INFERENCIA ESTADÍSTICA

Transcripción

1 X INFERENCIA ESTADÍSTICA Sea ua característica o variable aleatoria de la població objeto de estudio y sea ( X, X, X,..., X ) ua muestra aleatoria de dicha població. 1 3 U parámetro poblacioal es ua caracterizació umérica de la distribució de la població. El coocimieto del parámetro permite describir parcial o totalmete la fució de probabilidad de la característica que estamos ivestigado. U estadístico es cualquier fució real de las variables aleatorias que itegra ua muestra, es decir, es ua fució de las observacioes muestrales la cual o cotiee igú valor descoocido. PARÁMETROS POBLACIONALES Media = Variaza = Proporció = p / Desviació típica = ( ) ESTADÍSTICOS MUESTRALES Media muestral: X Variaza muestral: s x i ( x x) x x i i ( ) 1 Cuasivariaza muestral: ˆ xi x s xi x 1 1 Se verifica que sˆ s. Además, cuado es grade ŝ s 1 x Proporció muestral: pˆ, siedo x el úmero de elemetos de la muestra que posee la característica ivestigada. 1. DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES Sea X ua variable aleatoria de ua població de media estadístico media muestral X tiee las siguietes características: y variaza. La distribució del 1) EX (es decir, tiee la misma media que la població) ) Var X (por cosiguiete dismiuye al aumetar ) 3) Cuado es grade ( 30) se aproxima a la distribució ormal, es decir, X N, Este resultado (Teorema cetral del límite) es válido cualquiera que sea la distribució de partida.

2 Si la població de partida es ormal, tambié lo será la distribució de las medias muestrales cualquiera que sea el valor de. Por tato Població ormal, Població o ormal o descoocida N X N, X N, 30. INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA X coocida Població N, o població descoocida co 30 INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA X CORRESPONDIENTE A UNA PROBABILIDAD 1 z/, z/ dode z / es el valor crítico correspodiete a ua probabilidad 1, es decir, es el valor que verifica PZ z / Esto sigifica que para ua muestra cualquiera de tamaño su media x verifica: P z / x z / 1 P x z / 1 Es decir, la diferecia e valor absoluto etre y es meor o igual que z / co probabilidad 1. E otras palabras el 100 (1 ) % de las muestras de tamaño tedrá ua media x compredida etre z / y z / x descoocida Població, N y 30 INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA X CORRESPONDIENTE A UNA PROBABILIDAD 1 sˆ z/, z/ sˆ dode z / es el valor crítico correspodiete a ua probabilidad 1, es decir, es el valor que P Z z verifica /

3 EJEMPLO El peso (e kg) de los estudiates uiversitarios de ua gra ciudad sigue ua distribució ormal co media 60 kg y desviació típica 8 kg. a) Si seleccioamos u estudiate al azar, cuál es la probabilidad de que su peso esté compredido etre 59 kg y 6 kg? b) Determia la distribució de las medias muestrales de tamaño. c) Se toma 100 muestras aleatorias simples de 64 estudiates cada ua. E cuátas de las 100 muestras cabe esperar ua media muestral etre 59 kg y 6 kg? d) Si se toma ua muestra aleatoria de tamaño la media muestral x correspodiete a ua probabilidad 1 0,95. Solució , determia el itervalo característico para a) X = peso (e kg) de los estudiates X N 60, X P59 X 6 P P0,13 Z 0,5 tipificar ,5 0,13 0,5 0,13 P Z P Z P Z P Z PZ P Z 0,5 1 0,13 0,5987 (1 0,5517) 0,1504 b) Població X N 60, 8 8 X N 60, X N60,1 Muestras aleatorias de tamaño X tipificar c) P59 X 6 P P 1 Z PZ PZ 1 PZ PZ 1 PZ PZ 1 1 0,977 (1 0,8413) 0,8185 0, ,85 8 E 8 de las 100 muestras cabe esperar ua media muestral etre 59 kg y 6 kg d) Població X N 60, 8 8 X N 60, X N60 ; 0,8 Muestras aleatorias de tamaño INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA X CORRESPONDIENTE A UNA PROBABILIDAD 1 z/, z/ El valor crítico z / correspodiete a ua probabilidad 1 0,95 es:

4 1 0,95 0,05 / 0,05 P Z z 0,9750 z 1,96 / / El itervalo característico pedido es: 60 1,96, 60 1,96 58,43 ; 61,568 es decir, P X 58,43 61,568 0,95 3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL coocida Població N, o població descoocida co 30 INTERVALO DE CONFIANZA PARA AL NIVEL DE CONFIANZA 1 x z/, x z/ dode 1 z / es el valor crítico correspodiete a ua probabilidad P Z z, es decir, es el valor que verifica / Que el ivel de cofiaza sea 1 sigifica que aproximadamete el 100 (1 ) % de los itervalos resultates cotedrá el valor del parámetro que queremos estimar ( ) y el 100 % restate o cotedrá e su iterior el parámetro ha estimar. Observació: ua vez extraída la muestra y determiado el itervalo de cofiaza, la media poblacioal estará o o estará e dicho itervalo por lo que ya o podemos hablar de la probabilidad de que tal cosa ocurre. Por eso, e lugar de hablar de probabilidad diremos que teemos u ivel de cofiaza 1 de que esté e dicho itervalo. descoocida Població, N y 30 INTERVALO DE CONFIANZA PARA AL NIVEL DE CONFIANZA 1 sˆ x z/, x z/ sˆ dode z / es el valor crítico correspodiete a ua probabilidad 1, es decir, es el valor que P Z z verifica /

5 3.1. ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA Al determiar u itervalo de cofiaza para la media poblacioal, afirmamos que, co u ivel de cofiaza ( descoocida) 1, se cumple que x z / ( coocida) ò x z / ŝ E z E z / / ŝ ( coocida) ( descoocida) ERROR MÁXIMO ADMISIBLE coocida Població N, o població descoocida co 30 x z, es decir, E z / / Si fijamos el error máximo deseado ( E máx ecesario para que eso ocurra simplemete despejado: z/ z/ E z / Emáx Emáx Emáx ), podemos deducir el tamaño muestral míimo descoocida Població N, y 30 ŝ x z, es decir, E z / / ŝ ŝ z ˆ ˆ / s z/ s E z / Emáx Emáx Emáx 1 = ivel de cofiaza = ivel de sigificació E = error máximo admisible E = amplitud del itervalo de cofiaza

6 EJEMPLO Se supoe que la catidad de agua (e litros) recogida cada día e ua estació meteorológica se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a litros. Se elige ua muestra aleatoria simple y se obtiee las siguietes catidades de agua recogidas cada día (e litros): 9,1 4,9 7,3,8 5,5 6,0 3,7 8,6 4,5 7,6 a) Determíese u itervalo de cofiaza para la catidad media de agua recogida cada día e dicha estació, co u ivel de cofiaza del 95%. b) Calcúlese el tamaño muestral míimo ecesario para que al estimar la media del agua recogida cada día e la estació meteorológica mediate la media de dicha muestra, la diferecia e valor absoluto etre ambos valores sea iferior a 1 litro, co u ivel de cofiaza del 98% Solució a) X = catidad de agua (e litros) recogida cada día e ua estació meteorológica XN, Muestra aleatoria de tamaño 10 9,1... 7,6 x 6 x 6 10 U itervalo de cofiaza para al ivel de cofiaza (1 ) e ua població ormal co coocida es de la forma: x z/, x z/ El valor crítico 1 0,95 0,05 / 0,05 z / correspodiete a u ivel de cofiaza 1 0,95 es: P Z z 0,9750 z 1,96 / / Por tato, el itervalo de cofiaza pedido es: 6 1,96, 6 1,96 6 1,4 ; 6 1,4 4,76 ; 7, Podemos afirmar, co ua cofiaza del 95%, que la catidad media de agua recogida cada día se ecuetra etre 4,76 litros y 7,4 litros (Error máximo = 1,4 litros)

7 b) Al estimar la media poblacioal ( ) mediate la media muestral ( x ) co u ivel de cofiaza de (1 ) se verifica que x z /, es decir, el error máximo admisible es E z / Teemos que hallar para que co u ivel de cofiaza del 98% E 1 El valor crítico 1 0,98 0,0 / 0,01 z / correspodiete a u ivel de cofiaza 1 0,98 es: P Z z 0,99 z,33 / /,33,33 E z / 1,33 1 E 1 1 1,7156 Por tato, el tamaño muestral míimo ecesario para que del 98% es =. x 1 co u ivel de cofiaza

8 DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES 1. Cosideremos la població formada por los elemetos 0,3,4,6,8. Determiar: a) Todas las muestras posibles de tamaño co devolució que podemos extraer de esta població. b) La media y la desviació típica poblacioales. c) La distribució de las medias muestrales y la media y la desviació típica de las medias muestrales.. Se sabe que la putuació obteida por los iños españoles de eseñaza primaria e ua prueba de discrimiació visual se distribuye ormalmete co media 4 y variaza. a) Si seleccioamos u alumo de primaria al azar, cuál es la probabilidad de que su putuació e la prueba sea iferior a 3,5? b) Determia la distribució de las medias muestrales de tamaño. c) Se toma 50 muestras aleatorias simples de 39 iños cada ua de ellas y les pasamos la prueba. E cuátas de ellas cabe esperar ua putuació compredida etre 3,8 y 4,1? d) Si se toma muestras aleatorias de tamaño, determia el itervalo característico para la putuació media muestral x correspodiete a ua probabilidad de 1 0, La altura de los alumos de ua uiversidad se distribuye ormalmete co media 17 cm y desviació típica 17,5 cm. Se toma 150 muestras aleatorias de 35 estudiates y se calcula la altura media para cada ua de ellas. a) Determia la distribució de las medias muestrales. b) Hallar la probabilidad de que la media muestral sea iferior a 171 cm. c) E cuátas de las 150 muestras cabe esperar que la media muestral sea mayor de 170 cm y meor que 171,5 cm? d) Determia el itervalo de característico para la media muestral correspodiete a ua probabilidad de 1 0, El peso de las truchas de ua piscifactoría sigue ua distribució ormal co media 00 gramos y desviació típica 50 gramos. a) Si seleccioamos ua trucha de la piscifactoría al azar, cuál es la probabilidad de que su peso sea al meos de 175 gramos? b) Se toma 40 muestras aleatorias de 60 truchas y se calcula su peso medio. b.1) Halla la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 180 gramos. b.) E cuátas cabe esperar que la media muestral esté etre 180 gramos y 195 gramos? b.3) Determia el itervalo característico para la media muestral correspodiete a ua probabilidad de 1 0, Se supoe que el ivel de glucosa e sagre de los idividuos de ua població (medido e miligramos por decilitro) se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media descoocida y desviació típica igual a 35 mg/dl. Cuál es el tamaño muestral míimo que permite garatizar que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y es a lo sumo de 0 mg/dl co ua probabilidad de 0,98? x

9 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA 1. Se supoe que el precio de u kilo de patatas e ua cierta regió se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 10 cétimos de euro. Ua muestra aleatoria simple de tamaño 56 proporcioa u precio medio del kilo de patatas igual a 19 cétimos. a) Determíese u itervalo de cofiaza para el precio medio de u kilo de patatas e la regió co u ivel de cofiaza del 95% b) Se desea aumetar el ivel de cofiaza al 99% si aumetar el error de la estimació. Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que ha de observarse?. U laboratorio farmacéutico afirma que el coteido medio de pricipio activo e las dosis de u medicameto que fabrica es de uidades. Se sospecha que dicha afirmació es falsa. Para comprobarlo, tomamos al azar 100 dosis del medicameto y determiamos el úmero de uidades de pricipio activo de cada ua, obteiedo de media 9940 uidades y desviació típica 10 uidades. Si supoemos que la distribució del úmero de uidades de pricipio activo e ua dosis se distribuye ormalmete, qué podemos decir acerca de la afirmació del laboratorio para u ivel de cofiaza del 99%? 3. Se supoe que la estacia (e días) de u paciete e u cierto hospital se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de variaza 81. De ua muestra aleatoria simple formada por 0 pacietes, se ha obteido ua media muestral igual a 8 días. a) Determíese u itervalo de cofiaza para la estacia media de u paciete e dicho hospital co u ivel de sigificació del 5%. b) Determíese el tamaño muestral míimo ecesario para que dicho itervalo de cofiaza tega ua amplitud igual o iferior a 4 días. 4. La duració (e miutos) de ua llamada de teléfoo móvil se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 1,3 miutos. Se desea estimar la media del tiempo de las coversacioes mateidas co u error iferior o igual, e valor absoluto, a 0,5 miutos y co u grado de cofiaza del 95%. a) Calcúlese el tamaño muestral míimo ecesario para llevar a cabo dicha estimació mediate la media muestral. b) Si se supoe que la media del tiempo de las coversacioes es de 4,36 miutos y se elige ua muestra aleatoria simple de 16 usuarios, cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las coversacioes de la muestra esté compredido etre 4 y 5 miutos? 5. Se cosidera ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 30. Se toma ua muestra aleatoria simple de 36 elemetos. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media de la distribució ormal sea mayor o igual que 50. b) Determíese u itervalo de cofiaza al 95% para la media de la distribució ormal, si la media muestral es igual a El ivel de desarrollo cogitivo e iños de 5 años se distribuye ormalmete co ua variaza igual a 11,56. Se ha elegido ua muestra aleatoria formada por 60 iños de 5 años y se ha determiado que la media del ivel de desarrollo cogitivo e la muestra es igual a 13 putos. a) Hallar u itervalo de cofiaza para la media poblacioal al ivel de cofiaza del 95%. b) Cuátos iños se debería haber tomado e la muestra para que, co u ivel de cofiaza del 99%, el marge de error e la estimació sea a lo sumo de 0, putos? 7. Se supoe que el peso e kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por ua cierta empresa, se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 0,5 kg. Ua muestra aleatoria simple de 9 rollos ha dado u peso medio de 10,3 kg. a) Determíese u itervalo de cofiaza para el peso medio de los rollos de cable que produce dicha empresa co u ivel de sigificació del 10% b) Cuál debe ser el tamaño muestral míimo ecesario para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual que 0, kg co probabilidad igual a 0,98?