a n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) =

Transcripción

1 TEMA 9: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 9. Cocepto de límite lateral. Límite. 9. Operacioes co fucioes covergetes. 9.3 Cálculo de límites. 9.4 Cotiuidad de ua fució. 9.5 Asítotas: Verticales, horizotales y oblicuas. 9. CONCEPTO DE LÍMITE LATERAL. LÍMITE. Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació del cojuto de los úmeros aturales e el cojuto de los úmeros reales, de maera que a cada úmero atural le correspode u úmero real. Por ejemplo:, 4, 9, 6,... a Hacia dóde va?, ½, /3, ¼,... a / Hacia dóde va?, 4/3, 3/, 8/5 a Hacia dóde va? Este límite es más difícil de calcular, veamos cómo hacerlo. Ejemplo: Represeta las gráficas de las fucioes f() /, g() y h() si. Observa que ocurre e los putos 0, y. Qué ocurre si cuado se hace muy muy grade? y cuádo se hace muy muy pequeño?. Formalicemos el cocepto de acercamieto: Se dice que u úmero real L es el límite de ua fució f e el puto a por la derecha, si al tomar valores de cada vez más próimos a a, co > a, sus imágees correspodietes, f(), está más próimos a L. Es decir si a 0 + etoces f() L 0. Y se deota por f() L. Aálogamete se dice que u úmero real L es el límite de ua fució f e el puto a por la izquierda, si al tomar valores de cada vez más próimos a a, co < a, sus imágees correspodietes, f(), está más próimos a L. Es decir si a 0 - etoces f() L 0. Y se deota por f() L a a Ua fució f tiee por límite L cuado tiede a a si eiste el límite por la derecha de f e a, eiste el límite por la izquierda de f e a y ambos límites coicide y vale L. Se deota por f() L. Si eiste, el límite es úico. a Si eiste f() L decimos que f es covergete e a. a

2 9. OPERACIONES CON FUNCIONES CONVERGENTES. Sea f y g dos fucioes covergetes e a co podemos afirmar que: f() a. (f() g()) l + m. (kf()) k. l a 3. (f() g()) l. m 4. a 5. f() l co l 0 a a f() ag() 6. f() a g() m l l y g() a, si m 0 l m co l > 0 m etoces Ejercicio,, 3 y 4 del Aeo. E estos ejemplos debemos ver la utilidad de las propiedades de los límites. Debemos recordar que las propiedades so para valores de k, l y m fiitos. A partir del ejercicio q os ecotramos co tomado valores muy altos. Podéis observar que cuado iterviee el ifiito las propiedades arriba idicadas o siempre se cumple. Al fializar este ejercicio debemos rellear el resume de límites. Coteido de ampliació: A cotiuació eplicaremos ua aplicació del úmero e. Dada la sucesió a si calculamos térmios de dicha sucesió va tomado valores que se acerca a llamado úmero e. Es decir, e. Para resolver la idetermiada del tipo utilizamos el úmero ya que podemos geeralizar y decir que a a e. Esto es lo que os ayudara a calcular los límites del tipo : (4-5) e (4-5) e (4-5) e

3 Ejercicios para clase: pág. 54 ejercicios: 8, 9, 3 c Ejercicios volutarios: ejercicios 0 al 3 (o hacer 6 g, h, i, 3 d) 9.3 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. La cotiuidad de ua fució es la suavidad de su gráfica, poder dibujarla de u sólo trazo. Demos ua defiició seria : Ua fució f es cotiua e u puto a si se cumple:.- Eiste el límite de f cuado tiede a a. f( ) a.- Eiste la image de a mediate f. f(a) 3.- Ambos coicide. f() f(a) a Propiedades: ) Ua fució f es cotiua e el itervalo (a,b) si es cotiua e cada uo de los putos del itervalo. ) Si f y g so cotiuas e a etoces podemos afirmar que: a) f + g es cotiua e a. b) k f es cotiua e a. c) f. g es cotiua e a. d) f/g (co g(a) 0) es cotiua e a. e) (gof) es cotiua e a. 3) Las fucioes poliómicas so cotiuas e IR. 4) Las fucioes racioales, epoeciales, logarítmicas, raíz de, seo, coseo y tagete so cotiuas e su domiio. Las fucioes que so composició de dos fucioes cotiuas, so cotiuas. Si ua fució f o es cotiua e a se dice que es discotiua. Podemos hablar de tres tipos de discotiuidades, dibujar tres gráficas co los tres tipos de discotiuidades:. La fució f tiee ua discotiuidad de tipo evitable e a si: a) Eiste el límite de f cuado a y f(a), pero o coicide. b) Eiste el límite de f cuado a, pero o eiste f(a).. La fució f tiee ua discotiuidad de salto fiito e a si eiste el límite de f cuado tiede a a por la derecha y por la izquierda pero o coicide (o tiee porqué eistir la image). 3. La fució f tiee ua discotiuidad de salto ifiito e a cuado uo o los dos límites laterales de f cuado tiede a a vale ifiito. Ejercicio 4: Estudia la cotiuidad de la fució f e el puto o putos idicados, o olvides dibujarla: a) f() + e. b) f() e y e. c) f() 3 para, y -4.

4 d) si f() 0 si e D. evitable e) f) 3 f() e 4 4 si f() e si e D. salto fiito g) f() 3 si si e y e h) f() 5 si si e Ejercicio 5: Estudia la cotiuidad de las siguietes fucioes (e su globalidad, domiio, cotiuidad e putos especiales y coclusioes): a) f() b) f() e c) f() se + L d) 9 () 6 g e) 3 h() f) () i 3 g) 4 j() si si h) f() i) 5 si 0 k () 5 j) f() + 3 si 0 Ejercicio 6: Podrías defiir ua fució g igual a f() sea cotiua e dicho puto? Ejercicios de clase: 4, 4 Ejercicios volutarios: 35 al que esté defiida e 3 y

5 9.5 ASÍNTOTAS. Si e u puto a la fució f tiee uo o ambos límites laterales ifiito se dice que f tiee ua asítota vertical e a. El comportamieto de ua fució e el ifiito es muy importate para dibujar su gráfica, si se acerca a ua recta horizotal le llamaremos a. horizotal, si se acerca a ua recta oblicua le llamaremos a. oblicua, si o hay igua de las dos decimos que so ramas parabólicas. Para estudiar este comportamieto debemos calcular el límite de la fució cuado tiede a ifiito. a) Si f() k, co k, se dice que f tiee ua asítota horizotal e y k. P() b) Sea f() y m + el cociete de la divisió de P etre Q, si Q() f() (m ) 0, etoces decimos que f tiee ua a. oblicua e la recta y m+. Hay que teer e cueta que si hay ua asítota horizotal ya o puede eistir la oblicua. Pero cuidado, puede eistir ua horizotal cuado tiede a + y ua oblicua cuado tiede a -, esto suele ocurrir e las fucioes defiidas a trozos (auque e el próimo curso veremos que ocurre e otro tipo de fucioes). E el próimo curso veremos que para calcular la asítota oblicua ecesitamos más teoría, ya que de esta forma sólo es útil para las fucioes racioales. Ejemplo: Calcula las asítotas de la fució f() y g() 4 Ejercicio 7: Calcula las asítotas de las siguietes fucioes, apartado d icluir e el resume de las fucioes elemetales: a) f() 3 b) f() + 5 c) f() d) f() 6 e) f() f) f() g) f() 3 h) f() 4 i) f() 4 j) f() 3 si 0 si 0 k) f() e si 0 si 0 l) f() si si m) f() ) f() 3

6 Ejercicios volutarios: 33, 34 a b Para represetar gráficamete las fucioes del tipo f(), debemos teer e c d a d cueta que tiee ua asítota horizotal e y y ua asítota vertical e. c c Ejercicio 8: Represeta las siguietes fucioes: a) f() 3 4 b) g() c) h() 3 d) i() 3 4 Ejercicio 9: Dibuja la gráfica de ua fució sabiedo que verifica las siguietes codicioes, debes teer e cueta que o hay ua úica solució: a) Domf IR Imf (-, + ) f() 5 f() b) Imf (-,4] f() 4 y es estrictamete creciete e (-, ) f c) Domf [0,3] f() 3 () 3 y f() 5 f d) Tiee ua asítota vertical e 0, () f() f e) () f() 3 f () f() 3 f) f() f() f() 0 g) Positiva e (,+ ), egativa o 0 e (-,) y que o eista f( ) Ejercicios para clase: 43, 44 Ejercicios volutarios: 46