 + = o bie = x. y La relació x + y 4 = 0 defie dos fucioes e el itervalo < x < : y = 4 x, y = 4 x. Prof. José Luis Quitero 8