Sistema de ecuaciones lineales

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1 Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 Sistema de ecuacioes lieales El sistema de ecuacioes lieales a, + a,2 x a, x = b a 2, + a 2,2 x a 2, x = b 2 a 3, + a 3,2 x a 3, x = b 3 a, + a,2 x a, x = b puede ser escrito e forma matricial como A X = b, dode: A = a i,j x es llamada matriz de los coeficietes (reales) del sistema X = (, x 2,, x ) T es el vector de las icógitas y b = (b, b 2,, b ) T es el vector de los térmios (idepedietes) libres. Todo esto puede ser resumido e: Para i =,2,3,,, j= a i,j x j = b i. El objetivo de esta uidad, e el presete curso es resolver uméricamete u sistema. U sistema de ecuacioes lieales se puede resolver usado los métodos adquiridos e Eseñaza Media: por sustitució, igualació o elimiació, los cuales o so métodos uméricos o iterativos. Si la matriz A es tal que A 0, el sistema el sistema A. X = b tiee solució úica. Por ejemplo, 2x 3y = 6 usado la regla de Cramer para resolver el sistema 4x + y = 2 calculamos: = = = 4, x= = = 42, y= 2 6 = = Co lo cual se obtiee la solució x = x = 42 4 = 3, y = y = 0 4 = 0. Por lo tato la solució es x y = 3 0. Recordamos que, para ua matriz de orde, calcular u determiate tiee u costo computacioal del orde 2. Utilizado el método de Cramer, se debe calcular + determiates, lo cual ecarece el costo computacioal. Además, auque se dispoga de tiempo ifiito, si la matriz A tiee determiate muy cercao a cero, esto puede daros solucioes erróeas, debido a la acumulació de errores de redodeo. Esto, hace ecesario el estudio de métodos iterativos. Los métodos iterativos so aquellos que parte de ua aproximació iicial a la solució del sistema dado y costruye, a partir de dicha aproximació, ua sucesió de vectores que si coverge lo hace a la solució del sistema. Tedremos fórmulas para calcular los térmios de la sucesió. E geeral se podría calcular el límite de la sucesió, pero para los objetivos de este curso, bastará co tomar algua codició de térmio para el cálculo de las iteracioes, obteiedo ua solució aproximada del sistema. Los métodos Iterativos a estudiar so: Uiversidad de Atofagasta Departameto de Matemáticas

2 Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 JACOBI y GAUSS-SEIDEL 2 Los métodos que se estudiará puede ser vistos como geeralizacioes del método de puto fijo: Dado el sistema A. X = b, o equivaletemete AX b = 0, dode A es o sigular (es ivertible) y F(X) b 0, lo trasformamos e u sistema equivalete X = BX + c para algua matriz B y algú vector c. G(X) Se costruye etoces la sucesió de vectores X a partir de la fórmula de iteració X = B X (k) + c, co k = 0,, 2, esperado que X sea covergete a la úica solució X del sistema A. X = b ( X = BX + c). Para el sistema a, + a,2 x 2 + a,3 x a, x = b a 2, + a 2,2 x 2 + a 2,3 x a 2, x = b 2 a 3, + a 3,2 x 2 + a 3,3 x a 3, x = b 3 a, + a,2 x 2 + a,3 x a, x = b Los esquemas de iteració para cada uo de ellos es el siguiete: Si a ii 0, i =, 2,, y siguiedo el proceso algebraico dado e clases, se obtiee las iteracioes: Para JACOBI x = b a,2 (x 2 ) (k) a,3 (x 3 ) (k) a, (x ) (k) a x 2 = b 2 a 2, ( ) (k) a 2,3 (x 3 ) (k) a 2, (x ) (k) a 2,2 x 3 = b 3 a 3, ( ) (k) a 3,2 (x 3 ) (k) a 3, (x ) (k) a 3,3 x = b a, ( ) (k) a,2 (x 2 ) (k) a,( ) (x ) (k) a, Lo que es resumido e: Uiversidad de Atofagasta Departameto de Matemáticas x i = b i a i,jx j j= (j i) Para GAUSS-SEIDEL (o de desplazamietos sucesivos) (k) ; k = 0,, 2, Ua posible mejora e el algoritmo de Jacobi es la siguiete: E vez de calcular x i usado todas las compoetes de x (k) y como ya se ha calculado las uevas aproximacioes ( ), (x 2 ),, (x i ), las cuales supuestamete so mejores aproximacioes que las compoetes ( ) (k), (x 2 ) (k),, (x i ) (k) parece más recomedable calcular x i usado los valores actualizados cuado proceda. Esto es: = b a,2 (x 2 ) (k) a,3 (x 3 ) (k) a, (x ) (k) a, x 2 = b 2 a 2, ( ) a 2,3 (x 3 ) (k) a 2, (x ) (k) a 2,2 x 3 = b 3 a 3, ( ) a 3,2 (x 2 ) a 3,4 (x 4 ) (k) a 3, (x ) (k) a 3,3 x = b a, ( ) a,2 (x 2 ) a,( ) (x ) (k) a, Lo que es resumido e:

3 Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 x i = b i a i,jx j j= (j<i) a i,jx j (k) j= (j>i) ; k = 0,, 2, 3 CONVERGENCIA Para el aálisis de la covergecia de los métodos iterativos se ecesita de los siguietes coceptos: ) Matriz Estrictamete Diagoalmete Domiate (E.D.D.) Ua matriz A es estrictamete diagoalmete si i =,2,, ; a i,j > Ejemplos 4 2 a. Para la matriz A = se tiee que a, = 4 y a,2 + a,3 = 2 + = 3 a 2,2 = 5 y a 2, + a 2,3 = = 3 a 3,3 = 9 y a 3, + a 3,2 = = 6 Como 4 > 3, 5 > 3 y 9 > 6, se cocluye que la matriz A es E.D.D b. A = 4 4 o es E.D.D porque a 2,2 < a 2, + a 2, j=i j i a i,j 2) Normas de vectores Norma p, p : X p = ( p + x 2 p + x 3 p + + x p ) /p. Norma ifiita: X = ma i { x i } 3) Normas de matrices Norma : A = ma j i= Norma ifiita: A = ma i a ij máxima suma por columas. j= Norma de Frobeius: A F = a i,j 2 a ij máxima suma por filas. 2 i= j= 4 2 Ejemplo: Para la matriz A = A = max {9,, 0} =. j 3 A = max{7, 8, 5} = 5. i 3 A F = = 56 2,49. Uiversidad de Atofagasta Departameto de Matemáticas

4 Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 EJEMPLO RESUELTO (JACOBI) 4 Realizar 0 iteracioes para estimar la solució del sistema, comezado co (0) = 0; x2 (0) = 0; x3 (0) = 0. Para JACOBI el esquema de iteració es: 4 + 2x 2 x 3 = x 2 2x 3 = 4 3 +x 2 + 6x 3 = 7 x = 6 4 2x(k) 2 x (k) 3 4 x 2 = 4 5 2x(k) 2x (k) 3 5 x 3 = 7 6 3x(k) + x (k) 2 6 La siguiete tabla resume (x i ) (k) para i=, 2, 3 y k=0,,, 0: K= ( ) (k) 0,5000,397,625,4595,5256,4677,4975,4770,4895,488 (x 2 ) (k) 0 0,8000 0,6667 0,9567 0,8556 0,946 0,893 0,929 0,908 0,939 0,906 (x 3 ) (k) 0,667,7833,754,835,7538,7725,7520,768,7549,759 Cada, x 2, x 3,, x debe formar ua sucesió covergete Cómo os aseguramos que se forma sucesió covergete para i=, 2, 3.? Resp.: Si A es E.D.D se asegura covergecia. Se debe aalizar si la matriz A (matriz de coeficietes) es E.D.D. : a, = 4 y a,2 + a,3 = 2 + = 3, 2: a 2,2 = 5 y a 2, + a 2,3 = = 4 3: a 3,3 = 6 y a 3, + a,3 = 3 + = A = Como 4 > 3, 5 > 4 y 6 > 4, se asegura que la matriz A es Estrictamete Diagoal Domiate. Por lo (k) tato, se puede garatizar la covergecia de la sucesió x i para i =, 2, 3. Uiversidad de Atofagasta Departameto de Matemáticas

5 Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 EJEMPLO RESUELTO 2 (GAUSS-SEIDEL) 6 + 2x 2 + x 3 = 9 Para el sistema de ecuacioes 5x 2 + 3x 3 = x 2 + 7x 3 = 9 5 Pruebe que es E.D.D, luego escriba las ecuacioes de iteració usado método de Gauss Seidel. Realizar tres iteracioes para determiar la solució aproximada, partiedo co = 0,5, x 2 = 0, x 3 =. 6 2 Solució: La matriz A = 5 3 es E.D.D. porque : a, = 6 y a,2 + a,3 = 2 + = 3, 2: a 2,2 = 5 y a 2, + a 2,3 = + 3 = 4 3: a 3,3 = 7 y a 3, + a,3 = = 6 Como 6 > 3, 5 > 4 y 7 > 6, aseguramos que la matriz A es Estrictamete Diagoal Domiate. Por lo (k) tato, se puede garatizar la covergecia de la sucesió x i para i =, 2, 3. El esquema de iteració segú Gauss Seidel es el siguiete = 6 9 2x 2 (k) x 3 (k) x 2 = 5 ( 3 + 3x 3 (k) ) x 3 = 7 ( x 2 ) = 0,5, x 2 = 0, x 3 = K= ,5,6667,2857 0,8639,0303 0,9974 0,9992,0004 x 2 0-0,3333,543 0,8999,0049,0040 0,9983,0003 x 3 -,9524 0,7878,083,0058 0,9970,0007 0,9999 X () X (0) X (2) X () X (3) X (2) X (4) X (3) X (5) X (4) X (6) X (5) X (7) X (6) 2,6667-0,38-0,428 0,6638-0,0329 0,0079 0,0027-0,3333, ,644 0,0508-0,0009-0,0057 0,002 2, ,646 0, ,025-0,0089 0, ,0008 Norma 2 3, ,2702 0,780 0,978 0,0343 0, ,0025 Como X (7) X (6) 2 = 0,0025 < 5 0 3, los valores aproximados so =,004, x 2 =,003, x 3 = Uiversidad de Atofagasta Departameto de Matemáticas

6 Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 EJERCICIOS PROPUESTOS 6 4x y = 2 ) Dado el sistema x + 4y z = 6 x + 4z = 2 Idicar si se puede garatizar o o, que los esquema de Jacobi y Gauss-Seidel so covergete a la solució exacta del sistema. (Debe aalizar si A es EDD) Si ecesitamos ua toleracia de E = e la solució, obteerlas iiciado co x (0) = 0.2, x (0) 2 = 0.8 x (0) 3 = ) Idicar si las matrices so EDD 2 y ) Resuelva los sistemas mediate Jacobi y Gauss-Seidel realizado 4 iteracioes y aalizar su covergecia. Iiciado co (0) = 0., x 2 (0) =.3 x 3 (0) = a) 2 x 2 = x b) 3 4 x 2 = 5. x 3 6 4) U igeiero Civil Idustrial supervisa la producció de 4 tipos de equipos. Se requiere Equipo Hrs./Hombre Kg/Equipo Metales kg./equipo Plásticos kg/equipo Comp. Uidades/equipos Si se dispoe diariamete de 504 hrs/hombre, 970 kgs. de metal, 970 kgs. de plástico y 60 compoetes. Utilizado los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel: Cuátos equipos de cada tipo se puede costruir por día? 5) Dados los sistemas, obteer las solucioes aproximadas mediate Jacobi y Gauss-Seidel, de tal forma que la toleracia sea E = a) x 2 = x b) 4 x 2 =2 0 4 x x 2 + 6x 3 = 6) Dado el sistema 5 + x 2 + x 3 = 6 2 4x 2 + x 3 = 7 a) Deducir el esquema iterativo de Gauss-Seidel y de Jacobi garatizado covergecia. b) Usado el esquema obteido e a), ecotrar ua solució aproximada del sistema, co ua exactitud de 2 cifras decimales, cosiderado la aproximació iicial x (0) = 0.6, x (0) 2 =.8 x (0) 3 = ) Dado el sistema x x 3 = x x 3 = x 2 0.3x 3 = 7.0 a) Deducir el esquema iterativo de Gauss-Seidel y de Jacobi garatizado covergecia. b) Usado el esquema obteido e a), ecotrar ua solució aproximada del sistema, co ua exactitud de 2 cifras decimales, cosiderado la aproximació iicial (0) = 0., x 2 (0) = 0. x 3 (0) = 0. Uiversidad de Atofagasta Departameto de Matemáticas