14. Técnicas de simulación mediante el método de Montecarlo

Transcripción

1 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Qué es la simulació? Proceso de simulació Simulació de evetos discretos Números aleatorios Aálisis estadístico del resultado Itegració co el método de Motecarlo Qué es la simulació? Simulació = técica que imita el comportamieto de u sistema del mudo real cuado evolucioa e el tiempo. Modelo de simulació = cojuto de hipótesis acerca del fucioamieto del sistema expresado como relacioes matemáticas y/o lógicas etre los elemetos del sistema. Proceso de simulació: ejecució del modelo a través del tiempo e u ordeador para geerar muestras represetativas del comportamieto del sistema. Es ua técica para estimar la bodad de u modelo. NO ES UNA TÉCNICA DE OPTIMIZACIÓN. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro

2 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Qué es la simulació? Se basa e u muestreo aleatorio: la salida de la simulació está sujeta a variacioes aleatorias y debe ser examiada utilizado pruebas de iferecia estadística. U sistema es ua colecció de elemetos que actúa e iteractúa para lograr algú fi lógico. El estado de u sistema es el cojuto de variables ecesarias para describir el estado del sistema e u mometo dado. Tipos de simulació U modelo de simulació estática (simulació de Mote Carlo) es ua represetació de u sistema e u istate de tiempo determiado. Ua simulació diámica es ua represetació de u sistema cuado evolucioa co el tiempo. U modelo de simulació determiista o cotiee variables aleatorias. U modelo de simulació estocástica cotiee ua o más variables aleatorias. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 2

3 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Tipos de simulació Modelos cotiuos: su comportamieto cambia cotiuamete co el tiempo. Se suele represetar mediate ecuacioes difereciales que describe las iteraccioes etre los elemetos del sistema Modelos discretos: su comportamieto cambia solo e istates cocretos de tiempo: evetos. Proceso de simulació Euciado explícito de los objetivos que se persigue: pregutas que se ha de cotestar, hipótesis que se quiere probar, posibilidades a cosiderar. Creació del modelo y reuió de datos Diseñar u programa de ordeador para el modelo Verificar el programa Validar el modelo Utilizar el modelo para experimetar y cotestar a las pregutas iiciales. Reuir, procesar y aalizar los datos geerados como solucioes del modelo y e térmios de validez y cofiabilidad estadística. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 3

4 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Elemetos de ua simulació Salidas: objetivos del estudio expresadas mediate valores uméricos. Etradas: valores uméricos que permite iiciar la simulació y obteer las salidas: Codicioes iiciales: valores que expresa el estado del sistema al pricipio de la simulació Datos determiísticos: valores coocidos ecesarios para realizar los cálculos que produce las salidas Datos probabilísticos: catidades cuyos valores so iciertos pero ecesarios para obteer las salidas de la simulació. Los valores específicos de estos datos debe coocerse a través de ua distribució de probabilidad. Simulació de evetos discretos Todas las simulacioes de evetos discretos describe situacioes de colas. Cualquier modelo de evetos discretos está formado por ua red de colas iterrelacioadas. Los dos pricipales evetos so la llegada y la salida. Si el itervalo de tiempo etre dos evetos cosecutivos es probabilístico surge la aleatoriedad. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 4

5 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Números aleatorios Métodos para geerar ua muestra aleatoria a partir de ua distribució de probabilidad f(t) a partir de úmeros aleatorios uiformemete distribuidos e (0,) Método de la iversa: si f es la fució de desidad de la distribució se determia F(x)=P[y x] que es ua fució creciete co valores e [0,]. Si R es u valor aleatorio obteido de la distribució uiforme e (0,), x=f - ( R ) es el valor deseado. Método de covolució: la idea fudametal es expresar la muestra deseada como la suma estadística de otras variables aleatorias fáciles de muestrear Método de aceptació-rechazo: se reemplaza la fució de desidad f difícil de tratar aalíticamete por ua aproximació más simple h. Números aleatorios Método de aceptació-rechazo: se reemplaza la fució de desidad f difícil de tratar aalíticamete por ua aproximació más simple h. Fució mayorate: g tal que f(x) g(x) para todo x Fució aproximada: h tal que g ( x ) h( x) = g ( y ) dy El método cosiste: Obteer ua muestra x=x a partir de h co el método de la iversa o de la covolució Obteer u úmero aleatorio R e (0,) ( ) f x Si R g ( x se acepta x como muestra de f, si o, se rechaza x ) y se vuelve al paso. La eficiecia del método depede de lo bie que se ajuste g a f mietras se cosigue h aalíticamete maejables. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 5

6 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Geeració de úmeros aleatorios Para geerar úmeros aleatorios e u ordeador para su uso e simulació se utiliza operacioes aritméticas: úmeros pseudoaleatorios. Método de la cogruecia multiplicativa: dados los parámetros u 0 (semilla), b, c y m u úmero pseudoaleatorio R se geera: u ( bu + c) mod( m), = u R =, m =,2, K =,2, K Ua selecció adecuada de u 0, b, c y m puede hacer que los úmeros pseudoaleatorios cumpla co las propiedades estadísticas de los úmeros aleatorios Aálisis estadístico del resultado Ua sola simulació proporcioa sólo u valor de etre muchos posibles del resultado, que puede ser distito e cada simulació. Cuátas simulacioes so ecesarias para lograr u ivel deseado de cofiaza e el resultado? Si el resultado es la media de los valores de salida Si el resultado es ua proporció o probabilidad Las técicas de iferecia estadística proporcioa respuesta a estas pregutas. Estas técicas tambié se debe teer e cueta a la hora de reuir los datos que sirve como etradas. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 6

7 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Aálisis estadístico del resultado La cofiaza e el resultado se expresa como la probabilidad de que el valor real esté e u itervalo cetrado e el valor estimado (itervalo de cofiaza). La determiació de los itervalos de cofiaza e simulació es complicado porque: Las salidas o suele ser idepedietes. Las codicioes iiciales puede ifluir e los resultados. Aálisis estadístico del resultado Creació de u itervalo de cofiaza para la media verdadera de u resultado de salida. P x e µ x + e = [ ] α Elegido u valor de α el itervalo de cofiaza asociado es s x ± t( ), α / 2 * x dode = tamaño de la muestra, = media de la muestra, s = desviació estádar de la muestra, t (-), α/2 = valor de la distribució t co - grados de libertad de modo que P(T t (-), α/2 ) = α/2 Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 7

8 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Aálisis estadístico del resultado Creació de u itervalo de cofiaza para ua proporció P [ p e P p + e] = α Elegido u valor de α el itervalo de cofiaza asociado es p ± z α / 2 * ( ) p p dode = tamaño de la muestra, p= proporció de la muestra, z α/2 = valor de la distribució ormal estádar de modo que P(Z z α/2 ) = α/2 Itegració co el método de Motecarlo Para calcular El valor medio de f(x) e [a,b] es Se puede calcular a partir de ua muestra aleatoria de putos x,x2,...,x e [a,b] Eˆ ( f ) = f ( x ) i El valor aproximado para la itegral es b a I f ( x) dx = b a i= E( f ) = I b a b a f ( x) dx + [ f ( x ) + K f ( x )] Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 8

9 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Itegració co el método de Motecarlo Ley de los grades úmeros: Sea x,x 2,...,x variables aleatorias co fució de desidad µ(x) µ ( x) dx = Supogamos que existe I = f ( x) µ ( x) dx Etoces dado ε>0 se verifica lim P[ I ε f ( x ) + K+ f ( x ) I + ε] = Ley fuerte de los grades úmeros P lim f ( x ) + K + f ( x ) = I = [ ] [ ] Itegració co el método de Motecarlo Teorema Cetral del Límite: Sea I = f ( x) µ ( x) dx la media de f y σ su variaza. Etoces P i= λσ λ 2 x / f ( xi ) I = π e 2 2 λ E la práctica σ se aproxima por 2 Vs = f xi f i= i= ( ) ( ) 2 x 2 ( ( x) I ) = f µ ( x) dx dx + O i 2 Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 9

10 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Itegració co el método de Motecarlo Los teoremas ateriores sólo so válidos para muestras aleatorias. E la práctica las muestras que se obtiee so pseudoaleatorias. Los úmeros pseudoaleatorios está determiados de forma cíclica. Para que el tratamieto estadístico de los resultados sea válido, es ecesario que los úmeros pseudoaleatorios forme parte de ciclos suficietemete grades. Carme M. García López Fracisco R. Villatoro 0