Teoría Combinatoria. Capítulo Dos Principios Básicos.

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1 Capítulo 2 Teoría Combiatoria La Teoría Combiatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de cotar Aparte del iterés que tiee e sí misma, la combiatoria tiee aplicacioes de gra importacia e otras áreas, y e particular a la Teoría de Probabilidades 2 Dos Pricipios Básicos Comecemos por cosiderar alguos problemas secillos Problema E ua tieda hay cico modelos de camisa y tres de pataló Cuátos cojutos distitos de pataló y camisa podemos comprar? La camisa la podemos elegir de cico maeras distitas Para cada ua de ellas podemos escoger el pataló de tres maeras distitas Por lo tato hay maeras de escoger u pataló y ua camisa Problema 2 Las ciudades A, B, y C está coectadas segú lo muestra la figura 2: hay seis camios de A a B y cuatro de B a C De cuátas maeras podemos ir de A a C? Para cada camio que escojamos etre A y B podemos escoger cuatro para cotiuar hasta C Como hay seis camios etre A y B la respuesta es B A C Figura 2 Problema 3 El cojuto A {a, a 2,, a } tiee elemetos mietras que B {b, b 2,, b } tiee Cuátos elemetos tiee el producto cartesiao A B? El producto cartesiao A B está formado por todos los pares ordeados (a, b dode el primer elemeto, a, está e A y el segudo, b, está e B Para cada uo de los elemetos de A que tomemos como primer miembro del par hay posibilidades para escoger el segudo a partir de los elemetos de B Por lo tato tedremos pares ordeados

2 24 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA Los tres problemas ateriores tiee características similares: Se trata de escoger dos elemetos, cada uo de u cojuto distito y queremos cotar el úmero de maeras de hacer esto El resultado geeral puede euciarse de la siguiete maera: Pricipio de Multiplicació Si teemos dos cojutos de y elemetos, respectivamete, y queremos escoger dos elemetos de modo que uo sea del primero y el otro del segudo, esto lo podemos hacer de maeras El pricipio de multiplicació puede ser aplicado reiteradamete: Problema 4 E la tieda del problema hay tambié cuatro modelos distitos de zapatos De cuátas maeras podemos escoger u cojuto de camisa, pataló y zapatos? Podemos ahora comezar co cualquiera de los 5 cojutos de camisa y pataló del problema Hay cuatro maeras de completarlo escogiedo u par de zapatos Por lo tato el úmero de posibles cojutos de camisa, pataló y zapatos es Problema 5 Ua costurera tiee tres botoes, cico agujas y ocho tipos de hilo De cuátas maeras puede escoger u objeto de cada tipo? Veamos ahora otro tipo de problema Problema 6 Si además de las ciudades A, B y C del problema 2 teemos ua cuarta ciudad D coectada co las ateriores de la maera que idica la figura 2, De cuátas maeras podemos ahora viajar de A a C? B A C D Figura 22 Podemos ir de A a C pasado por B o por D Sabemos por el problema 2 que hay 24 maeras de ir de A a C pasado por B Por el Pricipio de Multiplicació hay maeras de ir de A a C pasado por D Por lo tato, e total hay maeras de viajar de A a C Problema 7 Ua persoa visita dos tiedas co iteció de comprar u pataló E la primera tieda hay seis modelos diferetes y para cada uo hay tres colores E la seguda hay diez modelos y cuatro colores para cada modelo Etre cuatos pataloes tiee que escoger la persoa? E la primera tieda hay mietras que e la seguda hay Para hallar el total de pataloes teemos que sumar estos dos úmeros, y obteemos

3 22 NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO FINITO 25 Vemos que e ambos problemas hay dos situacioes que so excluyetes: Para ir de A a C pasamos por B o por D, pero o por ambos El pataló lo compramos e la primera tieda o e la seguda, pero o e ambas Cuado se preseta ua situació de este tipo, el úmero total de solucioes se obtiee sumado las solucioes bajo las distitas alterativas Este resultado se puede euciar de la siguiete maera: Pricipio de Suma Si ua situació puede ocurrir de maeras distitas y ua seguda situació excluyete de la primera puede ocurrir de maeras, etoces existe + maeras e las cuales puede ocurrir la primera o la seguda situació El pricipio de suma tambié puede ser aplicado reiteradamete Problema 8 E ua tieda hay cico modelos de pataló, ocho de camisa y cuatro de zapatos Cuátas maeras hay de comprar dos objetos co ombres distitos? Hay tres casos posibles: Compramos pataló y camisa; pataló y zapatos o camisa y zapatos Es fácil calcular el úmero de maeras de cada caso: para el primero, para el segudo y para el tercero E total hay maeras de comprar dos objetos co ombres distitos Problema 9 Cuátos úmeros de a lo sumo tres cifras se puede formar co los dígitos 3, 4, 7 y 8? Los úmeros que vamos a formar puede teer ua, dos o tres cifras Veamos por separado cuatos hay de cada tipo y luego sumamos los resultados, de acuerdo al pricipio de la suma Es claro que de ua cifra hay 4 E el caso de dos cifras la primera puede ser cualquiera de los cuatro dígitos, y la seguda tambié Por lo tato hay úmeros de dos cifras De maera similar, hay E total teemos úmeros de tres o meos cifras formados co los dígitos 3, 4, 7 y 8 22 Número de subcojutos de u cojuto fiito Sea C {c, c 2, c } u cojuto de elemetos Deotaremos por P(C la familia de todos los subcojutos de C y lo llamaremos el cojuto de partes de C Por ejemplo, si C {c, c 2, c 3 }, la familia P(C costa de los siguietes cojutos: (vacío es u subcojuto de C {c }; {c 2 }; {c 3 } (subcojutos co elemeto {c, c 2 }; {c, c 3 }; {c 2, c 3 } (subcojutos co 2 elemetos {c, c 2, c 3 } (subcojuto co 3 elemetos Como vemos, e este ejemplo el úmero de subcojutos e P(C es igual a 8 Es importate resaltar que al describir u cojuto o importa el orde e el cual se escribe los elemetos que perteece a él Así, por ejemplo, {c, c 2 } es el mismo cojuto que {c 2, c }, y o os iteresa el orde e el cual aparece los elemetos de cada subcojuto Si embargo, a los efectos del razoamieto posterior, supodremos que los elemetos del cojuto C está ordeados de algua maera arbitraria, que es aquélla e la cual los describimos iicialmete E el ejemplo aterior, como el cojuto iicial teía sólo tres elemetos, resultó fácil escribir explícitamete los subcojutos y cotarlos, pero e geeral esto o va a ser posible Por lo tato queremos u método que os permita hallar este úmero de maera más secilla Ua posibilidad que resulta práctica para calcular el úmero de cojutos de la familia P(C, que deotaremos P(C, es la siguiete Supogamos etoces que C {c, c 2,, c }, vamos tomado uo a uo todos los elemetos de C de maera ordeada y decidimos e cada caso si lo icluimos o o e el subcojuto que costruimos

4 26 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA Podemos pesar, etoces, que costruir u subcojuto equivale a asigarle a cada elemeto u úmero: le asigamos el si lo icluimos e el subcojuto y el 0 si o lo icluimos Es decir, que costruir todos los subcojutos de C es equivalete a costruir todas las -uplas de ceros y uos: (a, a 2,, a (a i 0 ó dode a i 0 sigifica que o hemos icluido el elemeto c i e el subcojuto y a i sigifica que sí lo hemos icluido Por lo tato teemos ua correspodecia biuívoca etre P(C y el cojuto de -uplas A {(a, a 2,, a : a i 0 ó }, correspodecia que asocia a cada subcojuto M C la -upla que tiee u e el lugar i sí, y sólo sí, c i M Por ejemplo, e el caso del cojuto C {c, c 2, c 3 } de 3 elemetos, si M {c } la tera que le correspode es (, 0, 0; si e cambio M {c 2, c 3 } la tera que le correspode es (0,, mietras que a M {c, c 3 } le correspode (, 0, Por lo tato, basta cotar cuátas -tuplas hay e A y esto es secillo Para es claro que A tiee 2 elemetos: Para 2 teemos 4: Para 3 teemos 8: (0; ( (0, 0; (0, ; (, 0; (, (0, 0, 0; (0,, 0; (, 0, 0; (,, 0 (0, 0, ; (0,, ; (, 0, ; (,, y e geeral, si teemos la familia A, por cada ( -upla que ésta cotiee podemos fabricar 2 de A, segú agreguemos u 0 ó u como última coordeada, y de este modo fabricamos todas las -uplas de A ua sola vez O sea que: A 2( A ( 2, dode A represeta el úmero de elemetos del cojuto A U secillo argumeto de iducció os dice que A 2 y por lo tato P(C 2 23 Variacioes co Repetició Problema 0 Lazamos ua moeda tres veces Cuátas sucesioes distitas de aguilas y soles podemos obteer? Para cada lazamieto hay dos resultados posibles Para cada resultado posible del primer lazamieto hay dos del segudo, lo cual da 2 2 combiacioes para los dos primeros Para cada ua de estas hay otros dos resultados posibles del tercero E total hay sucesioes distitas Problema Cuátos úmeros de exactamete cuatro cifras se puede formar co los dígitos impares? Teemos cico dígitos impares:, 3, 5, 7 y 9 La cifra que correspode a las uidades puede ser cualquiera de estas cico Lo mismo para las deceas, las ceteas y las uidades de mil Por lo tato hay úmeros de cuatro cifras, todas impares

5 23 VARIACIONES CON REPETICIÓN 27 Problema 2 Cuátas palabras de tres letras (co o si setido puede formarse co las letras de la palabra AZUL? Para cada ua de las letras de la palabra que queremos formar teemos cuatro que podemos escoger Por lo tato hay palabras Los tres problemas ateriores tiee características similares Utilizado los m elemetos de u cojuto C (los cico dígitos impares, los dos resultados de lazar ua moeda, las cuatro letras de la palabra AZUL, queremos formar sucesioes de logitud (cuatro, tres y cuatro, respectivamete permitiedo que los elemetos se repita y queremos cotar el úmero de maeras de hacer esto El resultado es m Veamos cómo se puede deducir ésto e geeral Cosideremos u cojuto de m elemetos co la otació C {c, c 2,, c m } Veamos el cojuto de -uplas o vectores de dimesió que podemos formar co los elemetos del cojuto C, permitiedo que los elemetos se repita, es decir, X {(c i, c i2,, c i : c ij C, j,, } Por ejemplo, el cojuto A cosiderado e la secció 22 de las -uplas de ceros y uos correspode a tomar C {0, } Si e cambio C {0,, 2} y 3, etoces X cosiste de las siguietes teras: (0, 0, 0; (0, 0, ; (0, 0, 2; (0,, 0; (0,, ; (0,, 2; (0, 2, 0; (0, 2, ; (0, 2, 2 (, 0, 0; (, 0, ; (, 0, 2; (,, 0; (,, ; (,, 2; (, 2, 0; (, 2, ; (, 2, 2 (2, 0, 0; (2, 0, ; (2, 0, 2; (2,, 0; (2,, ; (2,, 2; (2, 2, 0; (2, 2, ; (2, 2, 2 Hay que teer e cueta que, al cotrario de lo que sucede e el caso de los subcojutos, el orde e el cual aparece las compoetes es determiate para las -uplas Así, el par (c, c 2 es distito a (c 2, c Para calcular el úmero de elemetos de X, llamado variacioes (o arreglos co repetició de m elemetos tomados de e, procedemos exactamete igual que e la secció aterior, cuado cotamos el úmero de -uplas de ceros y uos, sólo que ahora, e lugar de ceros y uos, la -upla está formada a partir de los elemetos de C, que so m Repitiedo el razoamieto aterior resulta que X m Problema 3 Si lazamos u dado cuatro veces, cuátos resultados posibles hay? Para cada lazamieto hay seis resultados posibles Como lazamos el dado cuatro veces el resultado es Si usamos la otació aterior, C {, 2, 3, 4, 5, 6}, m 6 y 4 Problema 4 E ua cuadra hay cico casas Hay tres colores para escoger la pitura de cada ua de ellas De cuatas maeras puede pitarse el cojuto de las cico?

6 28 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA 24 Variacioes si Repetició Veamos ahora otro tipo de problemas Problema 5 Etre los oce jugadores de u equipo de fútbol hay que escoger u capitá y su suplete Cuátas maeras hay de hacer esto? Cualquiera de los oce jugadores puede ser seleccioado capitá Hecho esto, cualquiera de los diez que queda puede ser su suplete Por lo tato hay 0 maeras de hacerlo La diferecia e este caso está e que la selecció del capitá modifica el cojuto a partir del cual podemos seleccioar su suplete, ya que el capitá o puede ser su propio suplete Por lo tato, la selecció del capitá y su suplete o so idepedietes, como ocurría e la secció aterior Problema 6 Se coloca veite tarjetas umeradas de a 20 e ua bolsa para rifar tres premios De cuátas maeras se puede repartir los premios? El primer premio puede ser cualquiera de los veite úmeros Seleccioado éste, el segudo puede ser cualquiera de los 9 restates, y el tercero cualquiera de los 8 que queda luego de seleccioar primero y segudo E total hay De uevo, a medida que vamos seleccioado cada úmero premiado, el cojuto a partir del cual podemos escoger el siguiete cambia Veamos cómo podemos calcular este úmero e geeral Cosideremos de uevo u cojuto de m elemetos co la otació C {c, c 2,, c m } Veamos ahora el cojuto de -uplas o vectores de dimesió que podemos formar co los elemetos del cojuto C, impidiedo que los elemetos se repita, es decir, cuado cosideramos el cojuto Y {(c i, c i2,, c i : c ij C, j,,, c ij distitos 2 a 2} El úmero de elemetos de Y se llama las variacioes (o arreglos de m elemetos tomados de e y se deota V m Co frecuecia decimos arreglos si repetició, o simplemete variacioes Cuado o digamos ada se sobreetederá que so si repetició Por ejemplo, supogamos que C {c, c 2, c 3, c 4 } de modo que m 4 y sea 3 Es fácil verificar que la lista siguiete cotiee todos los elemetos de Y si que figure repetidos: (c, c 2, c 3 ; (c, c 2, c 4 ; (c, c 3, c 2 ; (c, c 3, c 4 ; (c, c 4, c 2 ; (c, c 4, c 3 (c 2, c, c 3 ; (c 2, c, c 4 ; (c 2, c 3, c ; (c 2, c 3, c 4 ; (c 2, c 4, c ; (c 2, c 4, c 3 (c 3, c, c 2 ; (c 3, c, c 4 ; (c 3, c 2, c ; (c 3, c 2, c 4 ; (c 3, c 4, c ; (c 3, c 4, c 2 (c 4, c, c 2 ; (c 4, c, c 3 ; (c 4, c 2, c ; (c 4, c 2, c 3 ; (c 4, c 3, c ; (c 4, c 3, c 2 E cosecuecia se observa que V Para obteer ua fórmula geeral para V m procedemos iductivamete e Ates que ada observamos que ecesariamete se tiee que m, ya que si > m, cualquier -upla de elemetos de C tedrá elemetos repetidos Comecemos co Es claro que teemos m -uplas que so: y por lo tato Supogamos ahora que 2 Teemos: (c ; (c 2 ; (c m V m m (c, c 2 ; (c, c 3 ; (c, c m (c 2, c ; (c 2, c 3 ; (c 2, c m (c m, c ; (c m, c 2 ; (c m, c m

7 25 PERMUTACIONES 29 que so m(m pares que se obtiee agregado a cada uo de los m elemetos de C colocados e primer térmio, uo de los (m elemetos restates ( recordar que o hay repeticioes! Por lo tato V m 2 m(m Para teer ua fórmula geeral para V m, procedemos iductivamete e, ya que el razoamieto aterior puede geeralizarse si dificultad como sigue: Supogamos que teemos todas las ( -uplas (si repetició Cómo fabricamos las -uplas si repetició? Tomamos ua ( -upla y le agregamos al fial uo de los (m ( elemetos de C que o figura e ella, de modo que, por cada ( -upla podemos fabricar (m ( -uplas De esta forma hemos fabricado todas las -uplas de Y si repetir igua Por lo tato Como ya vimos que V m m, deducimos de (- que V m (m + V m ( m (2 V m m(m (m + m! (m! (22 dode m! m (m 2 se cooce como m factorial E la fórmula (22 utilizamos la coveció 0! (cuado m Problema 7 E ua carrera de fórmula participa 26 corredores Los cico primeros gaa putos segú la posició que ocupe (9 putos al primero, 6 al segudo, etc De cuátas maeras puede repartirse los putos? V , 893, Permutacioes U caso particular de variacioes so las permutacioes, que correspode a la situació m E este caso Vm m m! m(m (m 2 2 Observamos que ahora las m-uplas cotiee todos los elemetos de C, si repetició, dispuestos e todos los órdees posibles Por ejemplo, si m 3 las permutacioes so: (c, c 2, c 3 ; (c, c 3, c 2 ; (c 2, c, c 3 ; (c 2, c 3, c ; (c 3, c, c 2 ; (c 3, c 2, c Claramete V Tambié se emplea co frecuecia para las permutacioes la otació P m V m m m! Problema 8 De cuátas maeras podemos colocar cuatro bolas de distitos colores e fila? La primera puede ser cualquiera de las cuatro La seguda, cualquiera de las tres restates, etc La respuesta es ! 24 Problema 9 Cuátas palabras, co o si setido, puede obteerse usado todas las letras de la palabra PRENSA? Como la palabra o tiee letras repetidas, la respuesta es 6! 720 Más adelate os ecotraremos la situació de palabras co letras repetidas

8 30 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA 26 Combiacioes Problema 20 De u grupo de treita estudiates queremos escoger dos para participar e ua competecia De cuátas maeras podemos hacerlo? El primer estudiate del par puede ser cualquiera de los treita y, ua vez escogido éste, el segudo puede ser cualquiera de los veitiueve restates Pero de esta maera hemos cotado cada pareja dos veces, cuado A es el primero y B el segudo, y cuado B es el primero y A el segudo Por lo tato teemos que dividir este úmero etre dos La respuesta es Problema 2 De u grupo de veiticico libros queremos escoger tres para leer durate las vacacioes De cuátas maeras podemos hacer esto? Hacemos u razoamieto similar al del problema aterior Primero cotamos cuatos tríos ordeados de libros podemos formar y luego dividimos etre el úmero de ordeamietos posibles de cada trío El úmero de tríos ordeados so las variacioes de 25 elemetos tomados de 3 e 3: V Cada trío lo podemos ordear de 3! 6 maeras Por lo tato la respuesta es V ! , 300 Problema 22 E u juego de domió, de cuátas maeras podemos escoger ua mao? Ua mao cosiste de siete piedras si importar su orde La primera puede ser cualquiera de las 28 que forma el juego Escogida ésta, hay 27 para escoger la seguda, luego 26 para la tercera, y así sucesivamete hasta escoger las siete E total: V Pero cada mao ha sido cotada varias veces, depediedo del orde e el cual la escogimos Por lo tato teemos que dividir por el úmero de maeras de ordear ua mao, que es 7! 5040, y la respuesta es V ! 5, 967, 56, , 84, 040 Veamos cómo podemos resolver este tipo de problemas e geeral Cosideramos uevamete u cojuto C {c, c 2,, c m } co m elemetos Llamamos combiacioes de m elemetos tomados de e al úmero de subcojutos de C que costa de elemetos Se etiede que 0 m y se deota dicho úmero por ( m o tambié C m Ya sabemos calcular el úmero de -uplas ordeadas V m que se puede formar co los elemetos de C Es claro que cada subcojuto de C co elemetos da lugar a! -uplas ordeadas - tatas como maeras teemos de ordear los elemetos del subcojuto - y por lo tato ( m V m! (23 Reemplazado V m por su valor (fórmula (22, resulta ( m m! (m!! (24

9 26 COMBINACIONES 3 Observamos que ( m 0 para cualquier valor de m Los úmeros ( m se cooce como úmeros combiatorios Estudiaremos alguas de sus propiedades más adelate Veamos primero alguos problemas Problema 24 E ua práctica de Balocesto el etreador quiere escoger u equipo de cico etre los treita jugadores que está etreado De cuátas maeras puede hacerlo? ( ! 25! 5! 7,00, , 506 Problema 25 U estudiate tiee seis libros y otro tiee ueve De cuátas maeras puede itercambiar tres libros? El primer estudiate puede escoger tres libros de ( 6 3 maeras mietras que el segudo puede hacerlo de ( ( 9 3 Por lo tato, el úmero de itercambios posibles es 6 9 3( 3 20 Problema 26 Hay dos iñas y siete iños e u grupo de adadores Se quiere escoger u equipo de cuatro de modo que al meos uo de los adadores sea iña De cuátas maeras se puede hacer esto? Teemos dos posibilidades: puede haber ua o dos iñas e el equipo E este último caso los dos varoes puede escogerse de ( 7 2 Si hay sólo ua iña, la podemos escoger de dos maeras, mietras que a los tres iños restates los podemos escoger de ( ( 7 3 E total teemos 7 ( equipos posibles Problema 27 E el juego de KINO cada cartó tiee 5 úmeros escogidos del al 25 Cuátos cartoes hay? Como o os importa e orde e el cual escogemos los 5 úmeros la respuesta es el úmero combiatorio ( ! 5! 0! 3, 268, 760 Ua observació importate es que seleccioar los 5 úmeros que está e el cartó es equivalete a seleccioar los 0 que o está Por lo tato la respuesta tambié es el úmero combiatorio 25! 3, 268, 760 Esta es ua propiedad geeral que euciamos a cotiuació ( ! 5! Problema 28 Teemos tres bolas idistiguibles y 20 cajas De cuátas maeras podemos colocar las bolas e las cajas de modo que o haya más de ua bola e cada caja? Podemos eumerar las cajas del al 20 y ahora el problema se reduce a seleccioar subcojutos de tres elemetos del cojuto {, 2,, 20}, que represeta las cajas que va a estar ocupadas Ya sabemos que esto lo podemos hacer de ( 20, 40 3 maeras distitas El problema aterior muestra que si teemos objetos de dos tipos y queremos colocar objetos de tipo y de tipo 2 e fila, teemos ( maeras de hacerlo, pues podemos pesar que los lugares de la fila está umerados y que el problema cosiste e cotar el úmero de subcojutos de elemetos del cojuto {, 2,, }

10 32 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA 26 Propiedades ( Propiedad m ( m m Demostració A partir de la defiició teemos ( m m!!(m! ( m m Como ejercicio, dé ua demostració si calcular, utilizado solamete la defiició de combiació Propiedad 2 (Relació de Pascal ( m ( m + ( m ( m (25 Demostració Teemos u cojuto C de m elemetos y queremos cotar el úmero de subcojutos de elemetos que tiee Ya sabemos que este úmero es ( m pero vamos a calcularlo de otra maera Sea c C u elemeto de C, cotamos e primer lugar los subcojutos de C de elemetos que tiee a( c Esto es equivalete a cotar los subcojutos de elemetos del cojuto C \ {c }, que so m E segudo lugar cotamos los subcojutos de C de elemetos que o tiee al elemeto c Como c o puede estar e el subcojuto, teemos que elegir a partir de los m elemetos restates de C Esto da ( m subcojutos Aplicado ahora el Pricipio de Suma teemos ( m ( m 27 El Triágulo de Pascal ( m + La propiedad 2 sirve para costruir u arreglo de úmeros co propiedades útiles e iteresates, que se cooce como el triágulo de Pascal Supogamos que para u cierto valor de m coocemos los valores de todos los úmeros combiatorios de la forma ( m, 0 m, etoces la relació (25 os permite calcular los valores de los úmeros combiatorios ( m+ ( m + ( m, 0 m + : + ( m Por ( lo tato, de maera recursiva podemos obteer todos los úmeros combiatorios Comezamos co 0 ( 0, al cual colocamos e el cetro de la págia Los siguietes dos so ( 0 y, que colocamos debajo, a ambos lados del que habíamos colocado iicialmete, de modo que éste quede e el cetro del espacio que separa los dos úmeros uevos, como se ve e la figura 23 Figura 23 Para m 2 teemos e primer lugar los dos úmeros combiatorios de los extremos, que correspode a 0 y 2, ie ( ( 2 0 y 2 2, que colocamos debajo de los ateriores, como se ve e la figura 24 Aú cuado es fácil calcular el úmero combiatorio ( 2 directamete, vamos a hacerlo usado la fórmula (5: ( ( 2 ( Si colocamos este úmero e el cetro de la tercera fila observamos que su valor es la suma de los dos úmeros que se ecuetra sobre él: 2 Figura 24

11 27 EL TRIÁNGULO DE PASCAL 33 Veamos como se costruye la fila que correspode a m 3 Los extremos ambos vale : ( 3 0 ( 3 3 El resto de los espacios los lleamos sumado e cada caso los dos valores que se ecuetra por ecima del espacio e cuestió: ( , ( Figura 25 Si cotiuamos este proceso iductivamete obteemos el triágulo que se idica e la figura 26, coocido como triágulo de Pascal j 0 j j 2 2 j j j j j j j Figura 26 El Triágulo de Pascal La fila j tiee j + úmeros, que correspode a los úmeros combiatorios ( j i, para 0 i j, es decir que cada fila comieza por el úmero combiatorio ( j 0 Observamos, e cosecuecia, que el úmero que aparece e el lugar i + de la fila j, es el úmero combiatorio ( j i, por ejemplo, para hallar ( 7 ( 4 buscamos el lugar 5 de la fila 7 obteemos Otra maera de costruir el triágulo es la siguiete Cambiamos los úmeros por putos o odos, como se idica e la figura 27 Figura 27 Escribimos u sobre el vértice superior, y luego, sobre cada odo, el úmero de maeras que hay para llegar a este puto a partir del vértice superior, moviédoos úicamete hacia abajo El resultado es el triágulo de Pascal

12 34 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA Figura 28 Veamos ua propiedad iteresate del triágulo de Pascal Si evaluamos la suma de los úmeros e cada fila obteemos, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28, etc Parece atural la coclusió de que la suma de la -ésima fila es 2 Esto es cierto y podemos probarlo por iducció Sabemos que es cierto para las primeras filas Para probar el paso iductivo observamos que cada úmero de la -ésima fila es sumado para formar dos úmeros de la siguiete fila: los que está por debajo de él, a ambos lados Por lo tato la suma de los úmeros de la fila + es dos veces la suma de los úmeros de la fila aterior Esto completa el paso iductivo Si escribimos esta relació explícitamete obteemos la siguiete idetidad: ( m 0 + ( m + + ( m m + ( m m 2 m (26 E realidad, ya hemos visto ua demostració combiatoria de esta idetidad El lado derecho represeta el úmero de subcojutos de u cojuto co m elemetos Por otro lado, el úmero combiatorio ( m represeta el úmero de subcojutos de elemetos que se puede formar a partir de u cojuto de m elemetos La idetidad aterior dice que el úmero total de subcojutos es igual a la suma de los subcojutos de 0 elemetos más el úmero de subcojutos de elemeto más más el úmero de subcojutos de m elemetos 28 El Biomio de Newto Queremos ecotrar ahora ua fórmula para la expresió (a + b m para valores geerales de m Aú cuado este o es u problema de combiatoria, tiee ua solució que está estrechamete ligada a los úmeros combiatorios y al triágulo de Pascal Escribamos los valores de esta expresió para los primeros valores de m: (a + b 0, (a + b a + b, (a + b 2 a 2 + 2ab + b 2, (a + b 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Observamos que los coeficietes de las expresioes que está del lado derecho correspode a los valores del triágulo de Pascal Esto sugiere la siguiete idetidad: ( ( ( ( ( m m m m m (a + b m a m + a m b + a m 2 b ab m + b m 0 2 m m m ( m a b m 0

13 28 EL BINOMIO DE NEWTON 35 Haremos la demostració de esta fórmula por iducció completa e m Observe que el segudo miembro cotiee (m + sumados Para m, queda (a + b ( a b ( a 0 b a + b, que es obviamete correcto Supogamos etoces que la fórmula es correcta para m, e itetemos probar que tambié lo es para (m + Teemos (a + b m+ (a + b(a + b m (a + b m 0 a m+ + ( m a + b m + m 0 ( m m 0 m ( m a b m 0 ( m a b m + m ( m a b m + (27 a + b m + b m+ + Haciedo u cambio e el ídice de la suma j + obteemos que el segudo sumado e la expresió aterior se puede escribir m 0 ( m a + b m m j ( m a j b m j+ j Vamos a reemplazar esta expresió e (27, pero para mateer la uiformidad e la expresió y simplificarla más fácilmete, usaremos el ídice e lugar de j Obteemos m ( m m ( m (27 a m+ + a b m + + b m+ + a b m + m [( ( ] m m a m+ + + a b m + + b m+ Aplicado ahora la propiedad 2: ( m + ( m ( m + y reemplazado resulta (a + b m a m+ + m ( m + a b m + + b m+ m+ 0 a b m + que muestra que la fórmula es correcta cuado el expoete es m + Por el pricipio de iducció sabemos etoces que la fórmula es válida para todo m Como caso particular de la fórmula del biomio de Newto podemos obteer de uevo la idetidad (6 Basta tomar a b para obteer 2 m m 0 ( m

14 36 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA 29 Coeficietes Multiomiales Los coeficietes biomiales cueta el úmero de maeras que teemos de colocar e fila objetos de dos tipos de modo que haya objetos de tipo y de tipo 2, dode 0 Sabemos que hay ( maeras de hacerlo Supogamos ahora que teemos m tipos distitos de objetos y queremos colocar e fila objetos de tipo, 2 de tipo 2,, m de tipo m, co m y 0 i para i, 2,, m De cuatas maeras podemos hacer esto? Supogamos que podemos distiguir los objetos, o solo los de distitos tipo sio tambié los del mismo tipo Etoces tedríamos! arreglos posibles de los objetos Pero como e realidad los objetos de Tipo so idistiguibles, cualquier permutació de estos objetos produce resultados que so idistiguibles Como hay! arreglos de los objetos de tipo e la fila, debemos dividir! por! Otro tato ocurre co los objetos de tipo 2: Si los permutamos, obteemos filas que so idistiguibles, de modo que tambié hay que dividir por 2! De maera similar debemos dividir por 3!, 4!,, m!, de modo que el úmero de filas es!! 2! m! Usaremos la otació (, 2,, m para estos úmeros, que llamaremos coeficietes multiomiales Por ejemplo, si teemos las letras a, b, b, c, c De cuátas maeras podemos ordearlas? La respuesta es ( 5 30, 2, 2 Existe ua relació etre los coeficetes multiomiales y el desarrollo de expresioes del tipo (x + + x m que es similar a la de los coeficietes biomiales y el biomio de Newto: El úmero (,, m es el coeficiete de x xm m e el desarrollo de (x + + x m Para ver esto cosideremos cómo se forma u térmio como x x m m cosideramos la expresió e esta multiplicació Si (x + + x m (x + + x m (x + + x m (28 los distitos térmios se obtiee seleccioado ua variable de cada factor e (28 Hay factores y queremos seleccioar veces a x, a x 2, 2 veces y así sucesivamete hasta x que lo queremos seleccioar veces, y ya sabemos que esto lo podemos hacer de (, 2,, m maeras distitas Por lo tato (29 es el coeficiete del térmio x x m m e el desarrollo de (x + + x m Como ejemplo podemos escribir el desarrollo del cubo de la suma de tres térmios: (a + b + c 3 a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3a 2 c + 3b 2 a + 3b 2 c + 3c 2 a + 3c 2 b + 6abc (29

15 20 PROBLEMAS RESUELTOS Problemas Resueltos Cuátas palabras (co o si setido puede formarse usado todas las letras de la palabra RE- MAR? Esta palabra cotiee dos veces la letra R y todas las demás so diferetes Supogamos por u mometo que estas dos letras so distiguibles: R y R 2 E este caso hay 5! 20 palabras diferetes, pero e realidad dos palabras que pueda obteerse itercambiado R y R 2 so idéticas Por lo tato las 20 palabras se divide e pares de palabras idéticas, de modo que la respuesta es 20/ Cuátas palabras de (co o si setido puede formarse usado todas las letras de la palabra SABANA? Esta palabra cotiee tres veces la letra A Supogamos de uevo que estas letras so distiguibles: A A 2 y A 3 E este caso hay 6! 720 palabras diferetes, pero e realidad dos palabras que pueda obteerse itercambiado las letras A i so idéticas y esto podemos hacerlo de 3! 6 maeras diferetes Por lo tato las 720 palabras se divide e grupos de 6 palabras idéticas, de modo que la respuesta es 720/ Cuátas palabras (co o si setido puede formarse usado todas las letras de la palabra IN- TENCION? Esta palabra cotiee tres veces la letra N, dos veces la letra I y las otras so distitas Si pesamos de uevo que estas letras so distiguibles, teemos 9! palabras Como e realidad las letras I so idéticas, el úmero de palabras se reduce a 9!/2!, y ahora si recordamos que las N tambié so distiguibles os queda 9!/(2! 3! 30, 240 palabras 4 De cuátas maeras puede setarse cico persoas e cico sillas? E este caso os iteresa el úmero de permutacioes de cico elemetos, ya que podemos pesar que las sillas está umeradas y el problema es equivalete a ordear el cojuto de persoas Por lo tato la respuesta es 5! 20 5 De cuátas maeras puede setarse cico persoas e cico sillas alrededor de ua mesa circular, si cosideramos que todas las rotacioes de ua posició so equivaletes? Obsérvese que se puede elegir arbitrariamete la silla para la primera persoa (a meos de rotar simultáeamete a todo el mudo, hasta que esta primera persoa quede setada e esa silla Es fácil ver, etoces, que el úmero de disposicioes posibles es el úmero de maeras de setarse las 4 persoas restates e las 4 sillas que queda, es decir 4! 24 El mismo razoamieto dice que, si e lugar de 5 persoas y 5 sillas, so, el resultado es (! 6 Cuátos úmeros de seis cifras tiee al meos ua cifra par? Los úmeros que tiee al meos ua cifra par so aquellos que tiee ua, dos, tres, seis cifras pares Por lo tato tedríamos que cotar el úmero de elemetos de cada uo de estos cojutos y luego sumarlos Resulta más secillo e esta situació, cotar cuatos úmeros o satisface la codició (es decir, cuatos o tiee igua cifra par y restar éste del total de los úmeros de seis cifras Hay , 000 úmeros de seis cifras (la primera cifra o puede ser 0, por

16 38 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA eso la respuesta o es 0 6 de los cuales o tiee igua cifra par Etoces hay 900, 000 5, , 375 úmeros de seis cifras co al meos ua de ellas par 7 Supogamos que teemos 3 cajas umeradas y 4 bolas idistiguibles De cuátas maeras podemos colocar las 4 bolas e las tres cajas? Procedamos gráficamete, represetado cada caja como la parte limitada por dos barras verticales Por ejemplo, e la cofiguració de la figura teemos 3 bolas e la primera caja, 0 bolas e la seguda y bola e la tercera 2 3 U istate de reflexió muestra que teemos la situació siguiete: hay 4 bolas y 4 barras, que se dispoe ua a cotiuació de la otra e 8 lugares y cada cofiguració queda determiada por el lugar que asigamos a las dos barras cetrales etre los 6 lugares que podemos elegir para ellas, teiedo e cueta que las barras de los extremos está obligadas a quedar allí Es decir, el problema se reduce a decidir de cuátas maeras se puede colocar dos barras e seis espacios, y esto es ( Geeralizar el ejemplo aterior al caso e que teemos b bolas y cajas El resultado que se obtiee aplicado el mismo razoamieto es: ( ( + b + b b 9 De cuátas maeras podemos escoger las cuatro maos e u juego de domió? Por el resultado del problema 22 e la secció 26 sabemos que hay,84,040 maeras de escoger ua mao de siete piedras Veamos de cuatas maeras podemos escoger las cuatro maos que forma el puto de iicio de ua partida de domió Ua vez escogida la primera mao, os queda 2 piedras para escoger la seguda, y por lo tato hay ( ( 2 7 6, 280 Para la tercera teemos 4 7 3, 432 y la última esta formada por las siete piedras que queda Por el pricipio de multiplicació la respuesta es el producto de estos úmeros:, 84, 040 6, 280 3, , 58, 347, 558, U cartó de BINGO esta formado por cico columas de úmeros, ua para cada letra de la palabra BINGO Cada columa tiee cico úmeros, excepto la cetral, correspodiete a la letra N, que tiee sólo cuatro ya que el lugar cetral o participa e el juego Los cico úmeros de la primera columa se escoge etre los primeros 5 eteros:, 2,, 5, los de la seguda etre los eteros 6, 7,, 30 y así sucesivamete hasta la última columa, para la cual escogemos los cico úmeros etre 6, 62, 75 Cuátos cartoes distitos de BINGO hay, supoiedo que el orde e el cual aparece los úmeros e cada columa o es importate? Veamos e primer lugar, de cuatas maeras podemos escoger los cico úmeros de la primera columa, supoiedo que el orde de los úmeros que aparece e ella o importa E este caso teemos que escoger u subcojuto de 5 úmeros a partir de u cojuto que tiee 5, de

17 20 PROBLEMAS RESUELTOS 39 modo que la respuesta es el úmero combiatorio ( 5 5 3, 003 Los resultados para las columas correspodietes a las letras I, G y O so iguales, la úica diferecia está e la columa cetral, correspodiete a la letra N E este caso sólo escogemos cuatro úmeros a partir de los 5 dispoibles, de modo que la respuesta es ( 5 4, 365 Ahora, por el pricipio de multiplicació, debemos multiplicar estos resultados para obteer la respuesta: 3, 003 4, 365, 007, 923, 832, 370, 565 E el problema aterior cosideramos que el orde de los úmeros e el cartó de BINGO o importaba Esto es cierto si estamos jugado a cartó lleo, pero e muchos otros juegos, como las cuatro esquias, la X, etc sí importa el lugar e el cual aparece cada úmero Si tomamos e cueta el orde, cuátos cartoes distitos de BINGO hay? Podemos aprovechar el cálculo que realizamos e el problema aterior si observamos que teemos que multiplicar el resultado aterior por el úmero de maeras de ordear los úmeros que aparece e cada cartó Este ordeamieto debemos hacerlo respetado las restriccioes de cada columa, es decir, e la primera sólo puede aparecer úmeros compredidos etre y 5, e la seguda etre 6 y 30, etc Por lo tato, para cada ua de las columas correspodietes a las letras B, I, G, y O teemos cico úmeros y 5! 20 órdees posibles E la columa cetral hay sólo cuatro úmeros y por lo tato 4! 24 maeras de ordearlos E coclusió debemos multiplicar el resultado del problema aterior por : , Demostrar la idetidad ( m e iterpretar e base al triágulo de Pascal m ( Comezamos a partir de la propiedad 2 de los úmeros combiatorios: ( ( ( m m m + (20 (2 que forma la base del triágulo de Pascal Usamos esta propiedad para escribir el segudo sumado del lado derecho como ( ( ( m m 2 m 2 + Si sustituimos esta expresió e (2 y repetimos este procedimieto obteemos ( ( ( m m m + ( ( ( m m 2 m ( ( ( ( m m 2 m 3 m

18 40 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA y el resultado fial es ( m ( m + ( ( m ( y teiedo e cueta que ( ( obteemos la expresió (20 Para ver qué iterpretació tiee ésto e relació al triágulo de Pascal veamos u caso particular: m 7, 4 La relació aterior os dice que ( ( ( ( ( Si observamos la ubicació de estos úmeros e el triágulo obteemos m 0 m m 2 2 m m m m m m m Figura 29 3 Dos cajas cotiee 2 bolas cada ua, umeradas de hasta 2 Se seleccioa u cojuto de bolas de cada caja Calcular el úmero de maeras de hacer ésto de modo que ambos cojutos tega, a lo sumo, ua bola co el mismo úmero Utilicemos la siguiete otació: {i,, i } es el cojuto de bolas extraídas de la primera caja {j,, j } es el cojuto de bolas extraídas de la seguda caja Es claro que los elemetos de {i,, i } so 2 a 2 distitos, y lo mismo sucede para {j,, j } Observamos, auque o forma parte de la preguta, que el total de extraccioes posibles de la primera caja es ( ( 2 y que, por cada ua de éstas, podemos teer 2 extraccioes de la seguda caja, de modo que el total de extraccioes de parejas de cojutos {i,, i }, {j,, j } es ( 2 2 Veamos ahora la respuesta a la preguta formulada El úmero de maeras de que ambos cojutos cotega, a lo sumo, ua bola co el mismo úmero, es la suma del úmero de maeras de que o cotega igú úmero e comú más el úmero de maeras de que cotega e comú exactamete u úmero Cuátas extraccioes podemos efectuar, de tal modo que {i,, i } y {j,, j } o cotega igú úmero e comú? Teemos libertad e la selecció de {i,, i }, que puede ser hecha de ( 2 maeras Por cada elecció de {i,, i } e cambio, hay ua sola elecció de {j,, j } que produce el efecto

19 2 APLICACIONES A PROBABILIDAD 4 deseado de que ambos cojutos o cotega igú úmero e comú, que es la elecció de los úmeros del cojuto total {, 2,, 2} que o figura e {i,, i } E cosecuecia teemos ( 2 (22 maeras de elegir los subcojutos {i,, i } (de la primera caja y {j,, j } (de la seguda de modo que o tega igú elemeto e comú Cuátas extraccioes podemos efectuar, de tal modo que {i,, i } y {j,, j } cotega exactamete u úmero e comú? Nuevamete, hay ( 2 maeras de elegir la extracció {i,, i } de la primera caja Hecha ésta, debemos cotar cuátas formas teemos de extraer {j,, j } de modo que e este último cojuto figure uo y solo u elemeto de {i,, i } Para ello procedemos así: elegimos el elemeto de {i,, i } que debe figurar, para lo cual teemos alterativas Luego elegimos los ( elemetos restates de {j,, j } etre los elemetos que queda e la seguda caja cuado excluimos los de {i,, i }, y esto lo podemos hacer de ( maeras Resumiedo, por cada extracció de la primera caja teemos 2 maeras de hacer ua extracció de la seguda que tega exactamete u elemeto e comú co la hecha e la primera Recordado que hay ( 2 maeras de extraer de la primera, resulta que la respuesta a uestra seguda iterrogate es que hay ( 2 2 (23 maeras de extraer {i,, i } y {j,, j } de modo que tega u elemeto comú Sumado (5 y (6 teemos el resultado fial ( 2 ( Aplicacioes a Probabilidad Podemos ahora aplicar las técicas de coteo que hemos desarrollado e este capítulo para calcular probabilidad e el caso clásico, es decir, cuado teemos u espacio muestral fiito y todos los elemetos del espacio tiee igual probabilidad de ocurrir Veamos u par de ejemplos importates 2 Muestreo co Reposició La Distribució Biomial Retomemos el ejemplo del capítulo aterior sobre el muestreo co reposició, pero e lugar de cosiderar muestras de tres elemetos, cosideramos muestras de m elemetos Teemos ua població de N objetos de los cuales so defectuosos Igual que ates podemos calcular las probabilidades correspodietes, siempre admitiedo que so igualmete probables de ser extraídos todos los cojutos ordeados de m elemetos bueos y defectuosos Sea p,m (0 m la probabilidad de extraer exactamete defectuosos etre los itegrates de la muestra Sea N,m el úmero de maeras posibles e las cuales se puede extraer defectuosos e ua muestra de m Etoces ( m N,m (N m

20 42 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA porque podemos elegir de ( m formas los lugares que ocupa los defectuosos e la muestra, e cada uo de ellos poer cualquiera de los defectuosos que hay e la població, y colocar además cualquiera de los N o defectuosos e cada uo de los m lugares restates Dado que el úmero total de muestras posibles de m elemetos (es decir, de evetos elemetales es N m, resulta que o sea p,m N,m N m p,m ( m ( ( m, N N ( m p ( p m puesto que todas las muestras posibles se ha supuesto igualmete probables Esta fució de probabilidad se cooce como la Distribució Biomial co parámetros m y p El ombre de la distribució viee del Biomio de Newto, que estudiamos e la secció 28 Podemos usar la fórmula del biomio para demostrar que, efectivamete, la expresió aterior defie ua probabilidad Teemos que verificar que, si sumamos p,m sobre todos los valores posibles de, el resultado es m m ( m p,m p ( p m 0 0 (p + ( p m Esayos de Beroulli y la Distribució Biomial Si realizamos ua serie de experimetos co dos resultados posibles, que podemos llamar éxito y fracaso, o y 0, y éxito o tiee probabilidad p de ocurrir, teemos ua situació similar a la que acabamos de aalizar Este tipo de experimeto se como u experimeto de Beroulli co probabilidad p de éxito Si realizamos m experimetos de este tipo, la probabilidad de obteer éxitos está dada por la distribució biomial p,m que acabamos de defiir 22 Muestreo si Reposició La Distribució Hipergeométrica De ua població de N artículos etre los cuales hay defectuosos, se extrae sucesivamete r si reposició y se cueta el úmero de los defectuosos e la muestra El espacio muestral cotiee todos los subcojutos de r elemetos tomados etre los N dados, es decir, ( N r putos muestrales Cosideremos el eveto: e la muestra hay exactamete s defectuosos, dode s, s r Queremos calcular el úmero de putos de este eveto, para lo cual observamos que los defectuosos se puede elegir de ( ( s formas diferetes, y los o defectuosos de N r s formas diferetes Dado que cualquier elecció de s defectuosos se puede combiar co cualquier elecció de r s o defectuosos, teemos e total ( ( N s r s muestras posibles e las que hay exactamete s defectuosos La probabilidad de obteer exactamete s defectuosos e ua muestra de tamaño r tomada e ua població de N objetos co defectuosos es ( N p(s s( r s ( N s r, s, r admitiedo que todas las extraccioes posibles so igualmete probables Para obteer esta fórmula observemos que hay ( ( N r muestras de tamaño r si reposició, hay s maeras de escoger s defectuosos etre los que hay e la població y por cada ua de ellas hay ( N r s maeras de escoger los r s objetos e bue estado Esta fució de probabilidad se cooce como la Distribució Hipergeométrica

21 22 PROBLEMAS RESUELTOS 43 Aplicaremos este modelo a la estimació de N, situació que se preseta frecuetemete e la práctica Supogamos, por ejemplo, que se desea estimar el total N de peces e u lago Podemos proceder del siguiete modo: extraemos ua muestra de tamaño y marcamos los peces ates de reitegrarlos al lago Posteriormete se extrae ua muestra, que puede ser del mismo tamaño, y cotamos el úmero de peces marcados Se supoe que o ha variado el úmero total de peces y que todos tiee la misma probabilidad de salir e la seguda muestra Veamos cómo procedemos para estimar N supoiedo que e la seguda muestra se obtuviero s peces marcados Usado el método de máxima verosimilitud, itroducido e el capítulo aterior, cosideramos la fució ( N L(N s( s ( N s, que represeta la probabilidad de obteer s peces marcados e ua muestra de tamaño, si el tamaño de la població es N y hay peces marcados, y determiamos N tal que L(N sea máximo Para ello, como se trata de ua fució discreta, o podemos usar los métodos del Cálculo y cosideramos ua comparació etre valores sucesivos de la fució L para determiar el valor que la maximiza Cosideramos etoces L(N L(N ( N ( N s ( N ( N s (N 2 N(N 2 + s Si el cociete es mayor que, resulta L(N > L(N Para que esto ocurra es ecesario que (N 2 N 2 2N + 2 > N(N 2 + s N 2 2N + sn simplificado esta expresió obteemos 2 > sn E cosecuecia, para N < 2 /s se tiee L(N > L(N y la desigualdad cambia de setido si N > 2 /s Por lo tato, el valor de N que maximiza a L(N es el mayor etero que o supera a 2 /s E particular, si, 000 y s 00 resulta 22 Problemas Resueltos ˆN 06 0, De los 38 úmeros de ua ruleta (del al 36, y los úmeros 0 y 00, 8 so rojos Cuál es la probabilidad de que e cico juegos u úmero rojo gae exactamete dos veces? Este es u caso de muestreo co reposició: Teemos 38 úmeros para escoger y e cada juego puede gaar cualquiera de ellos Si realizamos cico juegos hay 38 5 resultados posibles Para cotar de cuatas maeras puede salir u úmero rojo exactamete dos veces observamos que hay ( 5 2 maeras de escoger los juegos e los cuales gaa úmeros rojos E cada uo de ellos puede gaar cualquiera de los 8 úmeros rojos que tiee la ruleta, lo que os da u total de 8 2 posibilidades, y e cada uo de los juegos e los cuales o gaa u úmero rojo podemos colocar cualquiera de los 20 úmeros restates, para u total de 20 3 Teemos etoces que hay ( maeras e las cuales puede resultar exactamete dos úmeros rojos gaadores e cico juegos La probabilidad que buscamos es, por lo tato ( ( 5 2 ( ( Hemos podido utilizar los resultados de la secció 2 para resolver este problema de maera más secilla Vimos allí que la probabilidad de obteer exactamete defectuosos e ua muestra

22 44 CAPÍTULO 2 TEORÍA COMBINATORIA de tamaño m realizada co reposició si la proporció de defectuosos e la població es p sigue ua distribució biomial de parámetros m y p: ( m p ( p m Este es exactamete el resultado que acabamos de obteer co m 5, 2 y p 8/38 2 Se laza u dado seis veces Cuál es la probabilidad de que los resultados sea todos distitos? Hay 6 6 resultados posibles De ellos 6! correspode a teer e cada lazamieto u resultado posible Por lo tato la probabilidad que buscamos es 6! Si colocamos al azar fichas e cajas, Cuál es la probabilidad de que cada caja tega exactamete ua ficha? Numeramos las cajas de a Distribuir las fichas e las cajas es equivalete a asigarle a cada ficha el úmero de la caja e la cual la colocamos A cada ficha podemos asigarle cualquiera de los úmeros, y como hay fichas, teemos distribucioes posibles Cuátas de ellas correspode a teer exactamete ua ficha e cada caja? Para que esto sea cierto, al hacer ua lista de los úmeros que hemos asigado a las fichas debe estar todos los úmeros de a si que haya iguo repetido Esto se puede hacer de! maeras Por lo tato la probabilidad que buscamos es! 4 Si colocamos al azar fichas e m cajas, Cuál es la probabilidad de que igua caja tega más de ua ficha? E primer lugar observamos que si hay más fichas que cajas, es imposible hacer ua distribució si que haya al meos ua caja co más de ua ficha E este caso la probabilidad buscada es 0 Supogamos, etoces que m Si adoptamos el mismo procedimieto que e el problema aterior, asigádole a cada ficha el úmero de la caja que le toca, vemos que hay m distribucioes posibles Veamos cuatas hay si que igua caja tega más de ua ficha Esto equivale a escoger ua muestra de úmeros si reposició de los m que correspode a los úmeros de las cajas Esto lo podemos hacer de V m maeras, de modo que la probabilidad que buscamos es 0 si m < y V m m(m (m + m m si m 5 Si colocamos al azar fichas e m cajas, Cuál es la probabilidad de que la primera caja tega exactamete fichas? Para que esto ocurra, a exactamete de las fichas teemos que asigarle el úmero, y u úmero distito de al resto de las fichas Las fichas a las cuales vamos a asigarle el úmero las podemos escoger de ( maeras A cada ua de las fichas restates podemos asigarle cualquiera de los m úmeros que o so, y esto lo podemos hacer de (m maeras La probabilidad que buscamos es ( (m m

23 22 PROBLEMAS RESUELTOS 45 6 Teemos 00 cartas umeradas del al 00 Se mezcla las cartas y luego se va volteado ua a ua Cuál es la probabilidad de que la carta co el úmero j aparezca e el j-ésimo lugar al ser volteada? E este problema podemos pesar que el resultado de voltear las 00 cartas es u arreglo de 00 úmeros etre y 00, si repetir iguo: (a, a 2,, a 00, a i 00, i,, 00 Cuátos arreglos podemos formar? Hay uo por cada permutació de los úmeros de a 00, por lo tato hay 00! resultados posibles Cuátos de ellos tiee ua j e el lugar j? Si fijamos el úmero que ocupa este lugar, queda 99 úmeros para distribuir e los 99 lugares restates Hay 99! maeras de hacer esto Por lo tato la probabilidad buscada es 99! 00! 00 E geeral, si e lugar de 00 úmeros hay, la probabilidad de que e el j-ésimo lugar aparezca la carta co el úmero j es / 7 E el problema aterior, Cuál es la probabilidad de que igua carta aparezca e su lugar? Llamemos A j el eveto que ocurre si la jésima carta aparece e su lugar Vimos e el ejercicio aterior que la probabilidad de este eveto es /00 Queremos calcular la siguiete probabilidad: P (A c A c 00 P (A A 00 y para obteer esta última probabilidad podemos usar el pricipio de iclusió-exclusió que vimos e la secció 4 del primer capítulo: P (A A 00 i P (A i i<j P (A i A j + + ( 0 P (A A 00 (24 El primer térmio de esta ecuació es porque hay 00 sumados y cada uos de ellos vale /00 Para el segudo térmio teemos que si dos úmeros específicos queda fijos simultáeamete, el resto se puede permutar de (00 2! maeras, de modo que P (A i A j (00 2! 00! Nos falta cotar el úmero de térmios e la seguda suma, que es el úmero de maeras de seleccioar dos úmeros eteros del al 00, y esto lo podemos hacer de ( 00 2 maeras distitas Por lo tato el segudo térmio de la ecuació (24 es ( ! ! Para el tercer térmio teemos que para cualesquiera i, j, fijos, P (A i A j A (00 3! 00! y hay ( 00 3 térmios e la suma, de modo que el tercer térmio de (24 es ( ! !