TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN

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1 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN Objetivo: El objetivo de la estimació putual es usar ua muestra para obteer úmeros (estimacioes putuales) que sea la mejor represetació de los verdaderos parámetros de la població. 1. Sea θ u parámetro (Medida descriptiva e ua població). 2. U estimador θ es u estadístico (Medida descriptiva e ua muestra) que se usa para estimar u parámetro, a través de ua variable aleatoria. 3. Los valores que toma θ e cada muestra se llama estimacioes putuales. Actividad 1: Cuatro tiradores descoocidos llega a ua competecia e dode cada uo debe lazar el dardo 25 veces. Depediedo de la zoa e dode quede el dardo recibirá ua putuació segú la siguiete figura: Al termiar de hacer sus lazamietos cada tirador, se tomó ua foto del objeto de tiro al blaco para ser aalizada por los jueces y decidir cuál de los cuatro es el mejor. Las fotos se muestra e la siguiete figura: Tirador 1 Tirador 2 Tirador 3 Tirador 4 Ejercicio 1: Llee la siguiete tabla, e la primera se coloca los putajes, y e las demás columas se coloca la catidad de dardos que cayó e cada zoa para cada tirador

2 Putajes: X k Tirador 1: F k Tirador 2: F k Tirador 3: F k Tirador 4: F k Total Ejercicio 2: Los jueces, para determiar cuál es el mejor de los cuatro competidores, calcula la media de los putajes obteidos por cada tirador. Calcule la media X de los putajes X k obteidos por cada tirador, y escríbalos e la siguiete tabla: Competidor Media de los putajes X Tirador 1 x = 1 Tirador 2 x = 2 Tirador 3 x = 3 Tirador 4 x = 4 Pregutas: 1. Desde el iicio de la competecia se podía predecir la media que obtedría cada competidor? 2. Se puede decir que la media X es ua variable aleatoria? 3. Es X ua variable aleatoria muestral? De acuerdo co la última tabla: 4. Cuál es el mejor de los cuatro competidores? (mayor exactitud) 5. Cuál es el peor de los cuatro competidores? 6. Cuál es el más preciso de los cuatro competidores? Nota: La variable X es u estimador. θ = X. Cada valor x, es decir, la media de cada jugador es ua Estimació putual. k Actividad 2: Co motivo de los festejos del día del iño, el departameto de relacioes públicas de ua fábrica desea coocer el úmero de hijos que tiee los 2 obreros que ahí labora. Para esto, se etrevista a todos los obreros e orde alfabético, como aparece e la ómia, obteiédose los resultados que se muestra e la tabla que se muestra e la siguiete págia

3 Número del Obrero Número de Hijos Número del Obrero Número de Hijos Número del Obrero Número de Hijos Número del Obrero Número de Hijos Tabla: Obreros y Catidad de hijos por obrero. Ejercicio 1: Seleccioe ua muestra co reemplazo de tamaño =3. Cosidere la variable X = Número de hijos por obrero. Ejercicio 2: Elabore ua tabla de frecuecias absolutas y relativas para su muestra, clasificado los obreros de acuerdo a la variable X

4 Ejercicio 3: Calcule x de su muestra seleccioada Pregutas fiales: Preguta 1: Cuál es el estimador? Preguta 2: Cuál es la estimació putual? Preguta 3: Puede elaborarse la distribució muestral para x? 2.1 Estimació de la media por itervalos - Variaza coocida Objetivo: El objetivo de la estimació por itervalos es obteer los límites etre los cuales se ecuetra el verdadero valor del parámetro de ua població co u cierto ivel de cofiaza. Teoría: U itervalo probabilístico (a,b) para el cual la probabilidad de que el itervalo cotega al parámetro θ (Medida descriptiva para la població) sea igual a 1-α se llama Itervalo de cofiaza al (1-α)x1% para estimar al parámetro θ. E tal caso se escribe P(a< θ <b) = 1- α. El valor α se deomia Nivel de sigificació, y el valor (1-α) se deomia Nivel de cofiaza. Si la media µ de la població es descoocida y la variaza 2 es coocida, se puede determiar u itervalo (a,b) talque P(a< µ <b) = 1- α. El valor de α se reparte simétricamete etre las dos colas de la curva Normal estádar, quedado (1-α) e la regió cetral y α/2 e cada cola de la curva. El problema se reduce a resolver la desigualdad P µ-x < Zα/2 = 1 α, dode x es ua estimació putual de µ y Zα/2 se llama coeficietes de cofiaza. es el marge de error. Los valores -Z α/2 y Z α/2 Actividad 1: Las calificacioes fiales de 25 participates e uas Olimpiadas Iteracioales de Matemáticas y Estadística se preseta e la tabla 1 co sus respectivos códigos. Las pruebas se calificaro de a 1 putos. Se sabe que la variaza fue de 1.5 putos cuadrados

5 Ejercicio 1: Seleccioe ua muestra co reemplazo de tamaño =4. Cosidere la variable X = Nota fial del participate. Ejercicio 2: Calcule ua estimació putual x a partir de su muestra seleccioada. Ejercicio 3: Calcule u itervalo de cofiaza para la media poblacioal µ co ua probabilidad del 95%, tomado la estimació putual x calculada por usted e el puto aterior. Ejercicio 4: Use la Tabla de la Normal Estádar Z, para ecotrar los extremos del itervalo (-Z α/2,z α/2) talque P{ (-Z α/2,z α/2) } =.95 Explicació: La desigualdad µ-x < Zα/2 P µ-x < Zα/2 es equivalete a x -Z α/2 <µ<x +Zα/2 =.95 es equivalete a P x -Z α/2 <µ<x +Z α/2 =.95. Por lo tato, Ahora, comparado P( a < µ < b ) =.95 y P x -Z α/2 <µ<x +Z α/2 =.95 se tiee a = x -Zα/2 y b = x -Zα/2. Ejercicio 5: Cuáles so los valores de a = x -Zα/2 y b = x -Zα/2? Ejercicio 6: Fialmete, Cuál es el itervalo de cofiaza (a,b)? Ejercicio 7: Co base e el desarrollo aterior, complete la siguiete frase: La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se ecuetre e el itervalo es del. Ejercicio 8: Cuál será el itervalo de cofiaza, si se toma u ivel de sigificació del 1%? - 5 -

6 Ejercicio 9: Cuál será el itervalo de cofiaza si toma u ivel de cofiaza del 96.6% Ejercicio 1: Cuál debe ser el tamaño de la muestra para obteer u itervalo co u ivel de cofiaza del 95%, co u marge de error de 1 puto? Ejercicio 11: Cuál debe ser el tamaño de la muestra para obteer u itervalo co u ivel de cofiaza del 95%, co u marge de error de 2 putos? Ejercicio 12: Cuál debe ser el tamaño de la muestra para obteer u itervalo co u ivel de sigificació del 1%, co u marge de error de 2 putos? Ejercicio 13: Si se toma ua muestra de tamaño =2 y se desea obteer u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 9%, etoces: a) Cuáles so los coeficietes de cofiaza? b) Cuál es la logitud del itervalo de cofiaza? Ejercicio 14: Ahora, seleccioe ua muestra si reemplazo de tamaño =3. Cosidere la variable X = Nota fial del participate. a. Elabore la Tabla de distribució de X. b. Calcule ua estimació putual de la media poblacioal µ. c. Cuál es el marge de error para u ivel de cofiaza del 9%, d. Cuál es el itervalo de cofiaza? Ejercicio 15: Ahora, seleccioe ua muestra si reemplazo de tamaño =4. Cosidere la variable X = Nota fial del participate. a. Elabore la Tabla de distribució de X. b. Calcule ua estimació putual de la media poblacioal µ. c. Cuál es el marge de error para u ivel de sigificació del 1%, d. Cuál es el itervalo de cofiaza? - 6 -

7 Código Nota Código Nota Código Nota Código Nota Código Nota Tabla 1: Notas fiales de 25 participates

8 Objetivo: 2.2 Estimació de la media por itervalos - Variaza descoocida El objetivo de este taller es realizar la estimació por itervalos de la media poblacioal cuado o se cooce la variaza de la població. Se usará la distribució T-Studet y se trabajará co la variaza de la muestra. Tambié veremos la utilidad del teorema cetral del límite. Distribució T-Studet: La distribució T fue creada por Goset y formalizada por Fisher. Es ua familia de distribucioes semejates a la distribució ormal estádar Z. Cada miembro de la familia T está determiado 2 2 por el tamaño de la muestra. Para valores pequeños de, se tiee que (T)> (Z). A medida que aumeta el valor de, las gráficas de f(t) se acerca a la gráfica de f(z), esto permite calcular probabilidades de la distribució T-Studet co la distribució Z-Estádar. Supógase que se toma ua muestra de tamaño. Etoces: 1) Cuado la variaza de X se cooce, se usa la expresió distribució ormal estádar Z. 2) Cuado la variaza de X o se cooce, se usa la expresió X µ Z= X X X µ T= X S y la tabla de la y la tabla de la distribució T-Studet. S es la desviació estádar de la muestra S= grados de libertad. 3) La fució T-Studet para grados de libertad es a 1 t a t e dt Γ ( ) =. k= k=1 (x -x) k 2 co (-1) -1 x Γ 2 f( x) =, dode π Γ 2 Estimació de µ e muestras pequeñas (<3): Si X es ua variable distribuida ormalmete co media µ y variaza descoocidas, S es la desviació estádar muestral de ua muestra de tamaño, etoces, para estimar el itervalo que cotiee a la media µ de X co ua seguridad del ( ) 1 α %, la tabla T-Studet proporcioa α el valor de t para el cual se acumula el 1 % del área bajo la curva f (x). Es decir, 2 S P µ x < t = ( 1 α )%. El itervalo de cofiaza es S S x t < µ <x + t

9 Estimació de µ e muestras grades (>3): Cuado el tamaño de la muestra es suficietemete grade, el teorema cetral del límite garatiza que: 1) X es aproximadamete ormal si ecesidad de que la variable X sea ormal. 2) µ(x)=µ(x) y 2 2 (X) (X)=. Por lo tato se puede utilizar la tabla de la ormal estádar Z para estimar el itervalo que 1 α % buscado el valor de z para el cual se cotiee a la media µ co ua seguridad de ( ) acumula simétricamete el ( 1 α )% del área bajo la ormal estádar. Es decir, S 1 α P < µ x < z = %. El itervalo de cofiaza es S S x z < µ <x + z. 2 Ejercicio 1: Ecuetre el valor de t, para el cual se cumple las siguietes igualdades: Nota: El ídice de T correspode al tamaño de la muestra. a) P( T 8 < t ) =.75 b) P( T 1 < t ) =.8 c) P( T 12 < t ) =.85 d) P( T 15 < t ) =.9 e) P( T 2 < t ) =

10 Ejercicio 2: De ua població X, dode o se cooce la media y la variaza, se toma muestras de tamaño y variaza S 2. Se quiere estimar µ(x). Use la tabla T-Studet, para completar la siguiete tabla: x 1-α S 2 t Ejercicio 3: De ua població X, dode o se cooce la media y la variaza, se toma muestras de tamaño y variaza S 2. Se quiere estimar µ(x). Use la tabla T-Studet, para completar la siguiete tabla: x 1-α S 2 Itervalo de cofiaza Ejercicio 4: De ua població X, dode o se cooce la media y la variaza, se toma muestras de tamaño y variaza S 2. Se quiere estimar µ(x). Compare los itervalos de cofiaza obteidos usado la tabla T-Studet co los obteidos usado la tabla ormal estádar. Complete la siguiete tabla: x 1-α S 2 Itervalo de cofiaza co T Itervalo de cofiaza co Z Ejercicio 5: U grupo de 4 estudiates presetó ua prueba de Iformática calificada de a 1 putos. Se toma ua muestra de 4 estudiates. E la tabla se muestra las otas de la muestra. Estime e que itervalo se ecuetra el promedio de todo el grupo co ua seguridad del 8%, 9% y 95%, utilizado las distribucioes T-Studet y Z-Normal estádar

11 TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN T-STUDENT 1 - α