Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Transcripción

1 Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El resultado es previsible, salvo quizás errores de medida. A estos feómeos se les deomia feómeos determiistas. Frete a estos feómeos existe otros muchos que o sigue e su realizació uas leyes determiadas. U feómeo o experimeto se dice aleatorio si puede dar lugar a diversos resultados, si que se pueda auciar co certeza cuál de éstos va a ser observado e la realizació del experimeto. Al describir u experimeto aleatorio es esecial especificar qué aspecto del resultado os iteresa observar. Dado u experimeto aleatorio, el cojuto cuyos elemetos so los posibles resultados diferetes del mismo, recibe el ombre de espacio muestral asociado al experimeto aleatorio. Lo deotaremos por Ω. Así, e el caso del lazamieto de u dado se toma como espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Atediedo al úmero posible de resultados de u experimeto aleatorio u espacio muestral puede ser fiito, ifiito umerable o ifiito o umerable. Se puede defiir suceso de u experimeto aleatorio como u subcojuto de elemetos del espacio muestral. Por ejemplo, e el lazamieto de u dado, u suceso podría ser salir u úmero par que sería el subcojuto {2, 4, 6} del espacio muestral correspodiete. Dado que u suceso o es más que u subcojuto del espacio muestral, se puede defiir de la forma clásica e teoría de cojutos los coceptos de uió e itersecció de sucesos, suceso complemetario a uo dado, diferecia de sucesos (itersecció de u suceso co el complemetario de otro), así como suceso imposible (cojuto vacío), suceso seguro (el espacio muestral completo). Se puede demostrar que la clase formada por los sucesos de u experimeto aleatorio tiee estructura de álgebra de Boole, ya que cotiee al espacio muestral y es estable para las operacioes uió y complemetació de sucesos. Por este motivo, se la deomia álgebra de sucesos y se deota por Q. Se defie la frecuecia absoluta de u suceso A como el úmero de veces que ocurre dicho suceso e ua serie de repeticioes similares del experimeto aleatorio. Se la represeta por A. La frecuecia absoluta dividida por el úmero de veces que se realiza el experimeto es la frecuecia relativa, f A. Obsérvese que para todo suceso A, se tiee 0 f A 1. Como el suceso seguro ocurre siempre, su frecuecia relativa es igual a 1 y la frecuecia relativa del suceso imposible, como uca ocurre, es igual a 0. Asimismo, dados dos sucesos icompatibles (su itersecció es el suceso imposible) como o puede ocurrir simultáeamete, la frecuecia relativa de su uió es la suma de las frecuecias relativas de cada uo de ellos. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD A cotiuació, se va a defiir sobre el álgebra de sucesos asociada a u experimeto aleatorio, ua fució que proporcioe ua medida de la certeza o icertidumbre e la ocurrecia de los sucesos. Esta medida es la probabilidad cuya motivació se puede coisiderar como ua abstracció de la frecuecia relativa del mismo e ua serie larga de realizacioes del experimeto. Se suele decir que la probabilidad de u suceso A es el límite de la frecuecia relativa del suceso cuado el umero de veces que se repite el experimeto aleatorio tiede a ifiito. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 1

2 Dado u experimeto aleatorio, co espacio muestral Ω y álgebra de sucesos Q, se defie la probabilidad como ua aplicació del álgebra de sucesos Q e los úmeros reales IR que satisface los tres axiomas siguietes: 1. P (A) 0 para todo A Q 2. P (Ω) = 1 P : Q IR 3. P (A B) = P (A) + P (B) si A, B Q co A B =. A cotiuació vamos a deducir de los axiomas ateriores uas propiedades que está e cosoacia co las propiedades que tiee las frecuecias relativas. a) P (A c ) = 1 P (A) para todo A Q y siedo A c el suceso complemetario de A. b) P (A) 1 para todo A Q c) P ( ) = 0 d) Para A y B dos sucesos cualesquiera de Q, se verifica P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) E la práctica o tiee setido hablar de probabilidades si defiir previamete la població a la que os referimos y los sucesos que vamos a cosiderar. Llamaremos sucesos elemetales de u experimeto a u cojuto de resultados posibles de forma que siempre ocurre uo de ellos y so mutuamete excluyetes, es decir, la ocurrecia de uo implica la o ocurrecia de los demás. Llamaremos sucesos compuestos a los costruidos a partir de uioes de resultados elemetales. La determiació de probabilidades para sucesos compuestos requiere coocer las de los sucesos elemetales. E ocasioes, la simetría de los sucesos elemetales sugiere cosiderarlos equiprobables. Este razoamieto se ha aplicado repetidamete e los juegos de azar a problemas como tirar dados o moedas, extraer aipes de barajas, etc. A veces, el mecaismo geerador de los resultados está diseñado para itetar asegurar esta equiprobabilidad, como e la ruleta, por ejemplo. E estos casos, si existe sucesos elemetales equiprobables, la probabilidad de cada uo de ellos debe ser 1, para asegurar que la suma total sea uo. La probabilidad de u suceso A que cotiee f sucesos elemetales será f, lo que da lugar a la regla: P (A) = casos favorables (f) casos posibles () Esta regla sólo debe utilizarse cuado la simetría esté cofirmada por el mecaismo geerador o por la evidecia empírica. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 2

3 MÉTODOS DE RECUENTO. COMBINATORIA Variacioes si repetició Sea E u cojuto de elemetos. Llamaremos variacioes si repetició de elemetos tomados de k e k al úmero de ordeacioes distitas de k elemetos o repetidos de E. Dos disposicioes será distitas si está formadas por elemetos distitos o si los elemetos está dispuestos e orde distito. El ORDEN IMPORTA. E el primero de los lugares de ua lista ordeada co k posicioes, podemos colocar cualquier elemeto de etre los posibles. E segudo lugar, podemos colocar cualquiera de etre los 1 restates. E tercer lugar, cualquiera de etre los 2 restates. Así, hasta llegar al lugar k-ésimo e dode podemos colocar cualquier elemeto de etre los k + 1 restates. Por tato: V k = ( 1) ( 2) ( k + 1) =! ( k)! Permutacioes Llamaremos permutacioes de elemetos a las variacioes si repetició de elemetos tomados de e, es decir, al úmero de ordeacioes posibles de todos los elemetos de E. Por tato P = V =! Variacioes co repetició Llamaremos variacioes co repetició de elemetos tomados de k e k al úmero de ordeacioes distitas de k elemetos repetidos o o repetidos de E. E el primero de los lugares de ua lista ordeada co k posicioes, podemos colocar cualquier elemeto de etre los posibles. E el segudo lugar, se puede volver a colocar cualquiera de los elemetos y así, e las k posicioes posibles. Por tato V R k = k Combiacioes si repetició Llamaremos combiacioes si repetició de elemetos tomados de k e k al úmero de subcojutos distitos de k elemetos que se puede formar co los elemetos de E. El ORDEN NO IMPORTA e el setido de que se cosidera dos subcojutos distitos cuado está formados por distitos elemetos. Por ejemplo, {3, 4, 5} y {4, 3, 5} se cosidera iguales. Si e las combiacioes se permuta los elemetos etre sí se obtiee las variacioes, por tato la relació etre el úmero de variacioes y el de combiacioes viee dado por V k = CP k k. Esto permite deducir el úmero de combiacioes, a saber C k = V k P k = ( )! k! ( k)! = k Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 3

4 PROBABILIDAD CONDICIONADA. INDEPENDENCIA La frecuecia relativa de u suceso A codicioada a la ocurrecia de otro suceso B se defie cosiderado úicamete los casos e los que aparece B y viedo e cuátos de estos casos ocurre A; es, por tato, igual a la frecuecia de ocurrecia cojuta de A y B, partida por el úmero de veces que aparece B. Dividiedo umerador y deomiador por el úmero de veces que se realiza el experimeto, la frecuecia de A codicioada a B se puede expresar f A B = f A B f B Motivádoos e esta expresió, exigiremos esta misma propiedad a la probabilidad y se defie la probabilidad de A codicioada a B por P (A B) = P (A B) P (B) dode P (B) > 0. Se comprueba fácilmete que la probabilidad codicioada cumple los tres axiomas de la defiició de la fució de probabilidad. Aálogamete se defie la probabilidad de B codicioada a A como P (B A) = P (A B) P (A) De forma que siempre se tiee dos expresioes distitas para la probabilidad de la itersecció de dos sucesos: P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A) Diremos que dos sucesos so idepedietes si el coocimieto de la ocurrecia de uo o modifica la probabilidad de aparició del otro. Por tato, A es idepediete de B si P (A B) = P (A) Observado la defiició de probabilidad codicioada, se deduce que A es idepediete de B si y sólo si P (A B) = P (A)P (B) De dode se deduce que ser A idepediete de B es equivalete a que B sea idepediete de A. Esta defiició se geeraliza para cualquier úmero de sucesos: diremos que los sucesos A 1, A 2,..., A so idepedietes si la probabilidad cojuta de cualquier subcojuto que pueda formarse co ellos es el producto de las probabilidades idividuales. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. FÓRMULA DE BAYES Cosideremos u cojuto de sucesos A 1, A 2,..., A del álgebra de sucesos Q cuya uió es el suceso seguro y so mutuamete excluyetes. U cojuto de sucesos co estas dos propiedades recibe el ombre de sistema completo de sucesos. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 4

5 Teorema de la probabilidad total. Sea B u suceso cualquiera B Q y u sistema completo de sucesos A 1, A 2,..., A tales que P (A i ) > 0 para todo i {1, 2,..., }. Etoces, P (B) = P (B A i )P (A i ) i=1 Esta fórmula recoge la siguiete idea: si el suceso B puede ocurrir por algua de las causas A i, pero o se sabe cuál, hay que cotemplarlas todas. Etoces, la probabilidad de B es la suma de las probabilidades de la itersecció de B co cada uo de los A i, lo cual coicide (segú se vió e el apartado aterior) co el producto P (B A i )P (A i ). Cosideremos ahora, bajo las mismas codicioes del teorema aterior, que estamos iteresados e coocer la probabilidad de que, sabiedo que ha ocurrido el suceso B, la causa que lo ha producido sea el suceso A j. Expresado aalíticamete, lo que queremos calcular es P (A j B). Fórmula de Bayes: Sea B u suceso cualquiera B Q y u sistema completo de sucesos A 1, A 2,..., A tales que P (A i ) > 0 para todo i {1, 2,..., }. Etoces, P (A j B) = P (B A j)p (A j ) P (B A i )P (A i ) i=1 Obsérvese que la fórmula de Bayes es ua cosecuecia imediata de la defiició de probabilidad codicioada y el teorema de la probabilidad total. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 5