y = c n x n : Sustituyendo en la ecuación de partida obtenemos n=0 Si escribimos todas las potencias con el mismo exponente se obtiene:

Transcripción

1 Ejercicio. Obteer los cuatro primeros térmios o ulos de la solució e forma de serie de potecias de x del problema de valores iiciales < (x + )y y = y() = : y () = Solució Como os pide que resolvamos u problema de valor iicial co valores e x =, debemos buscar ua solució e serie de potecias de la forma y = c x : = Si derivamos esta fució dos veces obteemos, y = c x ; y = ( )c x : = Sustituyedo e la ecuació de partida obteemos X ( + x) ( )c x c x = = = o lo que es lo mismo, X ( )c x + ( )c x c x = = Si escribimos todas las potecias co el mismo expoete se obtiee: X ( + ) ( + )c + x + ( + ) c + x c x = = = = = = que puede ser escrito como [( + ) ( + )c + + ( + ) c + c ] x = = De dode obteemos c + = ( + ) c + c ; ( + ) ( + ) De las codicioes iiciales se deduce que c =, c =, que juto co las leyes de recurrecia os da: c =, c 3 = 6, c = y c 5 = 7 : Así que los cuatro primeros térmio o ulos de la serie so: y = x + 6 x3 x + 7 x5 + :::

2 Ejercicio.Sea f(t) la fució -periódica de ida por t; < t f(t) = ; t < y extedida a toda la recta real.. Obteer su desarrollo e serie de Fourier.. Dibujar la fució a la que coverge dicha serie e el itervalo [ ; ], justi cado la respuesta. Solució Recordemos queel desarrollo de Fourier de ua fució f(x) T -periódica es de la forma f(t) a + X [a cos (!t) + b se (!t)] ; co! = T ; o equivaletemete f(t) a + X h i a cos L t + b se L t ; co L = T ; Dode los coe cietes (a ) y (b ) viee dados por a = T b = T Z T Z T E uestro caso T =, L = ; y por tato f(t) cos(!t)dt; f(t) se(!t)dt: dode f(t) a + X [a cos (t) + b se (t)] ; a = a = b = Z Z Z f(t)dt = Z f(t) cos(t)dt = f(t) se(t)dt = ( t) dt = ; Z Z ( t) cos(t)dt = ( ( ) ) = ( t) se(t)dt = : ( ; si es par ; ; si es impar

3 Fialmete, el desarrollo pedido es f(t) + X ( ( ) ) cos (t) + se (t) = + X par cos (t) + X se (t) : Para dibujar la fució a la que coverge esta serie e el itervalo [ ; ] basta recordar el teorema de covergecia de Dirichlet que a rma que e los putos dode la fució es cotiua coicide co la serie de Fourier y e los putos de discotiuidad de salto la serie de Fourier coverge al puto medio de dicho salto. Ejercicio 3. Resolver el problema co valores e la = u 3@ ; < x < ; t > u(; t) = u(; t) = ; t > ; >: u(x; ) = 9 se (x) + 6 se (3x) 7 se (x) ; < x < : Solució Para resolver la ecuació e derivadas parciales, usamos el método de separació de variables. Por lo tato buscamos solucioes u(x; t); o triviales, de la forma u(x; t) = X(x)T (t): Sustituimos esta expresió e la ecuació e derivadas parciales y obteemos: T (t) T (t) = (x) 3X X(x) Ya que la parte izquierda de la igualdad depede sólo de la variable t y la parte derecha depede sólo de la variable x, ambas debe ser iguales a ua costate que deotamos. Es decir, T (t) 3T (t) = X (x) X(x) = : De esta expresió obteemos que las fucioes X(x) y T (t) que estamos buscado debe satisfacer, respectivamete, las ecuacioes difereciales X (x) + X(x) = y T (t) + 3T (t) = : De las codicioes homogéeas u(; t) = u(; t) =, se obtiee que la fució X(x) debe satisfacer las codicioes de cotoro X() = X() =. Ahora resolvemos el problema de cotoro X (x) + X(x) = ; X() = X() = : 3

4 dode es ua costate que teemos que determiar. Aalizamos las distitas posiblidades que se puede presetar. La ecuació característica de esta ecuació diferecial es r + = ; por lo que las solucioes de la ecuació podría ser: Si <, etoces la ecuació característica tiee dos solucioes reales, r = p y r = p : E este caso la solució geeral de la ecuació diferecial es: X(x) = C e p x + C e p x Impoiedo las codicioes de cotoro X() = X() =, obteemos que las costates C y C debe satisfacer el sistema C + C = C e p + C e p = cuya úica solució es C = C =, luego si <, sólo obteemos la solució trivial. Si =, etoces la ecuació característica tiee la solució doble r =. E este caso, la solució geeral de la ecuació diferecial es X(x) = C + C x Impoiedo las codicioes de cotoro X() = X() =, obteemos que las costates C y C debe satisfacer el sistema C = C = cuya úica solució es C = C =, luego si =, sólo obteemos la solució trivial. Si > ; etoces la ecuació característica tiee dos solucioes complejas, r = p i y r = p i: E este caso la solució geeral de la ecuació diferecial es: p p X(x) = C cos x + C se x Impoiedo las codicioes de cotoro X() = X() =, obteemos, de p X() = que C = y de X() = que C se =. Si elegimos, = ; ; 3; :::.obteemos que p =, o lo que es lo mismo, = hay solucioes o triviales. E este caso las solucioes del problema de cotoro que se obtiee so de la forma X (x) = c se( x); dode hemos deotado co X (x) a la solució que se obtiee para el valor y de = por c a las costates arbitrarias. Ahora para cada valor de, resolvemos la ecuació diferecial T (t) + 3 T (t) = ;

5 cuya solució, que deotamos por T (t); es T (t) = a e 3( ) t dode a so costates arbitrarias. De esta forma obteemos para cada, = = ; ; 3; ::. que las fucioes u (x; t) = X (x):t (t) = A se( x)e 3( ) t veri ca la ecuació e derivadas parciales y las codicioes homogéeas, siedo A costates arbitrarias. Por el pricipio de superposició, la fució u(x; t) = A se( x)e 3( ) t tambié satisface la ecuació e derivadas parciales y las codicioes homogéeas. A cotiuació, determiamos los coe cietes A co la codició de que se veri que las codicioes iiciales. Dado que u(x; ) = A se( x) = 9 se (x) + 6 se (3x) 7 se (x) obteemos que da que A = 9; A = 6; A 3 = 7 y A = para todo 6= 9; 6= y 6= 3: Fialmete la solució pedida es u(x; t) = 9 se (x) e 3t + 6 se (3x) e 7 t 7 se (x) e 9 t Ejercicio. Resolver el siguiete problema de ecuació e derivadas parciales = ; < x < ; t (; ; t = ; t > ; u(x; ) = x ; < x < (x; ) = ; < x < : Solució Para resolver la ecuació e derivadas parciales, usamos el método de separació de variables. Por lo tato buscamos solucioes u(x; t); o triviales, de la forma u(x; t) = X(x)T (t): Sustituimos esta expresió e la ecuació e derivadas parciales y obteemos: 9 T (t) T (t) = X (x) X(x) 5

6 Ya que la parte izquierda de la igualdad depede sólo de la variable t y la parte derecha depede sólo de la variable x, ambas debe ser iguales a ua costate que deotamos. Es decir, 9 T (t) T (t) = X (x) X(x) = : De esta expresió obteemos que las fucioes X(x) y T (t) que estamos buscado debe satisfacer, respectivamete, las ecuacioes difereciales X (x) + X(x) = y 9T (t) + T (t) = : De las (; ; t = ; t > ; se tiee que la fució X(x) debe satisfacer las codicioes de cotoro X () = X =, y de la (x; ) = < x < ; cocluimos que la fució T (t) debe satisfacer la codició T () = : Ahora resolvemos el problema de cotoro ( X (x) + X(x) = ; X () = X = : dode es ua costate que teemos que determiar. Aalizamos las distitas posiblidades que se puede presetar. La ecuació característica de esta ecuació diferecial es r + = ; por lo que las solucioes de la ecuació podría ser: Si <, etoces la ecuació característica tiee dos solucioes reales, r = p y r = p : E este caso la solució geeral de la ecuació diferecial es: X(x) = C e p x + C e p x Impoiedo las codicioes de cotoro X () = X =, obteemos que las costates C y C debe satisfacer el sistema < : p p C e p p C C = p p C e = cuya úica solució es C = C =, luego si <, sólo obteemos la solució trivial. Si =, etoces la ecuació característica tiee la solució doble r =. E este caso, la solució geeral de la ecuació diferecial es X(x) = C + C x Impoiedo las codicioes de cotoro X () = X =, obteemos que C =, luego si =, obteemos lo solució X (x) = costate. 6

7 Si > ; etoces la ecuació característica tiee dos solucioes complejas, r = p i y r = p i: E este caso la solució geeral de la ecuació diferecial es: p p X(x) = C cos x + C se x Impoiedo las codicioes de cotoro X () = X =, obteemos, de X () = que C = y de X = que p p C se =. Si elegimos p =, o lo que es lo mismo, =, = ; ; 3; :::.obteemos que hay solucioes o triviales. E este caso las solucioes del problema de cotoro que se obtiee so de la forma X (x) = cos(x); salvo costate dode hemos deotado co X (x) a la solució que se obtiee para el valor de =. Ahora para cada valor de, resolvemos la ecuació diferecial 9T (t) + T (t) = ; T () = cuya solució, que deotamos por T (t); T (t) = costate. T (t) = cos 3 t para = ; ; ::: es salvo costate. De esta forma obteemos que las fucioes u (x; t) = C u (x; t) = C cos (x) cos 3 t veri ca la ecuació e derivadas parciales y las codicioes homogéeas, siedo C costates arbitrarias. Por el pricipio de superposició, la fució u(x; t) = C + C cos (x) cos 3 t tambié satisface la ecuació e derivadas parciales y las codicioes homogéeas. A cotiuació, determiamos los coe cietes C co la codició de que se veri que la codició dada por la posició iicial de la cuerda. Dado que u(x; ) = C + C cos (x) = x obteemos que da que C = a = y C = a siedo (a ) los coe cietes del desarrollo e serie de coseos de la fució f(x) = x e el itervalo [; ] : 7

8 Así pues a = = a = = Z = Z = x dx = 6 x cos (x) dx = ( ) ; para = ; ::: Fialmete la solució pedida es u(x; t) = + X ( ) cos (x) cos 3 t :