PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

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1 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES TEMA : FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. Señales y Sistemas de Tiempo Discreto Se itroducirá coceptos de señales y sistemas de tiempo discreto. Para ello se detallará u úmero importate de señales características de sistemas discretos y sus propiedades. Se efocará el estudio a los sistemas lieales e ivariates e el tiempo, por la simplicidad de su aálisis e implemetació. Se defiirá los coceptos de liealidad, causalidad, e ivariacia e el tiempo Se podrá especial éfasis a la represetació de señales y sistemas. Para describir los sistemas de tiempo discreto se utilizará diferetes métodos: Tablas de Valores, Ecuacioes de Diferecias, Trasformada Z y Covolució. Por su importacia e DSP, se efatizará la represetació de las señales y sistemas por medio de ecuacioes de diferecias y trasformada Z. Señales de Tiempo Cotiuo y de Tiempo Discreto Las señales se clasifica de ua maera amplia e señales aalógicas y señales discretas. Ua señal aalógica será deotada por ft, ua fució del tiempo, e la cual la variable t puede represetar ua catidad física, pero para uestros fies supodremos que represeta al tiempo e segudos. Ua señal discreta se deota por k, e la cual la variable k es valuada etera y represeta los istates discretos del tiempo. E cosecuecia es tambié llamada señal discreta e el tiempo, la cual es ua secuecia de úmeros, y será deotada por algua de las siguietes otacioes: k = {k} = {, -, 0,, } Dode la flecha hacia arriba idica el muestreo e t=0. Diferetes maeras de deotar la fució discreta fkt, fk, f k, ft k co k = 0,,, 3, úmero etero Supogamos ua señal de tiempo cotiuo ft y ecesitamos discretizarla. Para ello debemos tomar muestras de la señal por ejemplo co ua llave o CAD, co u período de muestreo T, que a uestros fies será costate o ecesariamete es así, e casos particulares el periodo de muestreo T puede ser variable. La iversa del periodo T es la frecuecia de muestreo f s : Señal de TC Frecuecia de muestreo f s = /T ω s =πf s CAD T Señal de TD

2 a Fució aalógica ft Ǝ v t>0 b Fució discreta muestreo de ft Para defiir fució e a, podemos teer: ft La gráfica Para defiir la fució b, podemos teer: fk La gráfica 3 la tabla de valores Toda la iformació de la gráfica b está coteida e la tabla de valores. La tabla os permite teer u paorama geeral del comportamieto del sistema, y es permaete. Por ejemplo, ua computadora es u STD, o más bie, u cojuto de STDs. Tiempo de muestreo: Es el tiempo que trascurre etre u eveto y el siguiete de a, de a 3, etc. Procesamieto e tiempo real: Es cuado el sistema puede realizar todo el proceso u operació, ates de que comiece de uevo, es decir hace todo durate el período de muestreo. Si o es así es u sistema de tiempo diferido. U sistema digital es u sistema de tiempo discreto, pero o todo STD es u sistema digital. U sistema digital se llama tambié u STD cuatizado. E este caso, para cada período se defie además ua amplitud.

3 Señal de TD de eergía fiita: Es uma señal de tiempo discreto que verifica que k 0 k Supogamos uma señal que varíe segú la ley coocida: k = a k {a k } = a 0, a, a,..., a k,... Esta puede ser ua señal de TD de eergía fiita 0 a k lim si a a a a La codició es que sea a < Señales especiales: Pulso y Escaló {ukt} = {,,,,,,,... } Escaló {δkt} = {, 0, 0, 0, 0, 0, 0,... } Impulso δ 0 Delta Kröecker o bie = { 0, 0, 0,...,, 0, 0, 0,...} Impulso δ Γ = δ k Γ Γ 3

4 SEÑALES CONTINUAS Y DISCRETAS Las señales está clasificadas de maera amplia, e señales cotiuas o aalógicas y señales discretas. Señales Cotiuas: Ua señal aalógica será deotada por a t e la cual la variable t puede represetar ua catidad física; e particular para osotros será el tiempo e segudos. Señales Discretas: Ua señal discreta será deotada por, e la cual la variable es u valor etero y represeta los istates discretos e el tiempo. E cosecuecia, es tambié llamada ua señal discreta e el tiempo. Represetació de las señales de tiempo discreto: E geeral represetamos las secuecias discretas e la forma: = {} = {..., -, 0,,... } La represetació computacioal requiere e geeral de ua secuecia fiita, co ua referecia de tiempo. = {} = {..., -, 0,,... } dode la flecha hacia arriba idica el muestreo e t=0. O bie: = {..., -, 0,,...} el valor etre parétesis idica el muestreo e t=0. E Matlab podemos represetar ua secuecia de duració fiita por u vector fila de valores apropiados. Si embargo, tal vector o tedrá la iformació acerca del muestreo e la posició. Por lo tato ua represetació correcta de requerirá dos vectores: uo para y otro para. Por ejemplo, ua secuecia: = {,, -, 0,, 4, 3, 7 }, ó = {,, -, 0,, 4, 3, 7 } puede ser represetada e Matlab por: = {-3, -, -, 0,,, 3, 4 } ; ={,, -, 0,, 4, 3, 7} E geeral usaremos la represetació del vector sólo cuado la iformació de la posició de muestreo o sea requerida, o cuado tal iformació sea trivial esto es cuado la secuecia comiece e =0. Ua secuecia de duració ifiita arbitraria o puede ser represetada e Matlab debido a las limitacioes de memoria fiita. Atributo de las señales de tiempo discreto Las señales de tiempo discreto so sucesioes de úmeros. Los sistemas de tiempo discreto trabaja sobre sucesioes de úmeros. Es decir: { k } = { 0,,,... k,... } 0 4

5 Tipos de secuecias: E Procesamieto Digital de Señales utilizamos varias secuecias elemetales para propósitos de aálisis. A cotiuació se da sus defiicioes y represetacioes e Matlab:. Secuecia Impulso uitario fució Kröeker, = 0 = = {... 0, 0,, 0, 0,... } 0, 0 E Matlab la fució zeros,n geera u vector fila de N ceros, el cual puede usarse para implemetar sobre u itervalo fiito. Para implemetar:, = 0-0 = = {... 0, 0,, 0, 0,... }, 0, 0 sobre el itervalo 0, usamos la fució de Matlab impseq. Secuecia Escaló uitario, 0 u = = {... 0, 0,,,,... } 0, 0 E Matlab la fució oes,n geera u vector fila de N uos, el cual puede usarse para implemetar u sobre u itervalo fiito. u Para implemetar, 0 u- 0 = = {... 0, 0,,,,... }, 0, 0 sobre el itervalo 0, utilizamos la fució de Matlab stepseq. 3. Secuecia epoecial valuada real = a ; a R E Matlab se requiere u operador arreglo.^ para implemetar ua secuecia epoecial real. Por ejemplo, para geerar: = 0.9, co 0 0, ecesitamos el siguiete script de Matlab: >> = [0 : 0]; = 0.9.^ 4. Secuecia epoecial valuada compleja u = e +jo ; dode es llamado ateuació, y o es al frecuecia e radiaes

6 E Matlab se usa ua fució ep para geerar secuecias epoeciales. Por ejemplo, para geerar: = ep [, j3 ], co 0 0, Necesitamos el siguiete script de Matlab: >> = [0:0]; = ep+3j*; 5. Secuecia siusoidal = cos o + ; dode es la fase e radiaes. E Matlab se usa la fució cos o si para geerar secuecias seoidales. Por ejemplo, para geerar = 3 cos0. +/3+ se0.5, co 0 0, ecesitamos u script de Matlab: >> = [0:0]; =3*cos0.*pi*+pi/3+*si0.5*p*; 6. Secuecia radom Muchas secuecias prácticas o puede ser descriptas por epresioes matemáticas como las ateriores. Este es el caso de las secuecias radom o estocásticas y está caracterizadas por parámetros de las fucioes desidad de probabilidad asociadas ó sus mometos estadísticos. E Matlab se dispoibles de dos tipos de secuecias pseudo-radom: La fució rad,n geera ua secuecia radom de logitud N cuyos elemetos está uiformemete distribuidos e el itervalo [0,] La fució rad,n geera ua secuecia radom gaussiaa de logitud N co media 0 y variaza. Otras secuecias radom puede ser geeradas usado trasformacioes de las fucioes ateriores. 6

7 GUIA DE FUNCIONES PARA TRABAJOS PRÁCTICOS CON Matlab Resume de alguas secuecias útiles y operacioes y su correspodiete fució e Matlab. Impulso uitario fució Kröeker Fució e Matlab, = 0 = = {... 0, 0,, 0, 0,... } impseq 0, 0 O, e geeral, = 0-0 = = {... 0, 0,, 0, 0,... } E u itervalo 0 0, 0 Lo que computacioalmete es más secillo represetar. Escaló uitario, 0 u = = {... 0, 0,,,,... } stepseq 0, 0 Y computacioalmete, 0 u- 0 = = {... 0, 0,,,,... } 0, 0 E u itervalo Epoecial real = a, ; a R 4. Epoecial compleja = e σ+jo, dode σ es el parámetro de ateuació y es la frecuecia e radiaes. 5. Siusoidal = cos o + θ, dode θ es la fase e radiaes. 6. Aleatoria E geeral o puede ser epresadas directamete por ua epresió matemática cerrada. Se describe por su fució desidad de probabilidades o mometos estadísticos. 7

8 Computacioalmete dos tipos de secuecias aleatorias so útiles: a de distribució uiforme y Gaussiaa. E geeral está caracterizadas por su media y variaza. 7. Periódica = + N el meor N que satisface la aterior se deomia período fudametal. Usaremos para deotar ua secuecia periódica. Ua secuecia de este tipo se ilustra e el ejemplo.. Operacioes sobre secuecias Fució e Matlab. Suma de señales sigadd { } + { }= { + } E particular, la úica restricció para sumarlas como vectores, es que tega igual logitud. Ver ejemplo.. Multiplicació de señales sigmult { }.{ }= {. } E particular, la úica restricció para el producto muestra a muestra, como vectores, es que tega igual logitud. Ver ejemplo. 3. Escalamieto {}= { } dode es u escalar 4. Desplazamieto sigshift y = { k} Haciedo m = k, etoces = m + k, de dode ym + k = { m} por lo que esta operació o produce igú efecto sobre el vector Ver ejemplo. 5. Reversió Holdig sigfold y = {- } Cada muestra es reflejada alrededor de = 0 8

9 9 6. Sumatoria de muestras... y 7. Producto de muestras... y 8. Señal eergía * dode el símbolo * deota el complejo cojugado 9. Señal potecia 0 N k N P