TEMA 4: COMBINATORIA

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1 TEMA 4: OMBINATORIA La ombiatoria es la parte de las Matemáticas que tiee por objeto cotar el úmero de agrupacioes diferetes, y co uas determiadas características, que se puede formar co los elemetos de u cojuto dado. Las características de ua agrupació está determiadas por: La catidad de elemetos del cojuto dado que se utiliza para formar la agrupació. La posibilidad de que pueda o o repetirse los elemetos e la agrupació. La cosideració o o del orde como factor difereciador de agrupacioes co los mismos elemetos. Es decir, detro de la ombiatoria es dóde tiee setido pregutas del tipo: uátas quiielas distitas puede hacerse? uátas posibles combiacioes puede darse e la lotería primitiva? Qué posibilidades hay de que me toque los cuatro ases e ua mao de tute? De cuátas formas se puede setar 5 persoas e 5 asietos de u cie? Trataremos de dar respuesta a estas cuestioes y alguas más. 1. MUESTRAS SIN ELEMENTOS REPETIDOS 1.1. Variacioes si repetició u ordiarias omecemos co la siguiete preguta: De cuátas maeras podemos repartir los primeros premios de u cocurso etre 8 persoas? Si desigamos a las persoas co las 8 primeras letras del abecedario a, b, c, d, e, f, g y h, ua maera posible sería abc, otra bad, otra fgh. Debemos, pues, agrupar las 8 letras (persoas) de e si repetir igua, porque ua misma persoa o se puede llevar más de u premio, y cosiderado el orde, ya que o es lo mismo obteer el 1 er premio que el 2º o el º. E matemáticas cosideramos que estamos calculado variacioes si repetició de 8 elemetos tomados de e. E geeral defiimos: Las variacioes si repetició de elemetos tomados de e,, so los distitos grupos ordeados que se puede formar co los elemetos, de maera que: E cada grupo etre elemetos diferetes. Dos grupos so diferetes si se diferecia e algú elemeto, o si costa de los mismos elemetos, cuado estos se dispoe e distito orde. Se represeta por V. Veamos como se procede a la formació ordeada de las variacioes si repetició y el úmero de ellas. Se llama variacioes moarias a las variacioes de elemetos tomados de 1 e 1, biarias a las variacioes (si repetició) de elemetos tomados de 2 e 2, terarias a las tomadas de e, etc... 1 / 16

2 Para formar las variacioes si repetició de elemetos tomados de e se procede como sigue. Primero se forma las variacioes moarias. A cotiuació se forma las biarias colocado a la derecha de cada variació moaria cada uo de los elemetos del cojuto formado por esos elemetos, excepto aquellos que ya figura e las variacioes moarias. Después se forma las variacioes terarias colocado a la derecha de cada variació biaria cada uo de los elemetos del cojuto que o forme ya parte de ellas, y así sucesivamete. Ejemplo: Formemos las variacioes si repetició de los elemetos a, b, c y d tomados de e : Variacioes moarias: a b c d ab ac ad ba bc bd Variacioes biarias: ca cb cd da db dc abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc Variacioes terarias: cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb Veamos el úmero de las variacioes si repetició: Si teemos elemetos y queremos extraer u grupo ordeado y si repetició de tamaño ( ), razoemos de este modo: El primer elemeto lo podemos elegir etre elemetos. El segudo, al o poder repetir, podemos elegirlo etre 1 elemetos. El tercero, al o poder repetir, podemos elegirlo etre 2 elemetos. El elemeto, lo podremos elegir etre + 1 elemetos. 1 2 Por tato, el úmero de variacioes moarias es V =, el de biarias es V = ( 1), el de las terarias es V = ( 1) ( 2) y aplicado este pricipio de multiplicació e total hay: V = ( 1)... ( + 1) Observa que e el producto que defie V tiee exactamete factores decrecietes a partir de (el primero es y vamos dismiuyedo cada factor e ua uidad hasta coseguir factores) Ejemplos: 1. Las variacioes si repetició de los elemetos a, b, c y d tomados de e so: V = 4 2 = De cuátas formas se puede elegir 2 cartas, extraídas sucesivamete y si repetir, de ua baraja española? La primera se puede elegir de 40 formas. La seguda, al o poder repetir, sólo se puede elegir de 9 maeras. Por tato, e total hay V = 40 9 = 1560 posibilidades / 16

3 . Seis ciclistas llega al sprit e ua prueba de las Olimpiadas, De cuátas maeras se puede colocar los tres primeros puestos? Para el primer puesto hay 6 posibilidades. Para el segudo, sólo 5 posibilidades. Para el tercero, queda 4 opcioes. Por tato hay e total V = = 120 maeras. 6 (Nota: Observa que, idica el úmero de factores que hay que multiplicar, por ejemplo, e los ejemplos ateriores, e el segudo los grupos era de tamaño 2 y multiplicábamos 2 factores, y e el tercero era muestras de tamaño tres y multiplicábamos tres factores). Ejercicio 1: uátos úmeros de cuatro cifras o repetidas se puede formar co las cifras del 1 al 9 (ambas iclusive)? Solució: 024 úmeros Permutacioes si repetició u ordiarias De cuátas maeras se puede setar 8 persoas e u baco co 8 plazas? omo hay el mismo úmero de plazas que de persoas, se trata de cambiar éstas de lugar. Es decir, se tiee que calcular el úmero de agrupacioes de 8 elemetos tomados de 8 e 8, cosiderado el orde de colocació: V = = 4020 Las permutacioes so u caso particular de las variacioes si repetició e las que se toma todos los elemetos dispoibles, es decir, =. Así pues, dos permutacioes diferetes sólo se diferecia e el orde de colocació de sus elemetos. Si desigamos por P al úmero de permutacioes de elemetos, se tiee: P = V = ( 1)... ( + 1) = ( 1)... 1 El producto de todos los úmeros eteros desde el 1 hasta el se deomia factorial de y se represeta por!. Por defiició, 0! = 1 y 1! = 1. Evidetemete o existe los factoriales de los úmeros. Por tato este caso particular de variacioes si repetició se deomia permutacioes si repetició de elemetos y se expresa: P =! Ejemplo: De cuátas maeras se puede setar 5 persoas e 5 asietos e u cie? La primera persoa se puede setar e 5 sitios. La seguda sólo e 4, la tercera e, la cuarta e 2 y la quita e 1. De modo que hay = 120 posibilidades, es decir, P 5 = 5! = 120. Ejercicio 2: uátas palabras de 8 letras (co o si setido) se puede formar co las letras A, B,, D, E, F, G y H si repetir igua? Solució: 4020 palabras. / 16

4 1.. ombiacioes si repetició u ordiarias De cuátas maeras podemos seleccioar a persoas de u grupo de 10 para realizar u determiado trabajo? Teemos que calcular el úmero de agrupacioes de elemetos que podemos formar co los 10 iiciales si repetir iguo, pues las persoas tiee que ser diferetes, y si cosiderar el orde pues va a desempeñar el mismo trabajo. Por tato, si formamos las variacioes si repetició de elemetos tomados de e y prescidimos de las variacioes que tiee los mismos elemetos pero colocados e distito orde, obtedremos las combiacioes de 10 elemetos tomados de e. E geeral, se defie: Las combiacioes si repetició de elemetos tomados de e,, so los distitos grupos que se puede formar co los elemetos, de maera que: E cada grupo etre elemetos. Dos grupos so distitos si se diferecia e algú elemeto. Se represeta por. Para formar las combiacioes si repetició de elemetos tomados de e se procede como sigue: Recordemos que las variacioes co repetició, y por tato, de las permutacioes es esecial el orde de colocació de sus elemetos, de modo que dos variacioes que tega los mismos elemetos será diferetes si se diferecia e el orde de colocació de los mismos. Vamos a costruir las combiacioes si repetició a partir de las variacioes si repetició prescidiedo e éstas últimas del orde de colocació de sus elemetos. Podemos represetar ua combiació de elemetos por cualquier variació si repetició que cotega a esos elemetos, de modo que si sabemos formar las variacioes si repetició tambié sabremos formar las combiacioes. Ejemplo: Formemos las combiacioes si repetició de los elemetos a, b, c y d tomados de e : ombiacioes moarias: a b c d ab ac ad ba bc bd ombiacioes biarias: ca cb cd da db dc ombiacioes terarias: abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb 1 4 = V4 4= = = 6 2 2! 4 2 V4 4= = = 4 = 4 6! 4 / 16

5 Formalizado lo aterior, si teemos elemetos y se forma grupos de tamaño ordeadas sería: V = ( 1)... ( + 1) Pero como so o ordeadas teemos que dividir por el úmero de maeras de ordear esos grupos de tamaño, es decir hay que dividir por: P =! Resumiedo, el úmero de grupos o ordeados y si repetició de tamaño que se extrae de u cojuto de elemetos es: V P A estos grupos o ordeados y si repetició se deomia ombiacioes si repetició y las expresaremos: V = P El úmero de combiacioes si repetició se recuerda de maera más secilla mediate otra fórmula: = La expresió se deomia úmero combiatorio y se lee sobre. Ua regla secilla que permite calcular este úmero combiatorio es: =!! ( )! Ejemplos: 1. Supogamos que teemos ua bolsa co 5 bolas umeradas del 1 al 5. Sacamos dos bolas, si importaros el orde y si repetir, cuátos posibles resultados hay? Examiemos las posibilidades. Si el orde fuese importate ya sabemos que tedríamos 5 4 = 20 2 posibilidades ( V 5 = 5 4) que sería: 1, 2 1, 1, 4 1, 5 2, 1 2, 2, 4 2, 5, 1, 2, 4, 5 4, 1 4, 2 4, 4, 5 5, 1 5, 2 5, 5, 4 Ahora bie, como o os importa el orde, para osotros las parejas (2, 1) y (1, 2) que so 2, e realidad sólo debería cotar como ua, y lo mismo ocurre co el resto de parejas. Estamos cotado cada pareja 2 veces. Por tato, para obteer el úmero de parejas que buscamos teemos que dividir etre 2. As í resulta que el úmero de muestras o ordeadas y si repetició que 2 2 V5 20 teemos es de: 5= = = 10, sólo 10 posibilidades que so: 2! 2 5 / 16

6 (1, 2), (1, ), (1, 4), (2, ), (2, 4), (2, 5), (, 4), (, 5), (4, 5) Si sacásemos bolas e lugar de 2, tedríamos los tríos: 1,2, ; 1,2,4 ; 1,2,5 etc... e total 5 4 = 60 posibilidades ( V 5 = 5 4 ). Razoado de igual maera al caso aterior, todos aquellos tríos e los que estuviese por ejemplo, el 1, el 2 y el estaría repetidos. Ahora bie, cuátas veces se repite cada trío? Veamos, tomado como ejemplo los tríos co 1, 2 y obteemos: 1,2, ; 1,,2 ; 2,1, ; 2,,1 ;,1,2 ;,2,1, esto es, 6 posibilidades (P =!) que e realidad represeta lo mismo pues o os importa el orde. Lo mismo ocurre co cada trío, de modo que cada uo de ellos se repite 6 veces, así pues si o teemos e cueta el orde, el úmero de muestras o so 60 sio: V5 60 5= = = 10 maeras! 6 Ejercicio : Escribir los 10 tríos del ejemplo aterior. 2. De cuátas maeras se puede sacar bolas umeradas e cualquier orde, de ua bolsa que cotiee 5 bolas? Sería combiacioes de 5 elemetos de los que sacamos, es decir, teemos que calcular: 5 5 5! = = = 10! 2! so las maeras que habíamos calculado e el ejemplo de la itroducció.. De cuátas formas se puede formar u grupo de trabajo de 6 alumos de etre ua clase de 27? E este caso so combiacioes (o importa el orde ) de 27 elemetos de los que se escoge 6, es decir: ! 27! 27= = = = ! (27 6)! 6! 21! Ejercicio 4: De cuátas maeras se puede extraer 6 bolas de u bombo que cotiee 49 bolas? (Lotería Primitiva) Solució: maeras. 2. MUESTRAS ON ELEMENTOS REPETIDOS 2.1. Variacioes co repetició omecemos plateado la siguiete preguta: qué y cuátos resultados se obtiee al lazar u dado dos veces? Pesemos e alguos posibles resultados, por ejemplo: (2, 2) es u resultado, (2, ) otro, pero tambié (, 2) es otro diferete (el orde sí que importa). Podemos etoces formar todos los posibles resultados, teiedo e cueta que se puede repetir y que e su formació ifluye el orde de colocació, si más que colocar a la derecha de cada elemeto iicial todos y cada uo de ellos: 6 / 16

7 1,1 1, 2 1, 1, 4 1,5 1, 6 2,1 2, 2 2, 2, 4 2,5 2,6 6,1 6, 2 6, 6, 4 6,5 6, 6 Obteemos así los 6 2 = 6 resultados posibles al lazar u dado 2 veces. E matemáticas se dice que hemos formado las variacioes co repetició de 6 elemetos tomados de 2 e 2, y hemos calculado su úmero, que si lo represetamos por VR = 6 2 = 6. E geeral, se defie: Las variacioes co repetició de elemetos tomados de e, so los distitos grupos ordeados que se puede formar co los elemetos, de maera que: E cada grupo etre elemetos, repetidos o o. Dos grupos so diferetes si se diferecia e algú elemeto, o si costa de los mismos elemetos, cuado estos se dispoe e distito orde. Se represeta por VR. Veamos cual es su úmero. Si el cojuto iicial tiee elemetos y se forma grupos de tamaño, pero ahora permitimos repeticioes, procedemos así: 2 6 El primer elemeto se puede elegir de maeras. omo podemos repetir, el segudo tambié se puede elegir de maeras. El elemeto úmero se puede elegir tambié de maeras. E total tedremos: VR =... ( veces) = Para formar todas las variacioes si repetició de elemetos tomados de e se procede como sigue: Primero se forma las variacioes moarias. A cotiuació se forma las biarias colocado a la derecha de cada variació moaria cada uo de los elemetos del cojuto formado por esos elemetos. Después se forma las variacioes terarias colocado a la derecha de cada variació biaria cada uo de los elemetos del cojuto, y así sucesivamete. Ejemplos: 1. Formemos las variacioes co repetició de los elemetos a, b, c y d tomados de 2 e 2: Variacioes moarias: a b c d aa ab ac ad ba bb bc bd Variacioes biarias: ca cb cc cd da db dc dd 1 VR 4 = 4 1 = 4 2 VR 4 = 4 2 = 16 7 / 16

8 2. De cuátas maeras se puede elegir 2 cartas de ua baraja de 40 cartas, si tras sacar la primera ésta se devuelve a la baraja (co remplazamieto)? La primera se puede elegir de 40 maeras. La seguda, al poder repetir, tambié se puede elegir de 40 maeras. E total hay = 1600 formas. Ejercicio 5: uátos úmeros de tres cifras (o ecesariamete distitas) puede formarse co los dígitos 1, 6, 7, 8, 9? Solució: 125 úmeros Permutacioes co elemetos repetidos Las permutacioes co repetició de elemetos de los cuales hay u cierto úmero 1 iguales, otro úmero 2 iguales etre sí pero distitos de los ateriores, etc..., so cada ua de las distitas maeras de ordearlos. Por tato, dos cualesquiera se distiguirá, cuado meos, por el lugar que ocupa dos elemetos distitos. Los grupos aaab y aaba sirve como ejemplo de permutacioes distitas formadas por cuatro elemetos, de los cuales tres so iguales etre sí. Si queremos calcular el úmero de permutacioes de elemetos de los cuáles hay 1 de ua clase, 2 de otra, etc... de modo que r =, supogamos que teemos formado el cuadro co todas ellas. Si sustituimos los 1 elemetos iguales por otros distitos y luego los permutamos de todos los modos posibles coservado e sus puestos a los otros ( 1 ) elemetos, de cada grupo de este cuadro se obtedrá 1! grupos distitos. Si procedemos de igual modo co los 2 elemetos tambié iguales etre sí (auque distitos de los ateriores y así sucesivamete, al fial llegamos a que el úmero de permutacioes co repetició es: P 1, 2,..., r! =!!...! 1 2 r Ejemplo: o las letras A, A, A, B y B, cuátas palabras, co o si setido, puede formarse? La A se repite veces y la letra B se repite 2 veces, y e total hay 5 letras. As í el úmero total de palabras so:,2 5! P 5 = = = = 10! 2! Dichas palabras sería: AAABB, AABAB, AABBA, ABAAB, ABABA, ABBAA, BAAAB, BAABA, BABAA y BBAAA. Ejercicio 6: o 5 sigos + y sigos, cuátas cadeas de símbolos se puede formar? Solució: ombiacioes co repetició Las combiacioes co repetició de elemetos tomados de e, so los distitos grupos que se puede formar co los elemetos, de maera que: E cada grupo etre elemetos, repetidos o o. Dos grupos so iguales si tiee los mismos elemetos, si importar su orde de colocació. Se represeta por R. 8 / 16

9 Nota: E el caso de las combiacioes co repetició, puede ser mayor que. El úmero de combiacioes co repetició se calcula a partir de la expresió: R + 1 = Ejemplo: Las combiacioes co repetició de las letras A, B, y D tomadas de e so: R = = = 20 Dichas combiacioes sería: AB, ABD, AD, BD, AAA, AAB, AA, AAD, BBA, BBB, BB, BBD, A, B,, D, DDA, DDB, DD y DDD. Ejercicio 7: uátos productos de cuatro factores escogidos etre los tres primeros úmeros primos se puede formar? Solució: 4 R = 6 4 = 15.. UADRO RESUMEN La siguiete tabla resume los distitos tipos de cofiguracioes vistas: Tipos de cofiguracioes aracterísticas Número Importa el orde. Variacioes V = ( 1)... ( + 1) ordiarias No puede repetirse los elemetos. Variacioes co repetició Permutacioes ordiarias Permutacioes co repetició ombiacioes ordiarias ombiacioes co repetició Importa el orde. Sí puede repetirse los elemetos. Importa el orde. Iterviee todos los elemetos. No puede repetirse los elemetos. Importa el orde. Iterviee todos los elemetos. Existe elemetos iguales etre sí. No importa el orde. No puede repetirse los elemetos. No importa el orde. Sí puede repetirse los elemetos. P 1, 2,..., r R VR = P =!! =!!...! 1 2 r = + 1 = 9 / 16

10 4. PRESOLUIÓN DE PROBLEMAS DE OMBINATORIA Para caracterizar las agrupacioes por las que se os preguta e u problema, debemos saber cotestar a estas cuatro pregutas clave: uátos elemetos tiee el cojuto base co los que se hace las agrupacioes? uál es el tamaño de las agrupacioes? E cada agrupació se puede repetir o o los elemetos? Ifluye el orde e el que está colocados los elemetos e cada agrupació? Así si cotestamos de maera correcta a esta cuatro pregutas, podremos resolver cualquier problema. Aquí tiees u diagrama que te ayudará: Importa el orde de colocació de los elemetos? SÍ NO Iterviee todos los elemetos e todas las agrupacioes? Puede repetirse los elemetos? SÍ NO SÍ NO Hay elemetos iguales etre sí? Puede repetirse los elemetos? SÍ NO SÍ NO ombiacioes co repetició ombiacioes ordiarias Permutacioes co repetició Permutacioes ordiarias Variacioes co repetició Variacioes ordiarias Ejercicio 8: uátos úmeros de tres cifras se puede formar co los dígitos 2,, 4 y 5?? Solució: 64 Ejercicio 9: uátas palabras de tres letras distitas se puede formar co las vocales a y e y las cosoates b, m y p? Solució: 60 Ejercicio 10: uátos úmeros de tres cifras distitas, formados co los dígitos, 5, 7 y 9, hay etre 500 y 800? Solució: 12 Ejercicio 11: uátos Números de 6 cifras so capicúas? Y de 5?? Solució: 919; 919 Ejercicio 12: De cuátas formas se puede elegir ua comisió de tres alumos etre los 27 que forma el grupo 1º B? Solució: 2925 Ejercicio 1: De cuátas maeras se puede extraer 2 bolas rojas y tres verdes de ua ura que cotiee 15 bolas rojas y 12 verdes? Solució: / 16

11 Ejercicio 14: Si el úmero de subcojutos de 2 elemetos que tiee el cojuto B es 10, cuátos elemetos tiee el cojuto B? Solució: 5 Ejercicio 15: De cuátas formas diferetes se puede setar 10 chicos e u baco? Solució: Ejercicio 16: uátas palabras distitas, co o si setido, se puede formar co todas las letras de la palabra PERMUTAIÓN, si que se repita igua letra? uátas empieza por E y termia e ON? Solució: ; 4020 Ejercicio 17: E u toreo participa 4 equipos. Forma todas las clasificacioes posibles del toreo. Solució: 24 Ejercicio 18: De cuátas maeras diferetes se puede setar 5 persoas alrededor de ua mesa? Solució: 24 Ejercicio 19: o las cifras 6, 7, 8 y 9, cuátos úmeros de 6 cifras se puede formar? uátos de ellos termia e 6? uátos de ellos so mayores de ? Solució: 4096; 1024; 072 Ejercicio 20: uátas palabras puede formarse co todas las letras de ELOISA si que haya dos cosoates jutas? Solució: 480 Ejercicio 21: uátas palabras de cico letras puede formarse co las vocales A y E y las cosoates B, y D, de forma que las vocales ocupe los lugares 2º y 4º de la palabra? Solució: 108 Ejercicio 22: uátos helados diferetes de 2 bolas se puede formar co 10 sabores distitos? Solució: NÚMEROS OMBINATORIOS. TRIÁNGULO DE TARTAGLIA. BINOMIO DE NEWTON 4.1. Propiedades de los úmeros combiatorios a) Para cualquier úmero atural, se cumple: = = 1 0 b) Para cualquier úmero atural, se cumple: = = 1 1 c) Para cualesquiera úmeros aturales y, tales que, se cumple: d) Para cualesquiera úmeros aturales y, tales que <, se cumple: = = / 16

12 4.2. Triágulo de Tartaglia Es ua tabla que cotiee e cada fila todos los úmeros combiatorios co al mismo ídice superior, empezado por = 0. Fila 0 Fila 1 Fila 2 Fila Fila 4 Fila Veremos a cotiuació ua aplicació práctica del triágulo de Tartaglia para obteer los coeficietes del desarrollo del Biomio de Newto, que so úmeros combiatorios. 4.. Biomio de Newto El problema cosiste e calcular el desarrollo de la potecia -ésima de u biomio, (a + b), siedo cualquier úmero atural. Utilizado las propiedades de las operacioes co expresioes algebraicas, obteemos el desarrollo para los primeros valores de : Desarrollo oeficietes = 1 (a + b) 1 = a + b 1 1 = 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b = (a + b) = a + a 2 b + ab 2 + b 1 1 = 4 (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a 2 b 2 + 4ab + b = 5 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a b a 2 b + 5ab 4 + b Todas las potecies de (a + b) tiee las siguietes características: El úmero de térmios de (a + b) es ( + 1). ada térmio es el producto del coeficiete, ua potecia de a y otra potecia de b. Todos los térmios del desarrollo tiee igual grado. Los coeficietes so los elemetos de la fila -ésima del triágulo de Tartaglia. Los expoetes de a dismiuye de uo e uo, desde hasta 0. Los expoetes de b aumeta de uo e uo, desde 0 hasta. 12 / 16

13 Puede demostrarse que estas características se cumple e cualquier potecia del tipo (a + b), para atural, por lo que e geeral: (a + b) = 0 a b a 1 b a 2 b Esta expresió se cooce como Biomio de Newto. 1 a1 b 1 + a0 b Nota: Para obteer el desarrollo de (a b) basta cosiderar que (a b) = a + ( b). Luego: (a b) = a b 0 a 1 b 1 + a 2 b ( 1) a 1 b 1 + ( 1) a 0 b 4.4. Números combiatorios y factoriales e la calculadora Las calculadoras cietíficas posee alguas teclas útiles para el cálculo de factoriales y úmeros combiatorios. Para el factorial, se utiliza la tecla!, que suele ecotrarse sobre algua otra tecla, por lo que al utilizarla habrá que presioar ates la tecla SHIFT (o INV). Dado que los factoriales crece a ua velocidad eorme, u calculadora ormal sólo puede calcular hasta el factorial de 69, y ya si pretedemos calcular 70!, se produce u mesaje de error. Observemos que u úmero ta iofesivo como 1! ya tiee u valor de Para el caso de los úmeros combiatorios, alguas calculadoras posee ua fució para calcularlos. Suele estar situada sobre la tecla de la divisió (depede mucho del modelo de calculadora). Dicha fució es r y calcula el úmero combiatorio r, de modo que si queremos calcular 5, basta co itroducir el 5, luego SHIFT (o INV), posteriormete el y luego presioar la tecla de = para obteer 10. (Ya lo habíamos calculado ates). Evidetemete si algua de estas fucioes tiee ua tecla propia e la calculadora, es decir, o está ecima de otra, o es ecesario presioar la tecla SHIFT (o INV) para operar co ella. 1 / 16

14 EJERIIOS 1. uátos úmeros de 4 cifras se puede formar co los dígitos del 1 al 9? a) Si que se repita iguo. b) Pudiedo repetir cifras. Solució: a) 024; b) o los siete primeros úmeros, cuátas sumas diferetes de tres sumados distitos podemos hacer? Solució: 5. Ua líea circular de autobuses costa de 17 paradas. uátos billetes tiee que imprimirse si cada uo debe llevar la parada de orige y la de destio? Solució: De cuátas maeras puede setarse 8 persoas e u baco alargado? Y e u baco circular? Solució: 4020; El domió es u juego que costa de 28 fichas; suele participar 4 jugadores diferetes que recibe 7 fichas cada uo. uátos juegos de fichas diferetes puede teer cada jugador? Solució: E u exame hay que cotestar 8 pregutas etre las 16 propuestas. uátas cotestacioes diferetes podría darse? Solució: a) uátas baderas de 4 colores se puede hacer co los siete colores del arco iris? b) Y si e todas debe estar el color rojo? c) uátas hay co el color verde, pero o co el color egro? Solució: a) 840; b) 480; c) Se extrae 4 cartas de ua baraja de 40, si reemplazamieto. De cuátas maeras distitas puede hacerse? Y si fuera co reemplazamieto? Solució: 21960; o los úmeros pares 2, 4, 6 y 8 y co el úmero impar 5: a) uátos úmeros de 4 cifras se puede formar? b) uátos so de cuatro cifras distitas? c) uátos comieza por 5? d) uátos so mayores de 7000? Solució: a)625; b)120; c)125; d) uátos equipos de fútbol se puede formar co los alumos de ua clase de 0? Y si dos de ellos sólo actúa de porteros? Solució: ; o las letras de la palabra ALUMNO, cuátas ordeacioes distitas se puede hacer, de modo que o aparezca dos vocales jutas? uátas tiee dos cosoates jutas? Solució: 144; uátas rectas puede trazarse uiedo 20 putos de u mismo plao y tales que o haya igú grupo de tres que esté alieados? Solució: / 16

15 1. E la fial de 100 metros espalda de atació participaro 8 adadores. a) De cuátas formas pudo formarse el podio? b) Si hay 2 alemaes, 2 orteamericaos, 1 chio, 1 ruso, 1 australiao y 1 iglés, uátos grupos de baderas pudiero izarse? c) Y si gaaro tres países distitos? Solució: a) 6; b) 150; c) uátas quiielas puede hacerse co seis 1, tres X y seis 2? Solució: Se tiee 8 libros distitos grades, 7 mediaos y pequeños. De cuátas maeras diferetes se puede aliear e u estate si ha de colocarse jutos los del mismo tamaño? Solució: E ua liga de balocesto juega 20 equipos, todos cotra todos dos veces (ida y vuelta). uátos partidos se habrá jugado al fial de la misma?. Solució: 80 partidos 17. o los dígitos 1, 2,, 4 y 5: a) cuátos úmeros de cico cifras, si repetició, se puede formar?[120 úmeros] b) uátos de esos úmeros empieza por 1? c) uátos termia e 5? d) uátos empieza por 1 y acaba e 5? e) uátos so pares? f) uátos so múltiplos de 5? g) uátos so mayores que 20000? Solució: a) 120 ; b) 24 ; c) 24 ; d) 6 ; e) 48 ; f) 24 ; g) U club de balocesto dispoe de 10 jugadores de los cuales juega 5 a la vez. uátos equipos distitos de 5 jugadores puede sacar el etreador para cada partido? Solució: 252 equipos 19. o las letras de la palabra INEMA: a) uátas palabras distitas de 6 letras, tega setido o o, se puede formar? b) uátas termia e A? c) uátas empieza co N? d) uátas empieza co y termia e I? e) uátas empieza co vocal? f) uátas tiee vocal y cosoate alteradas? Solució: a) 720 ; b) 120 ; c) 120 ; d) 24 ; e) 60 f) Siete chicos e igual úmero de chicas quiere formar pareja para el baile. uátas parejas distitas se puede formar? Solució: 91 parejas 21. Si las matrículas de vehículos estuviese formadas por u úmero de cuatro dígitos y de dos letras, si repetirse igua (abecedario de 28). uátas matrículas distitas se puede formar? Solució: Supoiedo que existiera 100 elemetos distitos e la aturaleza y que cada sustacia estuviese formada por exclusivamete. uátas sustacias distitas tedríamos? Solució: sustacias 15 / 16

16 2. o los dígitos 1, 2,, 4, 5, 6 y 7 cuátos úmeros de tres cifras se puede hacer? Solució: Se dispoe de siete colores para diseñar ua badera que tiee tres frajas horizotales de igual acho pero de distito color. a) uátas baderas se puede diseñar que o tega igú color repetido? b) Y si se puede repetir los colores? Solució: a) 210 ; b) ico jueces de u deporte determiado dispoe de ua cartulia e la que por u lado hay u 1 y por el otro u 0. uátas combiacioes puede darse? Solució: a) uátas quiielas de 14 hay que hacer que tega cico 1, cico 2 y cuatro X? b) uátas que tega trece 1 y ua X? Solució: a) ; b) uátas palabras se puede formar co las letras de la palabra ALABAZA? Solució: E ua carrera participa cico coches. uátas clasificacioes se puede producir al fial, si cada uo de los coches emplea distitos tiempos? Solució: Resolver la ecuació: Solució: x = 2 = + x x De cuátas maeras se puede setar tres chicos y tres chicas e fila, alteradamete. Solució: U estudiate tiee que resolver ocho cuestioes de doce e u exame. a) De cuátas maeras puede elegirlas? b) Y si las tres primeras so obligatorias? c) Y si tiee que cotestar sólo a tres de las cico primeras? Solució: a) 495 ; b) 126 ; c) De cuátas formas se puede setar cuatro amigos e ua mesa de seis cubiertos? Solució: 60. De cuátas formas puede repartirse siete libros etre siete iños si: a) Los libros so distitos. b) Hay cuatro libros iguales y el resto distitos. c) Los libros so todos distitos y queremos que a Jua le toque el de ovelas y a Pedro el libro de cuetos. Solució: a) 5040 ; b) 210 ; c) uátas permutacioes del cojuto de úmeros 1, 2,, 4, 5 y 6, satisface la codició: el 1 está e primera posició y el 4 e la tercera? Solució: E ua cafetería hay 4 tipos de bocadillos para comer. De cuátas maeras distitas se puede elegir seis bocadillos de etre los 4 tipos? Solució: / 16