MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tedecia cetral so los valore que se ubica e el cetro de u cojuto de datos estos puede estar ordeados o o. Geeralmete se utiliza cuatro de estos valores coocidos como estadígrafos, la media aritmética, la mediaa, la moda y al rago medio. Las medidas de tedecia cetral tiee como propósito: Mostrar e qué lugar se ubica los elemetos típicos del cojuto de datos. Sirve como u método para comparar o iterpretar cualquier putaje e relació co el putaje cetral. Sirve como u método para comparar o iterpretar varios valores de u mismo elemeto e mometos diferetes. La Media Aritmética El promedio aritmético de u cojuto de medicioes es ua medida de cetro muy comú y útil. Es frecuete que esta medida se coozca como media aritmética o simplemete media, de u cojuto de medicioes. Para distiguir etre la media para la muestra y la media para la població, usamos el símbolo x (x barra) para ua media muestral y el símbolo m para la media de ua població. Defiició: La media aritmética o promedio de u cojuto de observacioes es igual a la suma de todas las observacioes dividida etre. Matemáticamete usamos esta otació abreviada: x = i=1 x i Si es el caso de los datos agrupados se expresa como: x = i=1 x i f i

2 Dode, x i : marca de clase de cada itervalo. f i : frecuecia absoluta i. Propiedades de la Media 1. La suma de las desviacioes de todos los datos co respecto a la media debe ser cero. i=1 (x i x ) = 0 2. Si todos los valores so iguales a ua costate k, etoces la media será igual a esa costate 3. Si los datos de la muestra se multiplica por ua misma costate el promedio resulta multiplicado por la misma costate. Y i = a x i Y = a X La Media Poderada La media poderada permite calcular u promedio que toma e cueta la importacia de cada valor respecto al total. Dode x w: símbolo de la media poderada w i : peso asigado por cada observació x i : cada observació x w = (w i x i ) w i Ejemplo: Si la asigatura A tiee u valor de 2 créditos y la asigatura B tiee u valor de 3 créditos. Etoces, para u estudiate que haya obteido ua calificació de 4 e la asigatura A y de 5 e la asigatura B, la ota promedio del semestre está es? x w = = 4.6 Media Geométrica La media geométrica (MG), de u cojuto de úmeros positivos se defie como la raiz -esima del producto de los úmeros. Por tato, la fórmula para la media geométrica es dada por

3 MG = x i Existe dos usos pricipales de la media geométrica: 1. Para promediar porcetajes, idices y cifras relativas. 2. Para determiar el icremeto porcetual promedio e vetas, producció u otras actividades o series ecoómicas de u periodo a otro. Ejemplo: Supogase que las utilidades obteidas por ua compañía de mercados e cuatro proyectos fuero de 3, 2, 4 y 6%, respectivamete. Cúal es la media geométrica de las gaacias?. E este ejemplo y asi la media geométrica es determiada por i=1 4 MG = y así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%. = La media aritmética de los valores ateriores es 3.75%. Auque el valor 6% o es muy grade, hace que la media aritmética se iclie hacia valores elevados. La media geométrica o se ve ta afectada por valores extremos. Ejercicio: Supoga que e el año 2000 los empleados de ua empresa idustria tiee salario promedio de $ y para el año 2001 se les hizo u aumeto de 15 %. Además se les da ua boificació mesual de $ por aiversario de la empresa. Cúal es el salario promedio del año 2001?. La Mediaa Ua seguda medida de tedecia cetral es la mediaa, que es el valor de la posició media e el cojuto de medicioes ordeada de meor a mayor. Es u idicador estadístico que divide al cojuto de datos e dos partes iguales. Es el valor que separa por la mitad las observacioes ordeadas de meor a mayor, de tal forma que el 50% de estas so meores que la mediaa y el otro 50% so mayores. Si el úmero de datos es impar la mediaa será el valor cetral, si es par tomaremos como mediaa la media aritmética de los dos valores cetrales. La mediaa tiee las siguietes vetajas: La mediaa se usa cuado los datos o so homogéeos, es decir la variable X tiee valores extremos.

4 Los límites de itervalos o está defiidos. La amplitud de itervalos so diferetes. Defiició: La mediaa de u cojuto de medicioes es el valor de x que cae e la posició media cuado las medicioes so ordeadas de meor a mayor. Se deota como Me y matemáticamete se expresa como: Datos o agrupados Impar (aquí hablamos de posicioes) Me = x ( +1 2 ) Par M e = x ( +1 2 ) + x ( 2 ) 2 Datos agrupados Me = L i 1 + 0,50 H i 1 h i C i Dode, La Moda L i 1 : Limite iferior del itervalo que cotiee el 50% de los datos acumulados. H i 1 : Frecuecia relativa acumulada aterior al itervalo que cotiee el 50% de los datos acumulados. h i : Frecuecia relativa del itervalo que cotiee el 50% de los datos acumulados. C i : Amplitud del itervalo que cotiee el 50% de los datos acumulados. Es el valor que más se repite e u cojuto de datos.

5 Para los datos o agrupados, es el x i co mayor i. La moda se usa co más frecuecia e: Datos cualitativos Cuado de solicita el dato que más se repite Para datos agrupados se expresa matemáticamete como: Mo = L i 1 f i f i 1 C i C i 1 2 f i C f i+1 i C f C i i 1 i+1 C i 1 Ejercicios 1. Las siguietes so las edades e años de los automóviles e los que trabajo ua persoa la semaa pasada: