f x dx F b F a f x dx F x C f, g f x g x dx g x

Transcripción

1 Tarea. Equatio Chapter Sectio Resuelta. Idica qué tipo de aplicació matemática (fució, operador, fucioal) es cada uo de los siguietes: Respuestas a. Ua itegral defiida b a f d F b F a Toma ua fució y arroja u úmero, por lo tato es u fucioal. b. Ua itegral idefiida f d F C Toma ua fució y arroja otra fució, por lo tato es u operador. c. Sacar la raíz cuadrada a b Toma u úmero y arroja otro úmero, por lo tato es ua fució. d. El producto escalar, dada ua fució, aplicado a otra. f, g f g d D Toma dos fucioes y les aplica ua itegral defiida, la cual es u fucioal. e. Dividir por la variable f g Toma ua fució y arroja otra fució, por lo tato es u operador.

2 . Efectúa los siguietes productos escalares: Respuestas 5 7, i uv, i6 i a. u v u v i b. i i a, b a b i i i i 6i i ab, i i i i i 6 i i 6i i 6 i i i 6i i 6i 6i 6 8 i i 6i 6 i i i i c. i i i a, a a a i i i i i i i aa, i i i i i i

3 d., i f g f g d d i d D Aplicado el cambio de variable: u u du d u u f, g i du i du i u l u i l l u u i l i l.97i e., si cos h k h k d d D Aplicado el cambio de variable: u si du cos d h, k u si si si udu

4 . Calcula l(.) usado la serie de Taylor de l() alrededor de =. El valor e la calculadora es.66. Tú puedes deteerte al llegar a.6. Tal vez te sirva cotiuar la siguiete tabla: Respuesta: Cotiuado la tabla Térmio algebráico Térmio sustituido Térmio evaluado Suma acumulada 5 6 d l! d l d! d d l! d l l() = d l! d d l! d d l 5 5! d d l 6 6! d =

5 . Para las siguietes fucioes, ecuetra: a. El domiio atural b. Los putos de discotiuidad c. Los putos estacioarios (máimos y míimos) d. Las asítotas e. Si los hay: i. Ceros ii. Paridad f. Realiza u bosquejo a mao de la gráfica idicado las características relevates Respuesta: 6 d e d Domiio: Discotiuidades: No tiee Putos estacioarios: Se deriva la fució: l e e d d d e e e d d d La derivada obteida se iguala a cero: e Se resuelve la ecuació para e l Los valores al ifiito so asítotas, así que sólo hay u puto estacioario e =, la fució vale: Por lo que el puto estacioario es (, -) e e

6 Para saber si es máimo o míimo se obtiee la seguda derivada: d d d d e e e d d d d Y se evalúa e el puto estacioario: e e e Como >, se cocluye que es u míimo e e Las asítotas: lim lim e lim lim e Ceros: e l e E este caso o hay ceros porque correspode a las asítotas. Paridad: Esta fució o tiee paridad. 69 e e e

7 Gráfica:

8 6 Domiio: Discotiuidades: No tiee Putos estacioarios: Se deriva la fució: d d d 6 d 6 6 d 6 6 d d d La derivada obteida se iguala a cero: Se resuelve la ecuació para Los valores al ifiito so asítotas, así que sólo hay u puto estacioario e =, dode la fució vale: Por lo que el puto estacioario es (, -) 6 6 Para saber si es máimo o míimo se obtiee la seguda derivada: d d d d d d d d

9 Y se evalúa e el puto estacioario: 5 Como 5/ >, se cocluye que es u míimo 6 Las asítotas: 6 lim lim lim 6 lim lim lim Ceros: Quitado las asítotas, los ceros se ecuetra e = y =. Paridad: Esta fució es par. 6 6

10 Gráfica:

11 d d Domiio: Discotiuidades: No tiee Putos estacioarios: Se deriva la fució: La derivada obteida se iguala a cero: d d d d Se resuelve la ecuació para Los valores al ifiito so asítotas, así que hay dos putos estacioarios e = / y = -/, dode la fució vale: Por lo que los putos estacioarios so (.57,.68) y (--57, -.68) Para saber si so máimos o míimos se obtiee la seguda derivada:

12 d d d d d d 6 d d Y se evalúa e los putos estacioarios: De acuerdo co los sigos (.57,.68) es máimo y (--57, -.68) es míimo. Las asítotas: lim lim lim lim lim lim lim lim Ceros: E el ejercicio aterior se obtuvo que el cero para esta fució está e =. Paridad: Esta fució es impar. Gráfica:

13

14 Domiio: Discotiuidades: No tiee Putos estacioarios: Se deriva la fució: d d d d La derivada obteida se iguala a cero: Se resuelve la ecuació para Los valores al ifiito so asítotas, así que hay tres putos estacioarios: =, = - y = -/ ; dode la fució vale: Por lo que los putos estacioarios so (, ), (-,) y (-/, /7)

15 Para saber si so máimos o míimos se obtiee la seguda derivada: d d d d d d d d d d d d d d 6 d d

16 Y se evalúa e los putos estacioarios: idetermiado De acuerdo co los sigos (, ) es míimo, (-, ) es u puto de quiebre y (-/, /7) es máimo. Las asítotas: lim lim lim lim lim lim lim Esta fució o tiee comportamieto asitótico Ceros: Los ceros de esta fució se ecuetra e = y = -.

17 Paridad: Esta fució o tiee paridad. Gráfica:

18 l e Domiio: Discotiuidades: = Putos estacioarios: Se deriva la fució: d d d d l e l e e l l e e d d d d l e 9 La derivada obteida se iguala a cero: Se resuelve la ecuació para e l e l l l l l e.76 El valor al ifiito es ua asítota, así que hay u puto estacioario e =.76, dode la fució vale:.76 e.76 l Por lo que el puto estacioario es (.76,.9766)

19 Para saber si es máimo o míimo se obtiee la seguda derivada: d d d d e l e l l e d d d d 9 e l e e l e l Y se evalúa e los putos estacioarios: e l Como -.5 < el puto es u máimo. Las asítotas: lim lim l e lim l lim e lim lim l e lim l lim e lim l lim e Ceros: l e e l e l Quitado la asítota, los ceros de esta fució se ecuetra e = y = -. Paridad: l e e l

20 Esta fució o tiee paridad. Gráfica:

21 5. Ecuetra la serie de Maclauri de la fució de tu preferecia del problema aterior hasta el º térmio diferete de cero. Para ua serie de Maclauri: Calculemos térmio a térmio. e d! d =: d! d e e e 9 =:! d d d d d d e e e d e e d 9 e 6e =: d d e e! d d d d e e d d 7 e e e e 9

22 =: d d e e! d 6 d e 9 e d d e e 6 d d e e 6 6 Ya que se ha calculado los cuatro térmios procedemos a la suma: e 6e 7e e e Para ua serie de Maclauri: d! d Calculemos térmio a térmio. =: =: d 6 6! d d 6 d 6! d d 6

23 =: d 6 d! d d 5 =: d 6 d! d 6 d =: d 6 d! d d 8 8 8

24 8 5! d d Etrapolado los térmios faltates: d d E este caso la serie puede calcularse a partir de la defiició de la fució, es decir: d d d d 6 6 d 5 d 5

25 Para ua serie de Maclauri: d! d La fució valor absoluto o es difereciable alrededor de cero, por lo que es imposible obteer ua serie de Maclauri. Para ua serie de Mclauri: l l e e d! d La fució logaritmo atural o es difereciable alrededor de cero, por lo que es imposible obteer ua serie de Maclauri.

26 6. E la resolució de la ecuació de oda (ver documeto de apoyo) se obtiee la relació frecuecia-logitud de oda tras despejar la frecuecia agular e la ecuació que depede sólo del tiempo. Ahora despeja el úmero de oda de la ecuació que depede sólo de la posició,, y llega a la misma epresió fial. Respuesta: Se despeja k de (.) k f Se sustituye el cociete de f s e la ecuació (.9) v k v k f Se despeja v: v k k v k Fialmete se sustituye las relacioes vistas e clase: v Co lo que se completa la demostració.

27 7. La ecuació de oda tiee u úmero ifiito de solucioes. Sustituye la siguiete propuesta de solució uidimesioal: Y comprueba que se cumpla la igualdad, u, t ep A k t t u t v u t,, Nota que u(,t) escrita de esta forma o puede escribirse como f()g(t) más que para = ±. Respuesta: Hay que derivar co respecto a t y co respecto a, Del lado izquierdo teemos: t u t A k t t, ep Para la primera derivada, usado regla de la cadea: ep A k t ep A k t A k t Aep A k t t t t k t Aep Ak t k t k t t Acomodado la epresió: Aep A k t k t ep Ak t Ak t ep Ak t t Y la seguda derivada, usado la derivada de u producto: t ep Ak t A k t ep Ak t t Ak t ep Ak t t ep Ak t k t t.

28 Trabajado la derivada del segudo sumado se tiee: t k t k t k t k t k t t El primer térmio de la suma cotiee eactamete a la primera derivada que ya se obtuvo, etoces: t ep k t ep Ak t ep A k t A k t A k t A k t Reacomodado los térmios: t ep A k t Aep A k t A k t k t A k t A k t A k t ep Lo que seguiría es derivar ahora co respecto a, pero si os damos cueta de que ωt hace el mismo papel que k e la fució, etoces podemos cocluir que: ep A k t k A k t ep A k t A k t Y al sustituir e la ecuació de oda se llega a que: A k t A k t A k t ep v k A k t A k t A k t ep Elimiado todos los térmios iguales a ambos lados de la igualdad: vk v k Esta última epresió correspode a uo de los pasos de la demostració e el problema aterior. Por lo que podemos decir que la igualdad sí se cumple.

29 8. Calcula los siguietes parámetros odulatorios: Respuestas: a. El úmero de oda, k, para ua oda acústica (ivestiga la rapidez del soido e el vacío) co frecuecia, ν = 9 Hz (ota musical SI). rad9 s 988 k rad m 9. 5 rad m v v m s b. El periodo, T, para ua oda co logitud λ =.5 cm y que se propaga a m/s. T.5 m v v m s. 5 s 8. s c. La frecuecia espacial, e cm -, para u rayo de luz ifrarroja co frecuecia agular ω =. rad/s.. rad s m 6. m v v v v rad. m s 6. m 6 cm m cm d. La rapidez de propagació de ua oda co frecuecia espacial = cm - y periodo T =. - s. v T cm. s 9.7 cm s 9.7 m s e. La frecuecia agular de ua oda lumiosa co logitud λ = 98 m. rad. 8 ms v.78 rad s 9 98 m