TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 3

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1 TEMAS DE MATEMÁTICAS OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 3 TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA.. Itroducció.. Técicas de Recueto. 3. Variacioes. 3.. Variacioes Ordiarias. 3.. Variacioes co Repetició. 4. Permutacioes. 4.. Permutacioes Ordiarias. 4.. Permutacioes co Repetició. 5. Combiacioes. 5.. Combiacioes Ordiarias. 5.. Números Combiatorios Combiacioes co Repetició. 6. Combiatoria Clásica y alguas tedecias actuales de la combiatoria. Bibliografía Recomedada. /8

2 TEMA 3 TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA.. INTRODUCCIÓN. El Aálisis Combiatorio, o Combiatoria, estudia las diferetes formas e que podemos ordear o agrupar uos elemetos dados siguiedo uas determiadas reglas establecidas. Se prescide de la aturaleza de los elemetos u objetos, pero o del orde. Es por ello que resulta ecesario distiguir etre si los objetos del mismo cojuto, ya que o so equivaletes. La combiatoria os va a permitir cotestar a pregutas del tipo: Cuátos úmeros de dos cifras se puede formar co los dígitos 0,, y 3? Cuátas clasificacioes distitas se da etre cico equipos de futbol? Resumiedo, la combiatoria os proporcioa algoritmos para averiguar la catidad de agrupacioes que, bajo determiadas codicioes, se puede formar co los elemetos de u cojuto. Segú las características de los grupos y la aturaleza de los elemetos, os podemos ecotrar co variacioes, permutacioes y combiacioes.. TÉCNICAS DE RECUENTO. Las técicas de recueto trata del estudio de las ordeacioes de los elemetos de u cojuto. A lo largo de las distitas situacioes que puede darse, so dos los tipos de problemas que os podemos ecotrar. Por u lado teemos los llamados problemas de existecia, que aaliza la posibilidad de la existecia de las agrupacioes pedidas. Por otro lado, los problemas de eumeració que os va a permitir determiar el úmero de clasificacioes posibles. Las técicas de recueto más utilizadas so: a) Paridad. Esta técica os permite resolver los problemas de existecia ombrados ateriormete. U cojuto puede teer u úmero par o impar de elemetos. Si probamos que tiee u úmero impar, estamos e codicioes de afirmar que al meos hay uo. Quedaría así demostrada su existecia. b) Correspodecia uo a uo. Técica utilizada para el recueto de elemetos detro de u cojuto. Se trata de coseguir establecer ua aplicació biyectiva etre el cojuto de estudio y ua secció S) de. E caso de que podamos establecerla, diremos que el /8

3 cojuto tiee elemetos, o lo que es lo mismo, el cardial del cojuto CardA)) es. c) Regla del producto. Sea P u cojuto co elemetos y Q otro cojuto co m elemetos. El úmero de eleccioes distitas de u elemeto de P y otro de Q es m. Esta regla se puede exteder a más de dos cojutos. Puede resultar útil cuado el cojuto del cual queremos hallar su cardial o está ordeado o o resulta secillo establecer ua biyecció co algua secció de. 3. VARIACIONES. 3.. Variacioes Ordiarias. DEF Sea A u cojuto co m elemetos, A{a, a,, a m }. Llamaremos variacioes -arias de orde ) de los m elemetos del cojuto A a todo cojuto ordeado formado por elemetos cualesquiera elegidos etre ellos si elegir más de ua vez u elemeto. Cosideraremos distitas dos variacioes si difiere e algú elemeto o, si teiedo los mismos elemetos, difiere e el orde de colocació de los mismos. Al úmero de variacioes -arias formadas por m elemetos cualesquiera, lo represetaremos por V m, o V m Ejemplo: Si u aula tiee 5 sillas e primera fila y etra 5 iños, De cuátas formas distitas podemos compoer esa primera fila? Sol: Aquí os ecotramos co variacioes ordiarias de 5 elemetos tomados de 5 5 e 5. Sería V 5,5 o V 5 Veamos ahora como podemos calcular ese úmero. PROP El úmero de variacioes -arias o de orde que se puede formar co m objetos cualesquiera, es igual al úmero de variacioes de orde - que se puede formar co los m objetos multiplicado por m-+. V m, m-+) V m,- Sea A el cojuto formado por los m elemetos A{a, a,, a m }. Vamos a realizar la demostració por iducció e. Para Para Está claro que existe m formas diferetes de elegir sólo elemeto etre m. Luego V m, m Para coseguir todas las variacioes de orde basta añadir a las de orde u uevo elemeto del cojuto A elegido etre los m- o 3/8

4 Supogamos cierto para - usados. Como para la elecció del primer elemeto teemos m objetos y para elegir el segudo m-, segú la regla del producto, obtedremos m m-) variacioes biarias. Luego V m, m m-) que es lo mismo que V m, V m, m-) Para Aálogo al caso. Para coseguir todas las variacioes de orde basta añadir a las variacioes de orde - u uevo elemeto del cojuto A elegido etre los m-+ o utilizados. Por tato V m, V m,- m-+) PROP El úmero de variacioes de orde de m elemetos es V m, m m-) m-) m-+) Como por la proposició aterior teemos que V m, V m,- m-+) V m,- V m,- m-+) V m, V m, m-) V m, m Variacioes -arias Variacioes -)-arias Variacioes biarias Variacioes uitarias. Sustituyedo reiteradamete obteemos: V m, m m-) m-) m-+) Ejemplo: Dados cuatro amigos: Jua, David, Iva y Alberto, decide hacer u toreo de Pig-Pog. Obteer las diferetes clasificacioes que se puede dar para los tres primeros puestos. Para obteer las variacioes de orde 3 siguiedo el método de la proposició, hay que obteer primero las de orde. Y para coseguir éstas, hemos de partir de las de orde. Variacioes orde Jua David de Variacioes de orde Variacioes de orde 3 Jua, David Jua, David, Iva Jua, David, Alberto Jua, Iva Jua, Iva, David Jua, Iva, Alberto Jua, Alberto Jua, Alberto, David Jua, Alberto, Iva David, Jua David, Jua, Iva David, Jua, Alberto David, Iva David, Iva, Jua David, Iva, Alberto 4/8

5 Iva Alberto David, Alberto David, Alberto, Jua David, Alberto, Iva Iva, Jua Iva, Jua, David Iva, Jua, Alberto Iva, David Iva, David, Jua Iva, David, Alberto Iva, Alberto Iva, Alberto, Jua Iva, Alberto, David Alberto, Jua Alberto, Jua, David Alberto, Jua, Iva Alberto, David Alberto, David, Jua Alberto, David, Iva Alberto, Jua Alberto, Iva, Jua Alberto, Iva, David M m m-) m m-) m-) PROP Sea los cojutos AS) co S){,,, }) y B{b, b,,b m } tal que CardA) y CardB)m co m. El úmero de aplicacioes iyectivas etre A y B coicide co el úmero de variacioes de orde de m elemetos. Recordemos que f:a B e iyectiva siempre que se verifique que a,a A co a a fa ) fa ). Es decir, a elemetos distitos e A, imágees diferetes e B. Vamos a realizar la demostració por iducció e CardA) Para f:{} {b, b,,b m }. Podemos tomar como image del, f)b i co i:,,m Por tato obteemos m aplicacioes iyectivas diferetes. Número de aplicacioes iyectivas m V m, Hipótesis de iducció. Sea f:{,,, -} {b, b,,b m } Iyectivas. Supogamos que el úmero de aplicacioes f iyectivas es V m,-. Para teemos f:{,,, } {b, b,,b m } iyectiva. Para calcular su úmero basta teer e cueta que las imágees de elemetos {,,,-} se puede elegir de V m,- maeras distitas hipótesis de iducció) y que ua vez elegidas estas imágees queda e el cojuto B m--) elemetos que o so image de igú elemeto del cojuto {,,, -}. Por tato, la image del elemeto se puede elegir de m-+ formas distitas. Luego el úmero de aplicacioes iyectivas f distitas sería V m,- m-+) que es lo mismo que V m,. 5/8

6 3. Variacioes co Repetició. DEF Dado u cojuto A co m elemetos, A{a, a,, a m }, llamamos variacioes co repetició -arias a los distitos cojutos ordeados que se puede formar co elemetos, cosiderado que cada elemeto puede figurar cualquier úmero de veces e ua misma variació. Al úmero de variacioes co repetició -arias que se puede formar co m elemetos se represeta por VR m,. PROP El úmero de variacioes co repetició -arias que se puede formar com m objetos cualesquiera es igual al úmero de variacioes co repetició de orde - que se puede formar co m objetos, multiplicado por m. VR m, VR m,- m La demostració es aáloga a la de variacioes ordiarias. Vamos a realizar la demostració por iducció e. Para Trivialmete VR m, m Para - Para Por hipótesis de iducció VR m,- VR m,- m Supogamos ya formadas las variacioes co repetició de orde -. Para obteer las variacioes co repetició de orde bastará co añadir a cada ua de ellas u elemeto cualquiera de etre los m que dispoemos. Así, por cada variació co repetició de orde - obteemos m variacioes co repetició de orde. Las variacioes - arias así formadas so todas, ya que si hubiera ua que o estuviese, quitádole el último elemeto obteemos ua -)-aria y como el elemeto está etre los m a elegir, llegamos a ua cotradicció. Por tato, podemos afirmar que VR m, VR m,- m PROP El úmero de variacioes co repetició de orde de m elemetos es VR m, m. Aplicado el resultado obteido e la proposició aterior: VR m, m VR m, VR m, m VR m, VR m,- m Al fial, sustituyedo e la expresió iferior la aterior a ella, obteemos VR m, m 6/8

7 Ejemplo. Dados cuatro amigos, Jua, David, Iva y Alberto, decide jugar dos toreos de Pig-Pog. Obteer los posibles campeoes de ambos toreos. E este caso hemos de calcular las variacioes co repetició de 4 elemetos tomados de e. Aplicado el procedimieto costructivo de la proposició aterior teemos: VR de orde VR de orde Jua, Jua Jua, David Jua Jua, Iva Jua, Alberto David, Jua David, David David David, Iva David, Alberto Iva, Jua Iva, David Iva Iva, Iva Iva, Alberto Alberto, Jua Alberto, David Alberto Alberto, Iva Alberto, Alberto PROP Sea los cojutos AS) y B{b, b,,b m } tal que CardA) y CardB)m. El úmero de aplicacioes etre A y B coicide co el úmero de variacioes co repetició de m elemetos de orde VR m.. Vamos a realizar la demostració cotado el úmero de aplicacioes distitas. Sea f: {,,, } {b, b,,b m } aplicació. Para A, el úmero de posibles imágees, f), puede ser m, ya que f)b j para algú j:,, m. Para A, teemos que f) puede tambié tomar como valor cualquier b j co j:,, m. Al o requerir para f la iyectividad, podemos permitir que y tega la misma image. Lo mismo podemos decir para el resto de elemetos de A. Por tato fi)b j co i:,, y j:,,m Como cada elemeto de A tiee m posibilidades de elegir la image y A tiee elemetos, resulta m formas distitas de elegir las imágees para todos los elemetos de A. 7/8

8 El úmero total de aplicacioes etre A y B es m CardB) CardA) y m VR m,. 4. PERMUTACIONES. 4.. Permutacioes Ordiarias. DEF Llamaremos permutacioes ordiarias de elemetos a las variacioes de elemetos de orde. Lo represetaremos por P. Las permutacioes ordiarias so u caso particular de las variacioes ordiarias. OBS Dado u cojuto A{a, a,, a }, dos permutacioes de los elemetos de A sólo se diferecia e el orde de colocació de sus elemetos ya que todas estará formadas por todos ellos. DEF Sea. Se llama factorial de, y se represeta por, al producto de los primeros úmeros aturales, comezado e el. -) -) 3 DEF Defiimos el factorial de 0 como 0. PROP Se verifica: ) +) +) ) +) +) m m co m> Imediata a partir de la defiició. Co esta ueva otació podemos expresar las variacioes de m elemetos de orde de la siguiete maera: m V m, m ) PROP El úmero de permutacioes de elemetos es. Por defiició de permutacioes teemos que P ) 0 V, Veamos ahora u método costructivo para formar permutacioes: PROP Sea el cojuto A{a, a,, a }. Supogamos formadas todas las permutacioes co los - elemetos primeros. Para obteer todas las permutacioes de 8/8

9 orde, tomaremos el elemeto a, y e cada ua de las permutacioes de orde - colocaremos el elemeto a de todas las formas posibles. Vamos a realizar la demostració por iducció e. Para Para Para 3 A{a }. Como el cojuto A costa de u solo elemeto, existirá ua sola permutació P A {a, a }. Dada la úica permutació de orde, para obteer las de orde tedremos que colocar a e todas las posicioes posibles co respecto a a : a a y a a. P Igualmete, partiedo de las dos permutacioes de orde, colocaremos a 3 e todos los lugares posibles: a a a a a 3 a a 3 a a 3 a a a a a a a 3 a a 3 a a 3 a a P 3 36 Para Repetimos el proceso aterior. Partiedo de ua permutació de orde -, colocamos a e todos los lugares posibles, que so sitios distitos. Luego por cada permutació de orde - obteemos de orde. P P - -) Comprobemos que so todas. Sea a a a ua permutació cualquiera de orde. Elimiado el elemeto a obteemos ua permutació de orde -. Sabiedo lo aterior, si teemos dos permutacioes de orde que procede de la misma permutació de orde -, al elimiar a obtedríamos la permutació de orde - de la que parte. Luego para que las permutacioes de orde - sea distitas, tiee que diferir e el lugar de colocació de a. Para la proposició siguiete hemos de teer e cueta este resultado, que o vamos a demostrar. LEMA Dados dos cojutos fiitos y o vacios A y B, que tiee el mismo cardial CardA)CardB) co ), se verifica para f: A B que f es biyectiva si y sólo si es iyectiva. PROP Sea A y B dos cojutos fiitos y co el mismo cardial. El úmero de aplicacioes biyectivas f: A B coicide co el úmero de permutacioes de orde. Por el resultado aterior, al ser A y B fiitos y co el mismo cardial, el úmero de aplicacioes biyectivas etre A y B coicide co el úmero de aplicacioes iyectivas etre los mismos cojutos. Pero ese úmero coicide co las variacioes de orde CardA) de CardB) elemetos. Pero como ambos cardiales so iguales, esas 9/8

10 variacioes so permutacioes de orde. Por tato obteemos como resultado lo que queríamos probar. Co este resultado podemos dar ua ueva defiició de permutació. DEF Sea A{a, a,, a }, u cojuto co elemetos,. Llamaremos permutació de los elemetos del cojuto A a cada ua de las biyeccioes del cojuto A e si mismo. DEF Dadas dos permutacioes distitas p y p de los elemetos del cojuto A{a, a,, a }, diremos que los elemetos a i y a j forma iversió e la permutació p co respecto a p si el orde e el que figura e ambas es iverso. E caso cotrario se dice que forma permaecia. Ejemplo. p a a a 3 a 5 a 4 Sea A{a, a, a 3, a 4, a 5 } y sea dos permutacioes p a a 4 a 3 a a 5 y Pares que forma iversió: a 4, a 3 ), a 4, a ), a 4, a 5 ), a 3, a ) Pares que forma permaecia: a, a 4 ), a, a 3 ), a, a 5 ), a 3, a 5 ), a, a 5 ) DEF Se llama Ídice de la permutació p i co respecto a la permutació p j al úmero total de iversioes de la primera co respecto a la seguda. DEF Se dice que dos permutacioes so de la misma clase cuado el ídice de ua de ellas co respecto a la otra es cero o úmero par. DEF Ua permutació es de Clase Par cuado el úmero de iversioes de ésta co respecto a otra, tomada como referecia, es cero o u úmero par. E caso cotrario se dice que es de Clase Impar. OBS Suele ser comú tomar como permutació de referecia aquella que sigue el orde de los úmeros aturales. DEF Se llama Característica de ua permutació co respecto a otra al úmero -) i siedo i el ídice de la primera permutació co respecto a la seguda. DEF Si e ua permutació se cambia etre sí dos elemetos cualesquiera para obteer ua ueva permutació, se dice que se ha efectuado ua trasposició. PROP Si dada ua permutació, realizamos ua trasposició, la ueva permutació cambia de clase co respecto a la primera. Caso : Los elemetos que permutamos so cosecutivos. Supogamos que la permutació ya tiee iversioes co respecto a la de referecia. Si etre los elemetos que permutamos ya había iversió, ésta desaparece, quedado - iversioes. Si o la había, geeramos ua ueva, quedado + iversioes. E ambos casos, al variar sólo e ua uidad el 0/8

11 úmero de iversioes, la clase de la ueva permutació es par si la iicial era impar o al revés. Caso : Los elemetos que permutamos o so cosecutivos. Sea la permutació, a i,, a j, ). Queremos itercambiar a i y a j sabiedo que etre ellos hay elemetos. Realizado + iversioes situamos a j imediatamete ates de a i, a j, a i, ). Realizado iversioes situamos a i e el sitio iicial de a j volviedo a situar etre ambos elemetos. E total hemos realizado + iversioes. Si la permutacio iicial ya tuviese m iversioes co respecto a la de referecia, la ueva permutació tedría m++ iversioes. Si m es par m++ es impar Si m es impar m++ es par E cualquier caso, la permutació cambia de clase. OBS Dado el cojuto A{a, a,, a }, existe el mismo úmero de permutacioes de clase par que de impar. 4.. Permutacioes co Repetició. DEF Llamaremos permutacioes de elemetos etre los que hay r iguales etre sí, r iguales etre sí,, r p iguales etre sí co r +r + +r p a los distitos cojutos ordeados que se puede formar co los elemetos etre los que figura repetidos r, r r r r,, r p elemetos. Se deotará por P,,..., p. OBS Cosideraremos distitas dos permutacioes cuado difiera e el orde de colocació. PROP El úmero de permutacioes distitas que se puede formar co elemetos dode existe uo de ellos repetido r veces es P r r. Sea a, a,, a los elemetos de los cuales a, a,, a r co r< so iguales los tomamos así por coveio, sabiedo que si fuese otros, el resultado seguiría siedo el mismo). Como teemos elemetos, el úmero de permutacioes es. Pero si permutamos a, a,, a r etre sí, si alterar los -r restates, obteemos r permutacioes que so iguales etre sí. Por tato, podemos agrupar las permutacioes e clases de r elemetos, dode los elemetos de la misma clase so permutacioes todas ellas iguales, al haber variado sólo los r elemetos que so iguales. /8

12 Etoces Tedremos r. P r r clases o, lo que es lo mismo, r permutacioes distitas. PROP El úmero de permutacioes distitas que se puede formar co elemetos dode existe r elemetos iguales etre sí, r iguales etre sí, y r p iguales etre sí es P r, r,..., r p co r + r r p r r... r p Realizado el mismo razoamieto que e la proposició aterior, tedremos que itercambiado etre sí el elemeto que se repite r i veces i:,..,p) obtedremos r i permutacioes iguales. Por tato, el úmero de permutacioes totales tedrá que ser dividido por r i i:,,p para obteer el úmero de permutacioes distitas que hay. Dividir por r, y luego por r y así sucesivamete hasta llegar a r p es lo mismo que dividir por el producto de los r i. Queda, por tato, lo que queríamos demostrar. PROP El úmero de permutacioes co repetició del cojuto B{b, b,, b p } co el elemeto b i repetido r i veces i:,, p coicide co el úmero de aplicacioes suprayectivas f:s) B verificado que cada b i tiee r i atiimágees y que r +r + +r p 5. COMBINACIONES. 5.. Combiacioes Ordiarias. DEF Dado u cojuto A{a, a,, a } de elemetos, llamaremos combiacioes de elemetos tomados de e a todos los subcojutos de elemetos que se puede formar co los elemetos. Cosideraremos dos combiacioes diferetes cuado los cojutos que las forma sea distitos, es decir, cuado difiera e algú elemeto. Las represetaremos por C,. OBS E las combiacioes, al igual que e los cojutos, o ifluye el orde de sus elemetos. Por tato, cosideraremos a partir de ahora que los elemetos de los subcojutos está e el mismo orde que los del cojuto iicial. PROP Dado el cojuto A{a, a,, a }, obtedremos las combiacioes de elemetos a partir de las de - elemetos, si más que colocar, uo a uo, todos los elemetos que sigue, segú el orde del cojuto A, al último de la combiació de - elemetos cosiderada. Para So las combiacioes de elemetos tomadas de uo e uo o, por defiició, los subcojutos de u elemeto. Como hay sucojutos distitos de elemeto, será el úmero de combiacioes C,. /8

13 Para So las combiacioes de elemetos tomados de e. Para obteerlas, partimos de las combiacioes uitarias y agregamos a cada elemeto, uo a uo, los siguietes a él. A partir de {a } {a, a }, {a, a 3 },, {a, a } A partir de {a } {a, a 3 }, {a, a 4 },, {a, a } Y así sucesivamete. e. El mismo proceso se sigue para obteer las combiacioes de elemetos de A partir de {a, a,, a - } {a, a,, a -, a }, {a, a,, a -, a + } PROP El úmero de variacioes de orde que se puede formar co elemetos, A{a, a,, a }, es igual al úmero de combiacioes -arias que se puede formar co los elemetos, multiplicado por el úmero de permutacioes de orde, co. V, C, P La demostració es evidete si más que teer e cueta que a partir de cada combiació cojuto o ordeado de elemetos) obteemos cojutos ordeados escribiedo sus elemetos de todas las formas posibles permutacioes de elemetos). Así coseguimos todas las variacioes de elemetos tomados de e recordemos que la defiició de variació os decía que era subcojutos de elemetos ordeados). COROLARIO El úmero de combiacioes de elemetos tomados de e es C, ) Segú la proposició aterior V, C, P Por tato C, V P, ) ) 5.. Números Combiatorios. DEF A los úmeros se les llama úmeros combiatorios. Se represeta ) por y se lee sobre p. El úmero recibe el ombre de base y el úmero p de orde. OBS Segú esta ueva otació C,. 3/8

14 4/8 PROP 0 y 0) ) PROP ) )) ) PROP y ) ) ) y por la proposició aterior PROP ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) [ ] + + ) ) ) ) ) ) ) )

15 5/8 PROP Aplicado el resultado de la proposició aterior, teemos Si sumamos miembro a miembro todas las ecuacioes ateriores, y teiedo e cueta que obteemos la fórmula a demostrar. OBS Si escribimos por filas los úmeros combiatorios, situado e cada fila los que tega la misma base y e la fila de debajo los de base ua uidad mayor, resultará que cada úmero combiatorio es suma de los dos que tiee ecima de él aplicado la peúltima proposició) quedado de la siguiete maera: Los úmeros combiatorios de los extremos, segú la primera proposició, vale. Esta distribució e forma de triágulo recibe el ombre de triágulo de Tartaglia e hoor de Nícola de Fotaa, que lo llamaba Tartaglia debido a su tartamudez), siedo tambié coocido como triágulo de Pascal. Sustituyedo los úmeros combiatorios por sus valores, quedaría

16 3 3 A partir del triágulo de Tartaglia, obteemos los coeficietes del desarrollo de la potecia del biomio a+b), llamado Biomio de Newto. a+b) a+b a+b) a +ab+b a+b) 3 a 3 +3a b+3ab +b Por tato i i a + b) a b i 0 i Leibiz extedió este resultado a: a + a ap ) r, r,..., rp PR a + a a p 5.3. Combiacioes co Repetició. a a r r... a DEF Sea A{a, a,, a }. Llamaremos combiacioes co repetició de los elemetos de A, a los distitos subcojutos de elemetos dode los elemetos se puede repetir hasta veces, siedo dos subcojutos iguales cuado esté formados por los mismos elemetos y repetidos el mismo úmero de veces. Se deota por CR,. OBS El úmero de elemetos de cada subcojuto puede ser mayor que. Cuado esto sucede, etre las combiacioes co repetició se ecuetra las combiacioes si repetició de elemetos tomados de e. PROP E úmero de combiacioes co repetició de elemetos tomados de e que se puede formar co los elemetos A{a, a,, a } es + CR, rp p Para Para - Para Las combiacioes co repetició de elemetos tomados de uo e uo coicide co las combiacioes si repetició y so. Supogamos formadas para -, y colocados sus elemetos e cada combiació) e el mismo orde que aparece e el cojuto A Para formar los de elemetos, partiedo de las ateriores, añadiremos a cada ua el último elemeto que e ellas aparece y, sucesivamete, cada uo de los que le sigue segú el orde establecido e A. Obteemos así todas las combiacioes co repetició. 6/8

17 Para poder cotarlas, ideamos la siguiete maera: Vamos a establecer ua biyecció f: CR, C +-, de tal forma que a cada combiació co repetició de CR, le hacemos correspoder la combiació si repetició obteida colocado como subídice de cada elemeto el úmero que teía icremetado e tatas uidades como elemetos le precede. Así f es biyectiva y + CR, Ejemplo. Queremos calcular CR 3,6 combiacioes co repetició de 3 elemetos de 6 e 6). Dados los siguietes elemetos, sus imágees e C 8,6 so: a a a a a 3 a 3 a a a 4 a 5 a 7 a 8 Al primer elemeto o le sumamos ada a su subídice ya que o tiee elemetos a su izquierda, al segudo le sumamos, al tercero, al cuarto 3 y así sucesivamete. 6. COMBINATORIA CLÁSICA Y ALGUNAS TENDENCIAS ACTUALES DE LA COMBINATORIA. Se etiede por Combiatoria o Aálisis Combiatorio a la parte de las matemáticas que trata del estudio y determiació de las distitas agrupacioes que puede formarse co u úmero fiito de elemetos siguiedo uas determiadas reglas. La Combiatoria estudia las propiedades de los diversos grupos que puede formarse, icidiedo de forma especial e hallar la regla que permita formar todos los grupos y su úmero. El iterés por la combiatoria surge e la Idia, dode el matemático Bhasara S. XI-XII) escribe sobre la utilidad de hallar variacioes de los diferetes metros e la versificació. Este iterés viee debido a que sus obras sobre álgebra o aritmética etre otras) está escritas siguiedo la tradició idia, e verso. E Europa aparece la combiatoria poco después, desarrolládose e la Edad Media debido a los estudios judíos sobre la Cabala. El motivo hay que buscarlo e las especiales características del idioma Hebreo. Sus palabras carece de vocales y las básicas está formadas por tres letras. Cuado dos palabras tiee las mismas letras pero e orde diferete es que existe algú tipo de relació coceptual etre ellas. E esta propiedad se basa el primero de los métodos cabalísticos, la Temurá, o arte de las permutacioes y combiacioes de letras. Tambié el filósofo y teólogo Ramó Llul acido e Palma de Mallorca e 33) trató la combiatoria e su obra Ars Maga. Parte de la combiació de térmios simples. Establece uas tablas e las cuales aparece ua serie de térmios susceptibles de combiació: ueve térmios absolutos, ueve relativos, ueve cuestioes, ueve sujetos, ueve virtudes y ueve vicios. Filósofos y matemáticos se ha fijado e esta obra del mallorquí, etre ellos Leibiz. 7/8

18 La combiatoria modera aparece co Blaise Pascal 63-66). Cietífico y filósofo fracés, estudió e 654 la expresió, desarrollado la teoría de las combiacioes. E ella trata los úmeros combiatorios, el triágulo de Tartaglia y el desarrollo de la potecia de u triomio. Pero fue Jacobo Berouilli ) e su obra Ars Cojectadi arte de la cojetura) el mayor impulsor de la combiatoria e el siglo XVII. Cosiguió obteer y demostrar el desarrollo del biomio x+a) siedo u úmero atural. Actualmete, os ecotramos co problemas de combiatoria que tiee que ver co grafos, dado lugar a la Teoría de Grafos. E el tema se ha visto el problema de los Puetes de Köigsberg. Otros problemas de combiatoria se mezcla co Geometría, dado lugar a la Geometría Combiatoria. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA. Itroducció a la Probabilidad y la Medida. Aut. Procopio Zoroa, Noemí Zoroa. Ed. PPU Itroducció a la Teoría de la Estadística. Aut. Alexader M. Mood, Frali A. Graybell. Ed. Aguilar. 8/8