Estadístico. Parámetro

Transcripción

1 La iferecia estadística comprede el establecer ciertos juicios co respecto a algo después de examiar solamete ua parte o muestra de ello. Así, se ofrece ua muestra gratis de u uevo producto alimeticio e u supermercado; se prueba u pedazo de pastel para saber si ya está frío; y u cociero prueba la sopa para ver si ecesita u poco más de sazó. E forma semejate, cuado se hojea u uevo libro o revista, se mide u traje, sale co ua persoa por primera vez o ve u programa de televisió durate uos cuatos miutos ates de decidirse a cambiar de caal, e realidad está muestreado. El muestreo estadístico es semejate a cada uo de los ejemplos ateriores, auque sus métodos so más formales y precisos, geeralmete icluye ua proporció de probabilidad. La probabilidad y el muestreo está estrechamete relacioados, y jutos costituye la base de la teoría de la iferecia. E este tema se examia los coceptos básicos que comprede el muestreo. Se explora las razoes para el muestreo y plaes de muestreo alterativos. Se cocede particular ateció al muestreo aleatorio, debido a su importacia e el aálisis. Estadístico E estadístico es ua medida usada para describir algua característica de ua muestra, tal como ua media aritmética, ua mediaa o ua desviació estádar de ua muestra Parámetro U parámetro es ua medida usada para describir, algua característica de ua població, tal como ua media aritmética, ua mediaa o ua desviació estádar de ua població Error estádar La desviació estádar de ua distribució, e el muestreo de u estadístico, es frecuetemete llamado error estádar del estadístico. Por ejemplo, la desviació estádar de las medidas de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de ua població, es llamada error estádar de la media. De la misma maera, la desviació estádar de las proporcioes de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de ua població, es llamada el error estádar de la població. La diferecia etre los térmios ^desviació estádar^ y ^error estádar^ es que la primera se refiere a los valores origiales, mietras que la última está relacioada co valores calculados. U estadístico es u valor calculado, obteido co los elemetos icluidos e ua muestra. Error muestral o error de muestreo La diferecia etre el resultado obteido de ua muestra (u estadístico) y el resultado el cual deberíamos haber obteido de la població (el parámetro correspodiete) se llama el error muestral o error de muestreo. U error de muestreo usualmete ocurre cuado o se lleva a cabo la ecuesta completa de la població, sio que se toma ua muestra para estimar las características de la població. El error muestral es medido por el error estádar del estadístico, e térmios de probabilidad, bajo la curva ormal. El resultado de la medida idica la precisió de la estimació de la població basada e el estudio de la muestra. Mietras más pequeño el error muestral, mayor es la precisió de la estimació. _

2 Ua muestra debe ser represetativa si va a ser usada para estimar las características de la població. Los métodos para seleccioar ua muestra represetativa so umerosos, depediedo del tiempo, diero y habilidad dispoible para tomar ua muestra y la aturaleza de los elemetos idividuales de la població por lo tato, se requiere u gra volume para icluir todos los tipos de métodos de muestreo. Muestreo simple. Este tipo de muestreo toma solamete ua muestra de ua població dada para el propósito de iferecia estadística. Puesto que solamete ua muestra es tomada. El tamaño de la muestra debe ser lo suficietemete grade para extraer ua coclusió. Ua muestra grade muchas veces cuesta demasiado diero y tiempo. Muestreo doble Bajo este tipo de muestreo, cuado el resultado del estudio de la primera muestra o es decisivo, ua seguda muestra es extraída de la misma població. Las dos muestras so combiadas para aalizar los resultados. Este método permite a ua persoa pricipiar co ua muestra relativamete pequeña para ahorrar costos y tiempo. Si la primera muestra arroja u resultado defiitivo, la seguda muestra o puede ecesitarse. Muestreo múltiple El procedimieto bajo este método es similar al expuesto e el muestreo doble, excepto que el úmero de muestras sucesivas requerido para llevar a ua decisió es más de dos muestras Los elemetos de ua muestra puede ser seleccioados de dos maeras diferetes: basados e el juicio de ua persoa y selecció aleatoria. Los métodos de muestras, clasificados de acuerdo co dos maeras diferetes: Muestreo de juicio Ua muestra es llamada muestra de juicio cuado sus elemetos so seleccioados mediate juicio persoal. La persoa que seleccioa los elemetos de la muestra, usualmete experto e la materia dada. Ua muestra de juicio es llamada ua muestra o probabilística, puesto que este método está basado e los putos de vista subjetivos de ua persoa y la teoría de la probabilidad o puede ser empleada para medir el error de muestreo. Las pricipales vetajas de ua muestra de juicio so la facilidad de obteerla y el costo es usualmete bajo.

3 3 Muestreo aleatorio. Ua muestra se dice que es extraída al azar cuado la maera de selecció, es tal que cada elemeto de la població tiee igual oportuidad de ser seleccioado. Ua muestra aleatoria es tambié llamada muestra probabilística. Puesto que cada elemeto tiee ua probabilidad coocida. Las muestras probabilísticas so geeralmete preferidas por los estadísticos porque la selecció de la muestra es objetiva y el error muestral puede ser medido e térmios de la probabilidad bajo la curva ormal. Muestreo aleatorio simple Ua muestra aleatoria simple es seleccioada de tal maera que cada muestra posible del mismo tamaño tiee igual probabilidad de ser seleccioada de la població. Para teer ua muestra aleatoria simple, cada elemeto e la població probabilidad de ser seleccioado. debe teer igual Muestreo sistemático Ua muestra sistemática es obteida cuado los elemetos so seleccioados e ua maera ordeada. La maera de selecció depede del úmero de elemetos icluidos e la població y el tamaño de la muestra. El úmero de elemetos de la població es, primero, dividido por el úmero deseado e la muestra. El cociete idicará si cada décimo, cada oceavo, o cada cetésimo elemeto de la població va a ser seleccioado. Primero el elemeto de la muestra es seleccioado al azar. Por lo tato, ua muestra sistemática puede dar la misma precisió de estimació acerca de la població, que ua muestra aleatoria simple cuado los elemetos e la població está ordeados al azar. Muestreo estratificado Para obteer ua muestra aleatoria estratificada, primero se divide la població e grupos, llamados estratos, que so más homogéeos que la població como u todo. Los elemetos de la muestra so etoces seleccioados al azar o por u método sistemático de cada estrato. Las estimacioes de la població, basadas e la muestra estratificada, usualmete tiee mayor precisió (o meor error muestral) que si la població etera fuera muestreada mediate muestreo aleatorio simple. Muestreo de coglomerados. Para obteer ua muestra de coglomerados, primero dividir la població e grupos que so coveietes para el muestreo. Eseguida, seleccioar ua porció de los grupos al azar o por u método sistemático, fialmete toma todos los elemetos o parte de ellos al azar o por u método sistemático de los grupos seleccioados para obteer ua muestra. Bajo este método, auque o todos los grupos so muestreados, cada grupo tiee ua probabilidad de ser seleccioado. Ua muestra de coglomerados, usualmete produce u mayor error muestral ( por lo tato, da meor precisió de las estimacioes acerca de la població)...

4 4 LA ESTIMACION es el proceso de utilizar datos muéstrales para estimar los valores de parámetros descoocidos de ua població. Esecialmete, cualquier característica de la població se puede estimar a partir de ua muestra al azar, etre los valores más comues está la media y la desviació estádar de ua població y la proporció de la misma. La estimació se emplea de iumerables maeras. Por ejemplo, los políticos geeralmete iteta estimar la proporció de los votates que cocuerda co sus putos de vista ecoómicos o sociales. Las fábricas a meudo debe calcular el porcetaje de productos defectuosos de u lote de artículos o productos. Las características de desempeño de u producto se debe establecer tomado e cosideració aspectos tales como la resistecia promedio, el peso o el tiempo de vida. Las grades tiedas de departametos debe predecir la demada de diversos artículos. Así, la estimació comprede: la valuació de ivetarios, la estimació de costos de proyectos, la evaluació de uevas fuetes eergéticas, la predicció del desempeño e el trabajo y la elaboració de estimacioes razoables de tiempos de determiació de tareas asigadas. Ua estimació de u parámetro puede ser expresada de dos maeras: ua estimació de puto y ua estimació de itervalo. Ua estimació de puto es el úmero úico que es usado para represetar la estimació del parámetro. Ua estimació de itervalo es u recorrido establecido detro del cual podemos esperar que éste el parámetro. Itervalos, límites y coeficietes de cofiaza. Cuado ua distribució e el muestreo de la media (o la proporció ) es ormal, la probabilidad de que las medias muéstrales (o proporcioes) esté detro de la máxima ordeada (Y o) y la ordeada e Z, puede ser obteida. La probabilidad de que las medidas muéstrales esté detro de u recorrido. de + 1 x a -1 x es %, dode z = 1 El área bajo la curva ormal etre Yo y z es = ± 1 es = o 68.68% Estimador isesgado. U estadístico que es usado para estimar u parámetro se llama u estimador, tal como ua media muestral cuado es usada para estimar la media de la població. U estimador es isesgado cuado el valor esperado del estadístico es igual al valor del parámetro. El valor esperado del estadístico ( o expresado simbólicamete, E [del estadístico] =) es la distribució. Puesto que la media de la distribució e el muestreo de la media (o la media de las medias de todas las muestras posibles del mismo tamaño extraídas de la misma població, o el valor esperado de la media muestral) es igual a la media de la població, ua media muestral es u estimador isesgado o dicho de otra maera. X es ua estimació isesgada de, puesto que E(X) = De la misma maera, puesto que la media de la distribució e el muestreo de la proporció de la població, ua proporció muestral es u estimador isesgado, o p es ua estimació isesgada de P, puesto que E(p) = P Si embargo, la media de la distribució e el muestreo de la variaza (s²) o es igual a la variaza de la població (²), o s² es ua estimació isesgada de ² puesto que E (s²) = ². El valor de la variaza s² o ², se calcula dividiedo la suma del cuadrado de las desviacioes co respecto a la media x² por (tamaño de la muestra) o por N (tamaño de la població); es decir,

5 5 s X X x N x x N ( ) ( ) y Por otra parte, si la suma del cuadrado de las divisioes co respecto a la media x² es dividida por ( - 1 ) para la muestra, deotada por s², o por ( N - 1 ) para la població, deotada por ², la media de la distribució e el muestreo de la variaza modificada s² es igual a la variaza modificada de la població ², o s² es ua estimació isesgada de ², puesto que E(s²) = ² S X X X N x x N ( ) ( ) y

6 6 El úmero de variables que puede variar libremete e u cojuto de variables bajo ciertas codicioes, es frecuetemete referido como el úmero de grados de libertad. supogamos que teemos u cojuto de 3 variables A, B, C, y la suma de las variables es 10, o: A + B + C = 10 Si etoces u valor para A y u valor para B, tales como A = 1 y B = 3, etoces el valor de la tercera variable es automáticamete determiado, puesto que: C = 10, C = 10-4 = 6 Por lo tato el úmero de la variable que puede variar libremete e el cojuto es. Decimos etoces que hay ( o 3-1) grados de libertad cuado la suma de las tres variables. Similarmete, si teemos variables y la suma de las variables es u valor fijo ( o ua costate ), decimos que el úmero de grados de libertad es - 1. El térmio grados de libertad es frecuetemete usado e trabajo estadístico coceriete a la ifluecia. Por ejemplo, al ecotrar ua variaza muestral isesgada, uo debe dividir la suma del cuadrado de las desviacioes x² por el tamaño de la muestra meos 1, o ( - 1). La catidad ( - 1) es tambié referida como los grados de libertad.

7 7 La desviació estádar es ua distribució, e el muestreo de u estadístico, es frecuetemete llamado el error estádar del estadístico. La diferecia etre los térmios " desviació estádar "y " error estádar ". La relació etre el tamaño de la muestra y el error estádar. x p PQ Supoga que el promedio mesual de igreso de 10,000 trabajadores de la repartidora de refrescos es de $500, la desviació estádar es de $100, Cuál es la probabilidad de seleccioar ua muestra aleatoria simple de 400 trabajadores que tega de $510 o más por mes? Este ejercicio es u error estádar de la media de la població fiita N = 10,000 = 500 = 100 = 400 x = 510 Supogamos que el 40 % de los 5,000 estudiates de la Facultad de Comercio so mujeres. Cuál es la probabilidad de seleccioar ua muestra aleatoria simple de 150 estudiates e la cuál el úmero de mujeres sea 35% o meos ( - ) N = 5,000 P = 40% = 0.4 Q = 60% = 0.6 = 150 Pº = 35% = 0.35

8 8 Ua maquia para cubrir cerezas co chocolate se ajusta de maera que el espesor promedio del recubrimieto sea de 3mm., el proceso esta ormalmete distribuido co ua desviació estádar de 1mm.. Si el proceso fucioa como se espera (es decir co ua media de 3mm y ua desviació estádar de 1mm.) Cuál es la probabilidad de obteer ua muestra de 5 cerezas cubiertas co chocolate de u total de 160? ecotrar u promedio muestral de más de 3.4mm. U proceso para llear botellas de soda, preseta ua producció e la que el 10% de las botellas o está completamete lleas si mediate este proceso se seleccioa al azar ua muestra de 5 botellas de u lote de 65 evases lleos, Cuál es la probabilidad de que la proporció muestral de botellas parcialmete lleas se ecuetre e el itervalo que va de 9 al 11%?

9 9 Es el proceso de utilizar datos muéstrales para estimar los valores de parámetros descoocidos de ua població: TIPOS DE ESTIMADOS: Estimado putual.- Es el úmero úico que es usado para estimar u parámetro descoocido de la població. Estimació de itervalo.- Estimació que icluye u itervalo de valores posibles e el que se cosidera que esta compredido u parámetro de la població. El valor verdadero recibe el ombre de Itervalo de cofiaza. y la cofiaza es igual a 1 - P (error) U itervalo de cofiaza proporcioa u itervalo de valores cetrado e el valor estadístico de la muestra, e el cual supuestamete se ubica el parámetro de la població, co u riego de error coocido. El itervalo de cofiaza preseta la forma x ± Z x Estimació de la media de la població. Estimació de u puto de : x Estimació de itervalo de : x ± Z x x Ecotrar u itervalo de cofiaza para x cuado se tiee x como dato: tamaño de la muestra = 36 x = 3 x = 4. Cofiaza Z fórmula cálculos e itervalo deseada 90% ± a % ± a % ± a Observe que > 30 o tiee setido la preguta de si la població es ó o ormal.

10 10 Estimació de la media cuado o se cooce x : la distribució Para utilizar la tabla de valores t se debe coocer dos cosas: El ivel de cofiaza deseado y los grados de libertad Los grados de libertad se cooce co la formula: gx ( x x) 1 gx = desviació estádar de la muestra -1 = grados de libertad Valores de t para ua cofiaza de 95% ( 0.05 e cada cola ) tamaño de la grados de valor t muestra libertad El itervalo de cofiaza para ua media muestral cuado se usa gx es muy semejate al itervalo co x de este modo el itervalo es: valor de la muestra x t gx gx desviació estádar de la muestra població o tamaño de la muestra Itervalo de cofiaza utilizado valores t Valor de la muestra 0 Desviació estádar de la media 1.5 tamaño de la muestra 5 (los grados de libertad so - 1 = 4) Cofiaza t fórmula cálculos itervalo deseada 90% ± % ± % ±

11 11 Cuado la població es fiita y el tamaño de la muestra costituye más del 5% de la població se debe usar el factor fiito de correcció para modificar las desviacioes estádar de las formulas. Itervalo de cofiaza error x N x N co x coocida x z z N 1 1 co o x coocida x x t N x N t N 1 1 Determiar u itervalo de cofiaza del 95% para los dos siguietes casos: a).- x = 15.0 x =.0 = 100 N 1,000 b).- x = 15.0 gx =.0 = 16 N = 00

12 1 co x coocida co x o coocida Solamete límite superior x + z x x + t x Solamete límite iferior x - z xx -x Ua muestra al azar de 100 observacioes tiee ua media de 30.0 y ua desviació estádar de 5 a).- Obtega u valor co el cuál usted tega 95% de cofiaza de que o excederá la media de la població? b).- Cuál es la probabilidad (riesgo) de que > 31.0? A partir de ua muestra de 00 observacioes, se ecotró que e ua remesa, había 0 acumuladores defectuosos, utilizado u itervalo de cofiaza del 99% calcule el error estimado J A N ESTADISTICA