INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Transcripción

1 INTRODUIÓN L PROBBILIDD EXPERIMENTOS LETORIOS Y DETERMINISTS Los experimetos o feómeos cuyo resultado o puede coocerse hasta haber realizado la experiecia se llama aleatorios o estocásticos. uado el resultado puede preverse de atemao se llama determiistas. ESPIO MUESTRL Se llama espacio muestral asociado a ua experiecia al cojuto de todos los posibles resultados de la misma. Se desiga por " Ω". Puede ser: adiscreto y fiito ( lazar u dado y mirar el resultado bdiscreto e Ifiito umerable( lazar ua moeda hasta que salga cara cotiuo ( medida del diámetro de las mazaas de u huerto SUESOS ELEMENTLES. Sucesos que asociamos a cada uo de los posibles resultados del espacio muestral que o se puede descompoer e otros más secillos. SUESO LETORIO Llamaremos suceso aleatorio a cualquier subcojuto del espacio muestral, es decir a la uió de varios sucesos elemetales Ejercicio: 1. Describe el espacio muestral asociado al experimeto y cueta el úmero de sucesos elemetales. a Lazar dos moedas b Lazar u dado c Lazar ua chicheta al aire d Sacar ua carta de la baraja de 40. f Lazar tres moedas h Lazar dos dados SUESO ONTRRIO DE OTRO. Si es u suceso, se llama suceso cotrario de, y se desiga por se verifica, siempre que o se verifica. SUESO SEGURO Y SUESO IMPOSIBLE Suceso seguro es el que se verifica siempre. Se represeta por Ω. Suceso imposible es el que o se verifica uca. UNIÓN DE SUESOS, al suceso defiido por la codició de que Se llama uió de los sucesos y B al suceso que se verifica siempre que se verifica, se verifica B, o ambos a la vez. Se expresa B. Págia 1

2 INTERSEION DE SUESOS Se llama itersecció de los sucesos y B al suceso que se verifica siempre que se verifica y B a la vez. Se expresa B. SUESOS INOMPTIBLES Dos sucesos se llama icompatibles cuado B. Es decir cuado al verificarse uo de ellos o puede verificarse el otro. E caso cotrario se llama compatibles. SUESO ONTENIDO EN OTRO Se dice que u suceso está coteido e otro B, si siempre que ocurre, ocurre B. Se represeta B. DIFERENI DE SUESOS Se llama diferecia de dos sucesos y B, y se expresa B, al suceso que se verifica cuado ocurre y o ocurre B. Es decir, B B Ejercicio l sacar ua carta de ua baraja cosidera los sucesos: sacar oros, B sacar ua figura Describe los sucesos:, B, B, B, B FREUENI RELTIV DE UN SUESO uado u experimeto se realiza "N" veces, habiédose realizado el suceso, veces, diremos que la frecuecia relativa del suceso es el cociete fr( N DEFINIION DE PROBBILIDD La frecuecia relativa de u determiado suceso, tiede a aproximarse a u úmero fijo al aumetar el úmero de veces que se repite u experimeto. este úmero se le llama probabilidad del suceso. Se desiga P. ( Propiedades: 0 < P < 1 1. (. Si y B so sucesos icompatibles se verifica que P ( + 3. Si y B so sucesos compatibles se verifica que + 4. Si es el suceso cotrario de, se verifica que 1 5. Si es el suceso imposible: 0 6. Si Ω es el suceso seguro : P ( Ω 1, etoces P ( P ( 7. Si B <. LEY DE LPLE. Si el espacio muestral se compoe de " " sucesos elemetales equiprobables y el suceso es la uió de "r" sucesos elemetales, geeralizado la propiedad, se obtiee la llamada Ley de Laplace º casos favorables º casos posibles Págia

3 PROBBILIDD ONDIIOND SUESO ONDIIONDO El suceso que cosiste e que se verifique, siempre que haya ocurrido B e el mismo experimeto, se deomia suceso codicioado por B, y se represeta por B. PROBBILIDD ONDIIOND Se defie la probabilidad del suceso codicioado por el suceso B, y se escribe B ( P B P ( P ( SUESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. REGL DEL PRODUTO Dos sucesos y B se llama idepedietes si P ( P ( probabilidad de. E este caso se verifica siempre que tambié P ( B Por tato segú la defiició aterior se verifica: P B P P B, es decir, si ocurrido B o se altera la. 1. Si y Bso sucesos idepedietes: ( ( (. Si y Bso sucesos idepedietes: P ( B P ( Las dos últimas expresioes se deomia "REGL DEL PRODUTO" para la itersecció de sucesos. EJERIIO 1 E ua baraja de 40 cartas se extrae sucesivamete dos cartas si devolver la primera. Determia: a. Probabilidad de obteer dos copas b. Probabilidad de obteer dos cartas del mismo palo c. Probabilidad de obteer dos cartas de diferete palo d. Probabilidad de obteer al meos u as TEOREM DE L PROBBILIDD TOTL uado u suceso B puede presetarse codicioado por otros 1,, 3,...,, icompatibles dos a dos, y tales que su uió es el suceso seguro, se verifica: P. B / +. B / +. B / B / ( Para llegar a este resultado utilizaremos el diagrama de árbol del tipo siguiete y asigaremos a cada rama la probabilidad de que se presete el suceso que aparece al fial de la misma. Observa que las probabilidades de la seguda rama so probabilidades codicioadas. Observa que al suceso B puede llegarse a través de los camios 1,, 3,..., y que EJERIIO. Ua empresa elabora sus productos e cuatro fábricas: F 1, F, F 3 y F 4. El porcetaje de producció total que se fabrica e cada factoría es del 40%, 30%, 0% y 10%, respectivamete, y además el porcetaje de evasado icorrecto e cada factoría es del 1%, %, 7% y 4%. Tomamos u producto de la empresa al azar. uál es la probabilidad de que sea defectuoso? i 1 i 1 Págia 3

4 Llamado M "el producto mal evasado", y B al producto bie evasado, se tiee que este producto puede proceder de cada ua de las cuatro factorías y, por tato, segú el teorema de la probabilidad total y teiedo e cueta las probabilidades del diagrama de árbol, teemos: ( ( ( / + ( ( / + ( ( / + ( ( / P M P F P M F P F P M F P F P M F P F P M F FÓRMUL DE BYES E las codicioes del teorema aterior, aplicado la defiició de probabilidad codicioada, podemos calcular la probabilidad de que el suceso B se haya presetado a través de algua raa cocreta, esto es, la probabilidad a posteriori ( sabiedo que ha ocurrido el suceso. Esta fórmula se cooce como Fórmula de Bayes: /. B /. B /. B / +. B / B / 1 1 EJERIIO 3. Teemos tres uras: co 3 bolas rojas y 5 egras, B co bolas rojas y 1 egra y co bolas rojas y 3 egras. Escogemos ua ura al azar y extraemos ua bola. Si la bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la ura? Llamamos R "sacar bola roja" y N "sacar bola egra". E el diagrama de árbol adjuto puede verse las distitas probabilidades de ocurrecia de los sucesos R o N para cada ua de las tres uras. La probabilidad pedida es P ( R. Utilizado el teorema de Bayes, teemos: 1 3 R / R / / R R R / + R / + R / Págia 4

5 EJERIIO 4. Ua determiada efermedad puede estar provocada por tres causas,, B o e las proporcioes 30%, 0% y 50%, respectivamete. El tratamieto de esta efermedad requiere hospitalizació e el 0% de los casos si está provocada por, e el 55% de los casos si está provocada por B y e el 10% de los casos si está provocada por. U efermo hospitalizado tiee diagosticada esta efermedad, cuál es la probabilidad de que la causa sea? Solució H H 0.77 H EJERIIO 5. E u determiado país, 64 de cada mujeres de raza egra muere e el parto mietras que la proporció es de sólo 17 de cada para las mujeres de raza blaca. El 90% de los partos correspode a mujeres de raza blaca. Ua mujer acaba de fallecer a cosecuecia del parto, calcular la probabilidad de que sea de raza egra. Solució: M N N N M M Págia 5