n! = n.(n 1).(n 2)

Transcripción

1 1.- PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Es ua técica que sirve para saber cuátos resultados tiee u experimeto que costa de dos o más etapas. El pricipio de multiplicació cosiste e multiplicar el úmero de resultados de cada etapa. Ejemplo: Supogamos que teemos 5 tipos de camisas, 3 de pataloes y 4 pares de zapatos De cuátas formas diferetes podemos vestiros? Nº de formas de elegir la camisa: 5,,,,,, el pataló: 3 El º de formas de vestirse es: = 60,,,,,, los zapatos: 4 Practica tú: 1 Si lazamos u dado y después ua moeda, Cuátos resultados se puede obteer? Sol.:12 2 U coocido restaurate afirma que el cliete puede comer durate dos años si repetir el meú. E la carta aparece 5 primeros platos, 14 segudos y 7 postres. Aaliza si se trata de ua propagada cierta o o. Sol.:Es falso, sólo se puede comer durate 490 días 3 Ua cafetería ofrece para desayuar cuatro tipos de zumos; tres bebidas calietes: café, ifusió o chocolate; y para comer, tostada o churros. Calcula el úmero de desayuos posibles que icluya u elemeto de cada grupo. Sol.:24 desayuos 4 U matrimoio decide comprar ua radio y ua televisió. Si e el lugar dode hará la compra hay 4 tipos de radio y 5 clases de televisores, de cuátas maeras distitas puede realizar la compra de ambos objetos a la vez? Sol.:20 maeras 5 Marta participa e u juego que cosiste e elegir primero u úmero del 1 al 10 y después ua carta de la baraja española (de 40 cartas). Cuátos resultados distitos puede obteer? Sol.:400 resultados 6 Para fiaciar el viaje de fi de curso, u grupo de alumos ha ecargado uas camisetas e dos colores: blaco y azul. Si las tallas so pequeña, mediaa, grade y extragrade, cuátos modelos diferetes de camisetas tedrá que elaborar? Sol.:8 modelos 7 U juego educativo cotiee figuras co forma de triágulos, cuadrados y círculos, e dos tamaños, grades y pequeñas, y e cuatro colores, amarillo, azul, rojo y verde. Cuátas figuras distitas hay? Sol.: 24 8 E ua fiesta coicide 6 chicos y 7 chicas; si todos los chicos baila co todas las chicas, cuátas parejas distitas se puede formar? Sol.: 42 parejas 9 Ua fábrica de coches Peugeot fabrica modelos de 1600, 1800 y 2000 cm 3 e cico colores cada uo, blaco, egro, azul, amarillo y rojo y co tres o cico puertas cada tipo. Cuátos coches diferetes puede haber? Sol.: NÚMEROS COMBINATORIOS Factorial de u úmero atural El factorial de u úmero atural es el producto de por todos los úmeros aturales meores que él. El factorial de se represeta por! y se lee factorial.! =.( 1).( 2) Ejemplos: 1! = 1 2! = 2. 1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 0! = 1 (por coveio) El factorial de u úmero tambié se puede hallar co la calculadora cietífica CASIO usado la fució x! Por ejemplo, si queremos calcular 13!, el proceso es el siguiete: 13 SHIFT x 1 = Nos da como resultado: Este resultado coicidiría co la multiplicació: Págia 1 -

2 Número combiatorio Dados dos úmeros aturales y m co m, se defie el úmero combiatorio sobre m así:! = m m!. (m)! El úmero combiatorio se puede hallar co la calculadora cietífica CASIO usado la tecla Cr m Por ejemplo, si queremos calcular 5 2 1) = 0 =1 Ejemplo:, el proceso es el siguiete: 5 Cr 2 =. Nos da como resultado 10 Propiedades más importates de los úmeros combiatorios!!! = = = = 1 5 5!. (55)! 5!. 0! 5! ! 5! = = = 1 0 0!. (50)! 1. 5! = 2) 1 Ejemplo: 5 5! 5! 5.4! = = = = 5 1 1!. (51)! 1. 4! 1. 4! Practica tú: 10 Usado la calculadora cietífica halla los siguietes factoriales y luego comprueba el resultado usado la defiició: a) 9! b) 7! c) 12! d) 6! Sol.:a) b) c) d) Usado la calculadora cietífica calcula los siguietes úmeros combiatorios y luego comprueba el resultado usado la defiició: a) 6 b) 10 2 c) 20 7 d) 7 18 e) 8 3 f) Págia 2 - Sol.:a)15 b)120 c)190 d) 35 e) 56 f) VARIACIONES Y COMBINACIONES Variacioes si repetició Cosidera la siguiete situació: Cuátos úmeros de 4 cifras distitas se puede formar usado los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? Se trata averiguar cuátas listas de 4 elemetos se puede obteer a partir de u cojuto de 9 elemetos - No se puede repetir los elemetos e la lista (pues vamos a formar úmeros co cifras distitas) - Importa el orde e que esté colocados los elemetos e la lista (pues o es lo mismo, por ejemplo, el úmero 5721 que 1275) Se dice que el º de listas so las variacioes orde 4 tomadas de u cojuto de 9 elemetos y se represeta por V(9, 4) Para saber cuátos úmeros hay podemos usar el pricipio de la multiplicació: Posició de la cifra 1ª 2ª 3ª 4ª Nº de posibilidades E total, se podría formar V(9, 4) = = úmeros. E geeral, las variacioes de orde k tomadas de u cojuto de elemetos, V(, k), so las listas de k elemetos que se puede obteer a partir de u cojuto de elemetos - No se puede repetir los elemetos e la lista - Importa el orde e que esté colocados los elemetos e la lista Para hallar el úmero de variacioes si repetició se usa la fórmula: V(,k).( - 1).( - 2).... k factores decrecietes empezado por Tambié se puede hallar co la calculadora cietífica CASIO usado la fució Pr Por ejemplo, si queremos hallar V(9, 4), el proceso es: 9 SHIFT Cr 4 =. Nos da como resultado 3 024

3 Permutacioes si repetició Si e lugar de formar úmeros de 4 cifras distitas co los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 queremos formar úmeros de 9 cifras distitas tedríamos las V(9, 9) que se llama permutacioes de 9 elemetos y se represeta por P(9). Las permutacioes so todas las formas que hay de ordear los 9 dígitos. Por tato, P(9) = V(9, 9) = = 9! E geeral, las permutacioes si repetició de u cojuto de elemetos, P(), so las variacioes si repetició e las que iterviee todos los elemetos, es decir P() = V(, ). Las permutacioes so todas las formas de ordear los elemetos del cojuto. Para calcular el úmero de permutacioes si repetició se usa la fórmula: Variacioes co repetició P() V(,)=! Cosidera la siguiete situació: Cuátos úmeros de 4 cifras se puede formar usado los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? Se trata averiguar cuátas listas de 4 elemetos se puede obteer a partir de u cojuto de 9 elemetos - Se puede repetir los elemetos e la lista (pues vamos a formar úmeros co cifras que se puede repetir) - Importa el orde e que esté colocados los elemetos e la lista (pues o es lo mismo, por ejemplo, el úmero 5751 que 1575) Se dice que el º de listas so las variacioes co repetició de orde 4 tomadas de u cojuto de 9 elemetos y se represeta por VR(9, 4) Para saber cuátos úmeros hay podemos usar el pricipio de la multiplicació: Posició de la cifra 1ª 2ª 3ª 4ª Nº de posibilidades E total, se podría formar VR(9, 4) = = 9 4 = úmeros. E geeral, las variacioes co repetició de orde k tomadas de u cojuto de elemetos, VR(, k), so las listas de k elemetos que se puede obteer a partir de u cojuto de elemetos - Se puede repetir los elemetos e la lista - Importa el orde e que esté colocados los elemetos e la lista Para calcular el úmero de variacioes co repetició se usa la fórmula: k VR(,k) Permutacioes co repetició Las permutacioes co repetició de u cojuto de elemetos e los que hay uo que se repite a veces, otro b veces, otro c veces, etc se llama permutacioes co repetició, PR a,b,c,...! Para hallar el º de permutacioes co repetició se usa la fórmula: PRabc,,,... a!. b!. c!... Por ejemplo, para calcular el úmero de formas de ordear las letras: T, T, T, K, K, O calculamos 6 6! ! PR3,2 60. Luego, hay 60 formas 3!2! 3!.2.1 Combiacioes si repetició Cosidera la siguiete situació: Cuátas formas hay de elegir 3 persoas de u grupo de 7 amigos? Se trata averiguar cuátas listas de 3 elemetos se puede obteer a partir de u cojuto de 7 elemetos - No se puede repetir los elemetos e la lista (pues lógicamete o puede repetirse la misma persoa e el grupo) - No importa el orde e que esté colocados los elemetos e la lista (pues es lo mismo, por ejemplo, {Pepe, Aa, Rocío} que {Rocío, Pepe, Aa}) Se dice que el º de listas so las combiacioes si repetició de orde 3 tomadas de u cojuto de 7 elemetos y se represeta por C(7, 3) - Págia 3 -

4 E geeral, las combiacioes si repetició de orde k tomadas de u cojuto de elemetos, C(, k), so las listas de k elemetos que se puede obteer a partir de u cojuto de elemetos - No se puede repetir los elemetos e la lista - No importa el orde e que esté colocados los elemetos e la lista Para hallar el º de combiacioes si repetició se usa la fórmula: C(,k)!!! = k k. ( k) Ejercicio 1 Resuelve los siguietes problemas de combiatoria: a) De cuátas formas diferetes se puede cubrir los puestos de presidete, vicepresidete y tesorero de u club de fútbol sabiedo que hay 12 posibles cadidatos? b) E u estate de ua librería capaz para 25 volúmees, hay siete ejemplares iguales de El Quijote, 8 ejemplares iguales de La Celestia y 10 ejemplares iguales de La vegaza de Do Medo. De cuátas maeras diferetes puede colocarse dichos libros? c) U estudiate tiee que resolver ocho cuestioes de doce e u exame. De cuátas maeras puede elegirlas? d) U cd tiee 12 cacioes que se puede escuchar e cualquier orde. Luís quiere escucharlas cada día e u orde diferete. Cuátos días tardará e hacerlo? e) E ua clase de 22 alumos, todos quiere setarse e los cico asietos de la primera fila. De cuátas formas puede asigar el profesor esos asietos? f) De ua baraja española (40 cartas), se extrae 4 cartas sucesivamete si reemplazamieto 1) Cuátos resultados puede haber? 2) Y si las extraccioes se hace co reemplazamieto? g) E ua clase de 27 alumos, cada alumo estrecha la mao de los demás, cuátos saludos se habrá dado e total? h) Cuátas palabras distitas se puede formar co todas las letras de la palabra MATEMATICAS? i) Desde el 18 de septiembre de 2000, se implató e España el uevo sistema de matriculació europea, que como sabes costa del idicativo del país, cuatro úmeros y tres letras. No todas las letras del alfabeto está utilizadas para las matrículas, pues o se ha usado estas: A-E-I-O-U-Ñ- Q (e total 20 letras). Los úmeros si so todos (del 0 al 9). 1) Cuátos coches se puede matricular co estas matrículas? 2) Cuál fue la primera matrícula? Cuál será la última? 3) Cuátos coches tedría sus úmeros capicúas? 4) E u año se matricularo e España vehículos. Si se matiee ese ritmo de matriculacioes, cuádo se acabará las matrículas? j) Cuátas quiielas de fútbol habría que hacer para teer la certeza de teer 14 aciertos? (No teemos e cueta la opció del pleo al 15). k) Cuátas palabras, co setido o o, se puede formar co las letras de la palabra permutació? Cuátas empezará por vocal y termiará e N? l) Cuátos segmetos se puede formar tomado de dos e dos los vértices de u cubo? - Págia 4 -

5 Practica tú: 12 Resuelve los siguietes problemas de combiatoria: 1) Cuátas posibles clasificacioes se puede dar e ua liguilla de fútbol de 10 equipos? Sol.: ) Cuátas diagoales tiee u icoságoo? Sol.: ) Cuátos úmeros de 6 cifras se puede formar co los dígitos 1, 1, 1, 2, 2 y 3? Sol.:60 4) Cuátos úmeros de tres cifras distitas puede formarse co los dígitos impares? Sol.:60 5) De cuátas formas puede setarse 8 amigos e ua fila de 8 butacas de u cie? Sol.: ) De cuátas formas se puede colocar e fila 20 bolas de igual tamaño de las que siete so rojas, ueve azules y cuatro verdes. Sol.: ) Cuátos úmeros de teléfoo fijo se puede formar e la provicia de Graada que acabe e7? Sol.: ) U vededor tiee que visitar Madrid, Barceloa, Graada, Valecia, Logroño y Leó. Si o debe pasar dos veces por la misma ciudad y puede empezar y acabar por cualquiera de las ciudades, cuátas rutas distitas puede elaborar? Sol.:720 9) E ua ura hay tres bolas rojas, tres verdes, cuatro egras y dos azules. De cuátas maeras distitas puede sacarse, de ua e ua, de la ura? Sol.: ) Ua clase tiee 24 alumos y el profesor pide los ejercicios cada día a dos de ellos. El profesor desea que o se repita uca la misma pareja. Durate cuátos días lo podrá coseguir? Sol.: ) Co las letras de la palabra PROBLEMA Cuátas ordeacioes distitas se puede hacer? Sol.: ) U exame tipo test costa de 8 pregutas y cada ua de ellas tiee 3 posibles respuestas. De cuátas formas distitas puede cotestarse el exame si es obligatorio cotestarlas todas? Sol.: ) Cuátas palabras puede formarse, tega setido o o, co todas las letras de la palabra FRANCISCO? Sol.: ) Ua empresa hace cerraduras de combiació. Cada combiació costa de tres úmeros, cada uo de dos dígitos. Por el proceso de costrucció de las cerraduras u dígito o puede aparecer más de ua vez e la combiació. Cuátas cerraduras diferetes puede costruirse? Sol.: cerraduras 15) El juego de la Primitiva cosiste e rellear u bloque señalado 6 úmeros a elegir etre el 1 y el 49. Si rellear cada bloque vale 1, cuáto diero habría que gastarse para garatizar los 6 aciertos? Sol.: ) Cuátos resultados se puede obteer al lazar 5 veces u dado? Sol.: ) U equipo de balomao ha gaado ua liga gaado 12 partidos, empatado 2 y perdiedo 4. De cuátas formas diferetes lo ha podido hacer? Sol.: Págia 5 -

6 18) Siete amigos llega a la taquilla de u cie, de cuátas formas puede colocarse e fila para hacer cola? Sol.:5 040 formas 19) Pedro tiee pesas de 1, 2, 5, 10, 20, y 50 kg. Cuátas pesadas diferetes puede hacer tomado e cada pesada tres pesas? Sol.:20 20) Co u puto y ua raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse) Cuátas señales distitas de 7 símbolos puede hacerse? Sol.:128 21) Ricardo olvidó su PIN de cuatro dígitos de su tarjeta bacaria. Lo úico que recordaba era los dígitos 2, 3, 5 y 8 pero o sabía e qué orde. Cuátos códigos posibles se puede formar co estos dígitos? Sol.: 24 22) U exame costa de 20 pregutas de las que hay que elegir 10 para cotestar. De cuátas formas se puede elegir? Sol.: formas 23) Para acceder a ua caja fuerte se tiee que itroducir u úmero de 10 cifras. Se sabe que dicho úmero está formado por 5 doses, 3 cicos y 2 seises. Cuátas claves diferetes se puede formar? Sol.: ) De ua ura que cotiee 10 bolas umeradas del 1 al 10 extraemos 5 bolas ua tras otra. Calcula cuátos resultados distitos podemos obteer e los casos: a) Se extrae si reemplazamieto Sol.: b) Se extrae co reemplazamieto Sol.: ) E u mote hay 8 casas. Cada casa se comuica co cada ua de las restates por u camio. Cuátos camios hay e total? Sol.:28 26) Cuatas palabras de 10 letras, co o si setido, se puede formar usado sólo las letras a, b? Sol.: ) De cuátas formas puede mezclarse los siete colores del arco iris tomádolos de tres e tres? Sol.:35 28) U depósito de agua tiee 5 caños de desagüe, que desagua 1, 3, 5, 10 y 20 litros por miuto, respectivamete. Co cuátas velocidades diferetes se puede desaguar el depósito abriedo dos grifos a la vez? Sol.:10 29) Sabiedo que los puestos de delegado y de subdelegado o puede ser cubiertos por la misma persoa, calcula cuátas posibilidades hay para cubrir ambos cargos e ua clase de 18 alumos. Sol.:306 30) Para u uevo club deportivo se quiere hacer ua badera tricolor (tres colores distitos) que coste de tres frajas verticales. Si para crearla se dispoe de 10 colores distitos, cuátas baderas diferetes se puede realizar? Sol.:720 31) Cuátos resultados se puede obteer al lazar ua moeda 17 veces? Sol.: ) Cuátos úmeros de cifras distitas podremos formar usado todas o alguas cifras del úmero 1987? Sol.:64 33) Se tiee 12 jugadores de béisbol y se va a seleccioar 9 para formar u equipo. Cuátos equipos distitos puede formarse? Sol.: ) Cuátas quiielas distitas se puede rellear co 8 uos, 4 equis y 2 doses? Sol.: Págia 6 -