Uso de Excel en la enseñanza de las series 1

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Dolores Pinto Martínez
hace 7 años
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1 Uso de Excel e la eseñaza de las series Carlos E. Azofeifa Resume El presete trabajo tiee como objetivo mostrar el uso de la herramieta muy coocida y flexible como lo es la hoja electróica Excel, e el maejo de u tema importate e el área de la matemática aplicada, a saber: la teoría de sucesioes y series. El objetivo cetral es que el estudiate use esta herramieta e aquellos casos e que o pueda cocluir algo sobre la covergecia de algua serie o sucesió, o iclusive si la serie es covergete y le iteresa calcular o estimar su suma. Procedimieto Uo de uestros propósitos es que a medida que se ecesite ampliar los valores de la sucesió o bie poder teer u estimado de su límite cuado tiede a ifiito use esta herramieta. Como las sucesioes so fucioes de e, por tato procederemos a su graficació de maera similar a las fucioes reales, para ello cosideremos el siguiete ejemplo: Ejemplo Graficar la sucesió a = Además de poder observar la gráfica de esta sucesió, os iteresa su comportamieto cuado toma valores muy grades, para ello os damos ua pequeña lista de valores para veamos: a Tabla # La lista la podemos poer de maera horizotal o vertical, e geeral se recomieda poerla de maera vertical si se va a graficar varias fucioes de maera simultáea para compararlas. Cuado la sucesió tiee u comportamieto irregular podríamos daros ua lista de tamaño más grade de lista, lo aterior lo podemos realizar e Excel de la siguiete maera: Primeramete colocamos el e algua celda, posteriormete marcamos Edició / Rellear / Series / marcar fila / icremeto e uo, tipo lieal y límite ueve, para uestro caso, o bie poer el e ua celda y seguidamete debajo el, luego se marca a la vez tato la celda que cotiee al como la del y se hace ua copia hasta el úmero deseado. Este artículo fue fiaciado por el Proyecto No 80-A-5, iscrito e la Vicerrectoría de Ivestigació de la U.C.R. Profesor Escuela de Matemática U.C.R, CIMM U.N.A

matemática aplicada, a saber: la teoría de sucesioes y series.

2 Seguidamete observamos de la Tabla # que debemos poer e la celda debajo del uo la fórmula de la sucesió para hacer los cálculos respectivos, e este caso itroducimos la ecuació =^/(^-), posteriormete la copiamos al resto de celdas, Observe que es importate colocar la variable e la casilla superior izquierdo a la par de los valores que tomará posteriormete, esto co el fi utilizar e el cálculo dichos valores, estos cálculos se da e la fila dode se ecuetra a. Para que lo aterior fucioe, excel debe recoocer variables, para ello debe corroborar e el meú Herramietas/ Opcioes/ Calcular, aquí debe aparecer marcada la casilla Aceptar rótulos e las fórmulas, co esto, excel recooce a la variable. Veamos ahora el gráfico geerado por los datos de la tabla #: Gráfico de la sucesió valores Serie Observemos que cuado aumeta los valores de la sucesió tiede a cero, esto es así pues crece más rápidamete que. E el caso de querer observar más térmios de la sucesió secillamete poemos más valores para. Para geerar el gráfico aterior usamos el ícoo del asistete para gráficos / dispersió / primer cuadro / siguiete / y marcamos el rago de los datos por ejemplo, para uestro caso $E$4:$N$5, luego escogemos siguiete / siguiete / termiar. Ejemplo Queremos ahora estudiar el límite de la sucesió a = se cuado tiede a +, para ello veamos alguos valores de

dichos valores, estos cálculos se da e la fila dode se ecuetra a.

3 a Tabla # Podemos observar e la tabla aterior como esta sucesió tiede a uo coforme va aumetado, esto es así pues si poemos la sucesió e la forma equivalete se a = Etoces tomado m=/, la sucesió queda e la forma coocida (se m)/m, cuyo límite ya sabemos que es igual a cuado m tiede a cero. gráfico de la sucesió a E la tabla # debajo de los eteros isertamos la fórmula =*SENO(/), la cual os proporcioa cada valor de la sucesió de maera automática. Recordamos que Excel posee ua biblioteca de fucioes bastate amplia las cuales se ecuetra e f * (o e el meú Isertar). Hay fucioes estadísticas, matemáticas, lógicas, de texto, de igeiería, fiacieras, etc. Además excel idica el desempeño de cada ua de ellas. Por supuesto que es importate coocer la declaració de estas fucioes para usarlas correctamete, así f * os facilita toda la iformació ecesaria al respecto. Aplicació a la teoría de series Cosideremos la serie = 3

queda e la forma coocida (se m)/m, cuyo límite ya sabemos que es igual a cuado m tiede a cero. gráfico de la sucesió.0500.0000 0.9500 0.9000 0.8500 0.

4 Para esta serie ya sabemos que es covergete, por ser ua p-serie, si embargo si quisiéramos estimar su suma, lo podemos hacer fácilmete, veamos: El coteido de a es =/^ y el de la suma parcial S es =/a ^. Posteriormete el de S es =SUMA($D$5:D6), y así sucesivamete hasta llegar a la suma S 30 cuya fórmula es =SUMA($D$5:D44). Por tato el resultado fial de datos es dado por la tabla #3. a S Tabla #3 4

5000 3 0..36 4 0.0650.436 5 0.04000.4636 6 0.07778.4939 7 0.00408.580 8 0.0565.574 9 0.0346.53977 0 0.0000.54977 0.00864.55803 0.006944.56498 3 0.00597.57089 4 0.0050.57600 5 0.004444.58044 6 0.

5 Si graficamos las sumas parciales otamos que la serie coverge al valor estimado de.6. Para mejorar este estimado es ecesario sumar más térmios de la serie, itételo! De hecho esta serie coverge al valor exacto de π /6, que es aproximadamete , su gráfico se vería así: Para geerar los a poemos la fórmula =/^ e la celda D5, luego la colocamos e las otras celdas realizado ua copia hasta D44. Fialmete para obteer las sumas parciales S colocamos el primer térmio e E5, luego e E6 colocamos la suma de los dos primeros térmios, es decir =SUMA($D$5:D6), posteriormete la fórmula se extiede hasta E44 realizado ua copia dicha celda. La fórmula iicial deja fijo el coteido de la celda D5, para ello se coloca el sigo $ etre la letra D, luego al hacer el copy va quedado fijas las celdas ateriores a la suma calculada. Gráficos de poliomios de Taylor Alguas veces queremos teer ua idea gráfica de la aproximació de los distitos poliomios de Taylor de ua fució dada, por ejemplo si cosideramos la fució y=l(x), sus primeros poliomios de Taylor alrededor de uo so : p ( x) = x p ( x) = + x + 0.5* ^ p ( x) = + x + 0.5* x^ * ^3 x 3 x Observe e la siguiete tabla como se puede geerar varias gráficas simultáeamete e excel de maera muy simple: e la columa de LN(X) se ecuetra la fórmula =LN(x), e la columa de Po está la fórmula =x-, e la columa de P teemos =x-+ 0.5*(x-)^ y fialmete e la columa de P se tiee la fórmula =x-+ 0.5*(x-)^ *(x-)^3. Todas estas columas se geera a partir de la columa base dode se ecueta la variable x. Tambié las uevas variables geeradas se podriá usar para geerar otras fucioes. 5

5 0 0 0 40 Para geerar los a poemos la fórmula =/^ e la celda D5, luego la colocamos e las otras celdas realizado ua copia hasta D44.

6 Observemos la siguiete tabla de datos x LN(X) P o P P Si ecesitamos teer más datos para mejorar la calidad de las represetacioes, lo úico que tedríamos que hacer será cotrolar el domiio de las fucioes y para ello basta co estudiar la variable x, alguas veces se ecesita ua malla más fia, por ejemplo para el caso e que se presete ua asítota vertical, otras veces se ecesita datos más grades, por ejemplo cuado estamos e la presecia de ua asítota horizotal. 6

9.5 0.9.5.6 3.75.6 0.96.6.9 4.4.7 0.99.7 3. 4.78.8.03.8 3.4 5.36.9.06.9 3.7 5.99 3. 4 6.

7 Veamos el gráfico de los datos ateriores Poliomios de Taylor LN(X) P P P3 Coclusió Hemos visto como podemos usar excel para hacer bueos estimados de la suma de series covergetes de maera bastate simple, usado variables. Tambié para el caso e que queramos teer ua idea del gráfico de ua fució podemos usar excel para graficar. Casos como por ejemplo de u círculo que o es fució se puede graficar e dos partes por separado, la parte de arriba y la parte de debajo de u círculo, por ejemplo cosideremos la ecuació x + y =4 x y z

Casos como por ejemplo de u círculo que o es fució se puede graficar e dos partes por separado, la parte de arriba y la parte de debajo de u círculo, por ejemplo cosideremos la

8 E las celdas de la variable y itroducimos =RAIZ(4-x^), para la variable z poemos = -y, obteiedo el siguiete gráfico así: ícoo de gráfico/ dispersió/ dispersió co líeas suavizadas y si marcadores de datos/ etc y z

645 0 0 E las celdas de la variable y itroducimos =RAIZ(4-x^), para la variable z poemos = -y, obteiedo el siguiete gráfico así: ícoo

9 De hecho para obteer esta resolució hicimos ua malla fia para la variable x, para mejorar más la calidad del gráfico se puede hacer todavía más fia la malla. Bibliografía. Larso, Hosteler & Edwards. Cálculo. Volume #. McGraw-Hill. México CCPM. Hoja electróica avazada. McGraw-Hill. México

la malla. Bibliografía. Larso, Hosteler & Edwards. Cálculo. Volume #.

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