Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros

Transcripción

1 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Idice: Series de Fourier Serie Trigoométrica de Fourier Aálisis gráfico. Primeras compoetes de frecuecia Ejemplo Serie de Fourier e forma de Expoeciales Compleja Serie Compacta de Fourier Serie de Fourier para Señales Simétricas Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 1

2 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Cualquier señal periódica x(t), defiida e el itervalo (-T/2, T/2), dode T es su período y que satisface las siguietes codicioes suficietes Codicioes de Dirichlet, se puede desarrollar e Serie de Fourier: a. La fució x(t) es periódica, es decir, x(t) = x(t+t) b. La fució x(t) tiee u úmero fiito de discotiuidades e el itervalo (- T/2, T/2). c. La fució x(t) es de módulo itegrable e u período, es decir, es fiita. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 2

3 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Las codicioes b y c implica que x(t) es ua fució acotada e el itervalo (-T/2, T/2), es decir, que x(t) K e el itervalo (-T/2, T/2), dode K es ua costate. La serie de Fourier es u procedimieto matemático que aporta ua maera diferete de expresar ua fució x(t). Además este procedimieto permite realizar aálisis de formas de odas, ya o e el domiio del tiempo, sio e el domiio de la frecuecia, esto es, la ueva variable a utilizar es w coocida como la frecuecia agular. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 3

4 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier Si f(t) es ua fució periódica de período T, itegrable e el itervalo fudametal (- T/2, T/2), y cumple co las tres codicioes de Dirichlet, se puede expresar como ua serie de fucioes seoidales y coseoidales llamadas compoetes o armóicas de f(t) la cual puede ser represetada por la serie trigoométrica de Fourier como sigue: Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 4

5 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier El termio a 0 /2 represeta el valor medio de f(t) e el tiempo. Los valores de los coeficietes a 0, a y b se determia por las ecuacioes siguietes: No es ecesario que el itervalo de itegració sea simétrico respecto del orige. El úico requisito es que la itegral se tome sobre u período completo. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 5

6 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier Aálisis gráfico. Primeras compoetes de frecuecia. 1 ra Armóica 2 da Armóica 3 ra Armóica Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 6

7 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier A cotiuació se muestra cómo se va aproximado la señal periódica al ir sumado sus compoete de frecuecia. Sumado las primeras 2 compoetes de frecuecia de la señal periódica. Sumado las primeras 3 compoetes de frecuecia de la señal periódica. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 7

8 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier Sumado las primeras 9 compoetes de frecuecia de la señal periódica. Sumado las primeras 40 compoetes de frecuecia de la señal periódica. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 8

9 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier Sumado las primeras 100 compoetes de frecuecia de la señal periódica. Feomeo de Gibbs. Se refiere a los rizos que se preseta e el comportamieto de las sumas parciales e las cercaías de las discotiuidades, si importar la catidad de armóicos que se tome, y equivalete a u aumeto de 9% de la altura de la discotiuidad. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 9

10 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier Ejemplo: Hallar la serie de Fourier para la señal represetada e la figura: La señal es cotiua y cumple co las codicioes de Dirichlet. La serie de Fourier está dada por: a 0 = 10 a = 0 b = - 10 π Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 10

11 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Trigoométrica de Fourier Ejemplo: Armóicos -10 π Gráfica de la Señal 5 a 0 / 2 Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 11

12 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie de Fourier e forma de Expoeciales Compleja La serie de Fourier se expresa a través del uso de las expoeciales complejas Cosideremos: 1 = -j j Sea la serie f ( t) 1 a0 a cosw0t 2 1 b sew t 0 Sustituyedo Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 12

13 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie de Fourier e forma de Expoeciales Compleja Sustituyedo Cambios de variables: Serie Expoecial de Fourier Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 13

14 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie de Fourier e forma de Expoeciales Compleja Cálculo de las uevas variables Igualdades geeradas Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 14

15 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie de Fourier e forma de Expoeciales Compleja Observacioes: De se puede obteer los valores de amplitud (magitud) de la fució para cualquier valor de. De se puede obteer la fase respectiva para cada valor de. Para cada valor de amplitud determiado le correspode u valor de fase. Si se grafica la amplitud vs la variable se obtiee el Espectro de Amplitud. Si se gráfica la fase vs la variable se obtiee el Espectro de Fase de la fució. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 15

16 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Compacta de Fourier. La serie compacta de Fourier se represeta como sigue: Demostració: Sea la serie Operado el segudo miembro: 1 f ( t) a a cosw t b sew t f ( t ) a b a a b w t w t 2 ( a b.cos a b se ) Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 16

17 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Compacta de Fourier. Variables Auxiliares cos a a 2 b 2 b se a 2 2 c a b b 2 2 c 1 a Sustituyedo f ( t) c c (cos.cosw t se se w t) Cosiderado la idetidad trigoométrica cos( A B) cos AcosB seaseb arctg se cos arctg a a b 2 a 2 b b 2 2 arctg b a Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 17

18 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie Compacta de Fourier. La represetació e serie de Fourier de ua fució periódica, es represetado como la suma de compoetes siusoidales de diferetes frecuecia. w = w 0 se deomia la eésima armóica de la fució periódica. La primera armóica comúmete se cooce como la compoete fudametal, porque tiee el mismo período de la fució. w 0 =2π/T se cooce como la frecuecia agular fudametal. Los coeficietes C se cooce como amplitudes armóicas. Los águlos θ se cooce como águlos de fase Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 18

19 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Serie de Fourier para Señales Simétricas Series de Fourier para fució Periódica Par Series de Fourier para fució Periódica Impar Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 19

20 Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Series de Fourier para fució Periódica co Simetría de Media Oda Series de Fourier para fució Periódica co Simetría de Cuarto de Oda Par Series de Fourier para fució Periódica co Simetría de Cuarto de Oda Impar Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 20