Técnicas experimentales de Física General 1/11

Transcripción

1 La distribució de Itroducció. Ejemplo. Defiició geeral de. Grados de libertad. reducido. La distribució de. Probabilidades de. Ejemplos: 1. Distribució de Poisso.. Bodad de u ajuste. Técicas eperimetales de Física Geeral 1/11

2 Itroducció Dado u cojuto de medidas cabe platearse: So compatibles co la distribució límite esperada? So compatibles los datos co la fució teórica a la que se ajusta? Cómo decidir si uestras medidas so cosistetes co lo que esperamos? Ejemplo Test de Sea las siguietes medidas del alcace de u proyectil: Co valor medio y desviació típica dadas por: ( ) i i = = σ = = 46.8 N N 1 Viee goberadas por ua distribució gaussiaa co media X = y desviació típica σ = σ? G ( ) = G ( ) X, σ, σ Técicas eperimetales de Física Geeral /11

3 Comparació etre: El resultado observado realmete: Número de bi Valores de e el bi Observacioes O 1 < X σ ( < 683.3) 8 X σ < < X (683.3 < < 730.1) 10 3 X < < X + σ (730.1< < 776.9) 16 4 X + σ < (776.9 < ) 6 co el resultado esperado si la hipótesis es correcta: Probabilidad Prob Sucesos esperados E % % % % Número de bi Sucesos observados O Coclusió: Si las diferecias E -O so pequeñas, la hipótesis debe ser correcta. Si las diferecias E -O so grades, la hipótesis debe ser falsa. Si embargo: Hasta qué puto puede ser grades las diferecias E -O? Técicas eperimetales de Física Geeral 3/11

4 Las diferecias E -O ha de ser del tamaño de las fluctuacioes de E,, e esta caso: E O E Para evitar cacelacioes elevamos al cuadrado y sumamos para todos los bies 1,..., ( 4) = = : = = 1 ( E O ) E E geeral: Si ( meor o similar a ) Si ( mucho mayor que ) Los valores esperados y observados cocuerda. Hipótesis compatible. >> Los valores observados o cocuerda co los esperados. Hipótesis falsa. Ejemplo: = 1 ( E O ) 4 = = E ( 1.6) ( 3.6) (.4) ( 1.6) = = Resultado compatible co la hipótesis Técicas eperimetales de Física Geeral 4/11

5 Defiició geeral de Estimació del acuerdo etre lo observado y lo esperado: Valor observado - Valor esperado = 1 Desviació estádar Si el acuerdo es bueo es del orde de. Si el acuerdo es malo es mucho mayor que. Distribucioes límites.- Comparamos valores observados O co valores esperados E cuyas desviacioes típicas so E : = = 1 ( E O ) E Ajuste de fucioes.- Comparamos i valores medidos y i co i valores esperados f ( i ) cuyas desviacioes típicas so σ i : yi f( i) = i= 1 σ i Técicas eperimetales de Física Geeral 5/11

6 Grados de libertad. reducido. Lo correcto o es comparar co, sio co el úmero de grados de libertad ν : Grados de libertad (ν).- Se defie como el úmero de datos observados, meos el úmero de parámetros calculados a partir de los datos (ligaduras) y utilizados e los cálculos. Ejemplos: ν = l a) Test de para distribucioes gaussiaas: Ligaduras: ( ) i i N = O ; = ; σ = ; ( l = 3 ) N N 1 Grados de libertad ν = 3 b) Test de para el ajuste a ua recta (y=a+b): Ligaduras: ab, ( l= ) Grados de libertad ν = Técicas eperimetales de Física Geeral 6/11

7 Grados de libertad. reducido. El valor que esperamos al realizar el test de será: (Valor esperado e promedio de ) = ν Se defie etoces el chi-cuadrado reducido como, el valor del chi-cuadrado dividido por los grados de libertad: = ν cuyo valor esperado será etoces: (Valor esperado e promedio de ) = 1 Ejemplo (test de distribució gaussiaa): Chi-cuadrado = 1.80 Ligaduras l = 3 Grados de libertad ν = l = 4 3= 1 Chi-cuadrado reducido = ν = 1.80 Cuá diferete de 1 ha de ser para que podamos desechar la hipótesis de que es ua gaussiaa? Técicas eperimetales de Física Geeral 7/11

8 La distribució de Supogamos que teemos variables aleatorias y1, y,..., y cuyas distribucioes so gaussiaas co medias µ 1, µ,..., µ y co desviacioes típicas σ1, σ,..., σ. Si calculamos etoces: y i µ i = i= 1 σi Cuál es la probabilidad de obteer u valor etre y d +? La fució desidad de probabilidad de o la distribució de viee dada por: p ν ( ) = e ( ) ν 1 ( ν ) ν Γ Técicas eperimetales de Física Geeral 8/11

9 Probabilidades de Cuál es la probabilidad de obteer u valor de ο o mayor? o ( ) o = ν P( ) p d Método Geeral Realizar ua serie de medidas. Calcular el valor de ο. Calcular el valor de chi-cuadrado reducido o. Calcular la probabilidad de obteer u valor de mayor: Pr ob( o ) igual o Si el valor obteido es alto o hay razó para desechar la hipótesis. Si el valor obteido es muy bajo, desechar la hipótesis. E geeral: Prob( ) < 5% o Prob( ) < 1% o Hay u desacuerdo sigificativo Hay u desacuerdo muy sigificativo Técicas eperimetales de Física Geeral 9/11

10 Ejemplo 1: Distribució de Poisso Realizamos 100 medidas de 1 miuto cada ua, del úmero de rayos cósmicos que llega a u cotador Geiger. Cuetas e 1 miuto Sucesos Número de bi Sucesos Observados O Sucesos Esperados E Nigua Ua Dos Tres Cuatro Cico 8 Seis 1 Siete Ocho o más 0 Total Co valor medio = =.59 N Viee goberadas por ua distribució de Poisso co media Chi-cuadrado = 1.39 Ligaduras l = Grados de libertad ν = l = 6 = 4 Chi-cuadrado reducido = ν = = 0.35 i µ =? Prob( 0.35) 85% No hay razó para pesar que la distribució o es de Poisso Técicas eperimetales de Física Geeral 10/11

11 Ejemplo : Bodad de u ajuste i y i σ i ,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 Resultado y = (.88 ± 0.18) + (.6 ± 0.4) Se trata de u bue ajuste? La hipótesis lieal es correcta? 6 6 yi f( i) yi ai b = = = 17.6 i= 1 σi i= 1 σi Chi-cuadrado = 17.6 Grados de libertad ν = l = 6 = 4 Chi-cuadrado reducido = ν = = 4.4 Pr ob( 4.4) 0.14% La hipótesis lieal o es correcta Técicas eperimetales de Física Geeral 11/11