Inversa de matrices circulantes con tres parámetros S

Transcripción

1 Iversa de matrices circulates co tres parámetros S M. Mitjaa Departamet de Matemàtica Aplicada I, Uiversitat Politècica de Cataluya. margarida.mitjaa@upc.edu Resume. Utilizado técicas relacioadas co la resolució de problemas de cotoro para ecuacioes e diferecias de segudo orde, se da codicioes ecesarias y suficietes para la ivertibilidad de matrices circulates que depede de tres parámetros. E los casos que existe, se da la expresió de los coeficietes de la matriz iversa reduciedo sigificativamete el coste computacioal. Como aplicació, se obtiee la matriz iversa de circulates cuyos coeficietes so progresioes aritméticas o geométricas etre otros. Se obtiee tambié, la matriz iversa de ua matriz tridiagoal circulate si ecesidad de supoer la hipótesis de domiacia diagoal. Palabras clave. e diferecias Matriz Circulate, Matriz Iversa, Poliomio de Chebyshev, Ecuacioes 1 Itroducció La modelizació de muchos problemas lleva a platear sistemas lieales cuyos coeficietes so circulates. Ello está motivado por la periodicidad de los problemas como por ejemplo, los que se platea al utilizar el método de diferecias fiitas para aproximar ecuacioes e derivadas parciales de tipo elíptico co codicioes iiciales periódicas. Las matrices circulates aparece e ámbitos ta distitos como el procesamieto de imágees o e la teoria de códigos correctores de errores, ver [2] y referecias citadas. Publicacioes recietes, [3, 6], ha abordado el problema de dar expresioes efectivas para el cálculo del determiate, los valores propios y la iversa de ciertas matrices circulates. E este trabajo se cosidera matrices circulates de los tipos Circ(a, b, c,..., c y Circ(a, b, c,..., c, b, se da ua codició ecesaria y suficiete para determiar su ivertibilidad y además se obtiee ua fórmula cerrada para la expresió de los coeficietes de la matriz iversa cuado ésta existe. S Trabajo subvecioado parcialmete por la Comisió Itermiisterial de Ciecia y Tecología e el marco de los proyectos MTM C02-01 ad MTM C02-02.

2 2 2 Prelimiares Fijado N, se cosidera el espacio vectorial R co el producto escalar habitual deotado por,. Los vectores 0 y 1 de R so aquellos vectores cuyas compoetes so todas igual a 0 y 1 respectivamete. Asimismo se deota el vector e R como e = (1, 0,..., 0. Las matrices de orde de coeficietes reales I y J so respectivamete, la matriz idetidad y la matriz cuyos coeficietes so todos igual a 1. Como todas las matrices que aparece e este trabajo so de orde de coeficietes reales, e lo que sigue se va a omitir mecioarlo reiteradamete. Ua matriz A = (a ij es circulate co parámetros a 1,..., a si a 1 a 2 a a a 1 a 1 A =..... (1. a 2 a 3 a 1 o equivaletemete, a ij = a 1+(j i(mod (2 Observese que Circ(e = I y Circ(1 = J. Sea τ ua permutatio del cojuto {1,..., } defiida como, τ(1 = 1, τ(j = + 2 j, j = 2,...,. (3 La matriz P τ = (p ij, i, j = 1,...,, se defie p τ(jj = 1 y p ij = 0, e caso cotrario. Es imediato comprobar que P τ es ivertible y que además se satisface P 1 τ = P τ = P τ 1 = P τ. Sea a τ = P τ a el vector cuyas compoetes so (a τ 1 = a 1 y (a τ j = a +2 j, j = 2,...,. Se cumple que 1 τ = 1 ad a τ, 1 = a, 1. Además, Dado a R, las matrices Circ τ (a = P τ Circ(a = Circ τ (a = Circ(a P τ = Circ(a τ = P τ Circ(aP τ. (4 a 1 a 2 a a 2 a 3 a y (5 a a 1 a 1 a 1 a a 2 a a 1 a (6. a 2 a 1 a 3

3 3 se llama circulate por la izquierda y circulate por la derecha co parámetros a 1,..., a, respectivamete. Ambas matrices so simétricas y es por esta razó que e [2] fuero llamadas matrices simétricas circulates. Las referecias a este tipo de matrices se hará utilizado la otació itroducida ateriormete. Observese que de la idetidad (4 se obtiee Circ τ (a = Circ τ (a τ para a R. E el siguiete lema se eumera propiedades de las matrices circulates que sera ultilizadas e el presete trabajo. Todas ellas so de demostració imediata. Lema 1. Dados a, b R, las siguietes propiedades se cumple: (i Para cualquier α, β R, Circ(αa + βb = αcirc(a + βcirc(b. (ii Circ(a = Circ(a τ. E particular, Circ(a es simétrica sii a = a τ. (iii Circ τ (a = Circ(a sii Circ τ (a = Circ(a. Se cumple la igualdad sii a = a τ. (iv Circ(a1 = a, 1 1. Además, si Circ(a es ivertible etoces a, 1 0. (v Circ(ab = Circ(b τ a τ y Circ(aCirc(b = Circ(bCirc(a = Circ(c τ, dode c = Circ(ab τ = Circ(ba. (vi Circ(a es ivertible sii el sistema lieal de ecuacioes Circ(ag = e es compatible. E este caso, existe ua úica solució g(a que además satisface g(a, 1 = a, 1 1. Asimismo, Circ(a 1 = Circ ( g(a y aτ = a sii g(a τ = g(a. (vii Circ τ (a y Circ τ (a so ivertibles sii Circ(a es ivertible y, e este caso se cumple Circ τ (a 1 = Circ τ ( g(a y Circ τ (a 1 = Circ τ ( g(a. Uo de los pricipales retos al estudiar matrices circulates es determiar codicioes de ivertibilidad y el cálculo de la matriz iversa cuado ésta exista. Del lema aterior, se obtiee que para cualquier a R la existecia de la iversa de las matrices Circ τ (a ad Circ τ (a y su cálculo, se deduce de la existecia y cálculo de la matriz iversa de Circ(a. Además, el estudio de la ivertibilidad de Circ(a se reduce al estudio de la compatibilidad de u sistema lieal de ecuacioes, cuya solució permite obteer los coeficietes de la matriz iversa de Circ(a cuado existe. E geeral, el problema de calcular la matriz iversa de ua matriz circulate ha sido estudiado utilizado las raíces primitivas de la uidad y de u poliomio asociado a los coeficietes de la matriz, ver [6].

4 4 Cocretamete, sea ω = e 2π i la ésima raíz de la uidad y sea el vector t j = ( 1, ω j,..., ω j( 1, R, para j = 0,..., 1. Para cada a R se defie el poliomio P a (x = j=1 a j x j 1. Observese que t 0 = 1 y que para cada a R, P a (1 = a, 1. El siguiete lema establece ua codició ecesaria y suficicete para la ivertibilidad de Circ(a y da ua fórmula para el cálculo de la iversa. Lema 2. Para cualquier a R, se cumple: (i Circ(at j = P a (ω j t j, para j = 0,...,. E particular, det Circ(a = 1 P a (ω k. k=0 (ii Circ(a es ivertible sii P a (ω j 0, j = 0,..., 1. E este caso, Circ 1 (a = Circ(h a dode (h a j = 1 1 ω k(j 1 P a (ω k 1. E cosecuecia, todas la matrices circulates tiee los mismos vectores propios pero distitos valores propios. Auque desde u puto de vista teórico el problema está resuelto, la complejidad computacioal de la fórmula (ii aumeta co el tamaño de la matriz y el cálculo de la iversa es iviable computacioalmete. E este trabajo se reduce sigificativamete el coste computacioal de aplicar el lema aterior abordado el problema de calcular la iversa de ua matriz circulate mediate la resolució de ua ecuació e diferecias de orde a lo sumo dos. k=0 3 Matrices Circ(a, b, c,..., c Dados a, b, c R, se defie el vector a(a, b, c = (a, b, c,..., c, y por tato se utilizará la otació Circ(a, b, c,..., c = Circ ( a(a, b, c. Para cualquier q R, se cosidera el vector z(q = (q 1, q 2,..., q, 1. Es imediato observar que z τ (q = (q 1, 1, q,..., q 2 y que z(q, 1 = q 1 q 1. q 1 Esta última idetidad se cumple tambié para q = 1, ya que lim q 1 q 1 =. La relació Circ(a, b, c,..., c = Circ(a c, b c, 0,..., 0+cJ, lleva a estudiar previamete las propiedades de las matrices del tipo Circ(q, 1, 0,..., 0. Proposició 1. Dado q R, Circ ( a(q, 1, 0 z τ (q = [q 1]e. Además,

5 5 (i Circ ( a(q, 1, 0 es ivertible sii q 1, y su iversa es Circ ( a(q, 1, 0 1 = (q 1 1 Circ ( z(q. (ii El sistema lieal Circ ( a(1, 1, 0 h = v es compatible sii v i = 0. E este caso para cualquier γ R, la úica solució que satisface h, 1 = γ es h j = 1 [ γ ] iv i + i=1 i=1 v i, j = 1,...,. De forma imediata se obtiee la matriz iversa de ua matriz circulate cuyos parámetros esta e progresió geométrica. Corolario 1. Dados a, r R, la matriz Circ(ar 1,..., ar, a es ivertible sii a(r 1 0. E este caso su iversa es Circ(ar 1,..., ar, a 1 = ( a(r 1 1 Circ ( a(r, 1, 0. i=j El resultado pricipal e esta secció establece ua codició ecesaria y suficiete para la ivertibilidad de las matrices circulates aquí cosideradas, y además da ua expresió simple y cerrada para el cálculo de los coeficietes de la iversa, si existe. Teorema 1. Dados a, b, c R, la matriz circulate Circ(a, b, c,..., c es ivertible sii [ a + b + ( 2c ][ (a b 2 + ( 1 ( 1 (c b 2] 0 y e este caso, Circ(a, b, c,..., c 1 = Circ ( k(a, b, c dode, si a 2c b j=1,...,, y k j (a, b, c = (c bj 1 (a c j ( (a c (c b c (a + b 2c ( a + b + ( 2c, k j (2c b, b, c = 1 [ 1 c + 1 ] (j 1, j = 1,...,. 2(c b (c b Aplicado el teorema aterior, se obtiee ua caracterizació de la matriz iversa de ua matriz circulate cuyos parámetros forma progresió aritmética. Por supuesto, el resultado coicide co los previamete obteidos e [1] y [2].

6 6 Corolario 2. Dados a, b R, la matriz Circ ( a, a+b,..., a+( 1b es ivertible sii ( 2a + ( 1b b 0 y e este caso, Circ ( a, a + b,..., a + ( 1b 1 = 2 2( 2a + ( 1b J 1 b Circ( a(1, 1, 0. E particular, para m Z tal que 2m + 1, la matriz Circ(m, m + 1,..., m + 1 es ivertible y su iversa es Circ(m, m + 1,..., m = 4 Matrices Circ(a, b, c,..., c, b 2 2 (2m + 1 J 1 Circ( a(1, 1, 0. Para las matrices cosideradas e esta secció se va a supoer b c ya que el caso b = c se discutió e la seccio aterior. El caso c = 0 fue aalizado e [5] supoiedo que a > 2 b > 0; es decir que la matriz circulate es estrictamete diagoalmete domiate. Observamos de uevo que Circ(a, b, c,..., c, b = Circ(a c, b c, 0,..., 0, b c + cj. Se estudiará e primer lugar las propiedades de Circ ( b(2q, 1, 0,..., 0, 1. Para q = 1 se trata de la matriz Laplaciaa de u ciclo y e geeral, para cualquier q R, Circ ( b(2q, 1, 0,..., 0, 1 es la matriz asociada al operador de Schrödiger de u ciclo co potecial costate 2(q 1. Por lo tato, su iversa es la fució de Gree de u ciclo. La iversió de matrices del tipo Circ ( b(2q, 1, 0,..., 0, 1 ivolucra la resolució de ecuacioes e diferecias de segudo orde co coeficietes costates que a su vez ivolucra a las secuecias {Q (x} Z que satisface la recurrecia Q +1 (x = 2xQ (x Q 1 (x, Z. (7 Dichas secuecias se deomia secuecias de Chebyshev. Se deota por {T } = + y {U } + = a los poliomios de Chebyshev de primera y seguda especie respectivamete y so las secuecias de Chebyshev que se obtiee al escoger T 0 (x = U 0 (x = 1, T 1 (x = x, U 1 (x = 2x. Ver [4] para más detalles. Para q R, se defie los vectores u(q, v(q ad w(q cuyas compoetes se describe e térmios de los poliomios de Chebyshev de la forma u j = U j 2 (q, v j = U j 1 (q ad w j = U j 2 (q + U j (q, respectivamete. Lema 3. Para cualquier q R, se cumple

7 7 (i w τ (q = w(q ad w(q, 1 = T (q 1. Además, w(1 = 1. q 1 ( (ii w(q = 0 sii q = cos 2πj, j = 1,..., 1 2. Obsérvese que el cociete T(q 1 q 1 está bie defiido para q = 1, porque T (1 = 1, U (1 = + 1, y T (q = U 1 (q. De las propiedades ateriores se cocluye que para q R se cumple Circ ( b(2q, 1, 0 w(q = 2[T (q 1]e. El siguiete lema da la codició ecesaria y suficiete para la ivertibilidad de la matriz Circ ( b(2q, 1, 0,..., 0, 1 Proposició 2. Para cualquier q R, se cumple que (i Circ ( b(2q, 1, 0 es ivertible sii q cos ( 2πj, j = 0,..., 1 2 y, Circ ( b(2q, 1, 0 1 = 1 2[T (q 1] Circ( w(q. (ii If q = 1, el sistema de ecuacioes Circ ( b(2q, 1, 0 h = v es compatible sii v, 1 = 0 e este caso, para γ R, la úica solució tal que h, 1 = γ es h j = γ 1 2 j i ( i j v i, j = 1,...,. i=1 El resultado pricipal de esta secció da ua codició ecesaria y suficiete para la existecia de la iversa de la matriz circulate Circ(a, b, c,..., c, b, así como ua expresió simple para el cálculo de los coeficietes de la matriz iversa, cuado ello es posible. Teorema 2. Dados a, b, c R, Circ(a, b, c,..., c, b es ivertible sii ( 1 a + 2b + ( 3c 2 j=1 [ ( 2πj ] a c + 2(b c cos 0 y e este caso Circ(a, b, c,..., c, b 1 = Circ ( g(a, b, c, dode si a 3c 2b g j (a, b, c = U j 2(q + U j (q 2(c b[t (q 1] c (a + 2b 3c (, j = 1,...,, a + 2b + ( 3c

8 8 co q = c a, mietras que 2(b c g j (3c 2b, b, c = 1 ( 2 1 6(j 1( + 1 j (c b 2, j = 1,...,. c Como corolario se obtiee la matriz iversa de ua matriz tridiagoal circulate si ecesidad de supoer como e [5] que la matriz es diagoalmete domiate. Observese que hipótesis de domiacia diagoal a > 2 b claramete implica que a + 2b cos ( 2πj 0 para cualquier j = 0,...,. Corolario 3. Dados a, b R, b 0, la matriz circulate Circ(a, b, 0,..., 0, b es ivertible sii 1 2 [ ( 2πj ] a + 2b cos 0 y e este caso dode g j (a, b, 0 = Referecias j=0 Circ(a, b, 0,..., 0, b 1 = Circ ( g(a, b, 0, ( 1 j ( a ( a ] [U 2b[1 ( 1 T ( a 2b ] j 2 + ( 1 U j, j = 1,...,. 2b 2b [1] M. Bahsi, S. Solak, O the circulat matrices with arithmetic sequece, It. J. Cotemp. Math. Sci. 5 (25-28 ( [2] J.-Q. Wag, C.-Z. Dog, Iverse matrix of symmetric circulat matrix o skew field, It. J. Algebra 1 (9-12 ( [3] L. Fuyog, The iverse of circulat matrix, Appl. Math. Comput. 217 (21 ( [4] J. Maso, D. Hadscomb, Chebyshev Polyomials, Chapma & Hall/CRC, [5] O. Rojo, A ew method for solvig symmetric circulat tridiagoal systems of liear equatios, Computers Math. Applic. 20 (1990, [6] S.-Q. She, J.-M. Ce, Y. Hao, O the determiats ad iverses of circulat matrices with Fiboacci ad Lucas umbers, App. Math. Comput. 217 (23 (