2 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

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1 2 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD T al vez el estudio de la probabilidad toma setido cuado se percibe y se acepta la existecia de la aleatoriedad e diversos aspectos de la vida diaria. Si embargo, si cosideramos aleatorio aquello que bajo las mismas circustacias o tiee u resultado úico, cabría la discusió etre quiees acepta la existecia de la aleatoriedad y quiees o, por cosiderar que todo está determiado por las circustacias. E realidad, ya sea que el mudo sea o o determiista, dado que muchísimas circustacias que se puede presetar está fuera de uestro cotrol, existe la posibilidad de que al repetir ciertas situacioes cotrolables, obtegamos resultados distitos, caso que se puede aalizar a través de la probabilidad. 2.1 Espacio Muestral. Evetos. Para poder defiir uestro objeto de estudio, precisaremos primero alguos térmios que utilizaremos e adelate. Etederemos como experimeto cualquier procedimieto capaz de geerar resultados observables. Pero podemos ecotrar experimetos tales que al repetirse bajo las mismas codicioes cotrolables preseta siempre el mismo resultado, los cuales recibe el ombre de experimetos determiistas, o bie aquellos que puede presetar resultados distitos, al repetirse bajo las mismas codicioes cotrolables. Estos últimos se cooce como experimetos aleatorios. E uestra vida diaria, os efretamos tato a los experimetos determiistas como a los aleatorios, y ecesitamos aalizarlos para poder tomar decisioes adecuadas, pero mietras que e el caso de los experimetos determiistas basta co ua observació para coocer el resultado que presetará siempre, e el caso aleatorio M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 1

2 o es así, y para aalizarlo se requerirá de u modelo que posea tambié la característica de producir resultados distitos a circustacias iguales. Por tal razó, es claro que los modelos probabilistas o permite predecir el resultado de u experimeto, sio que solamete idica la frecuecia co que cabe esperar que ocurra u resultado específico, al repetir el experimeto u úmero grade de veces, o bie la certidumbre que se tiee co respecto a la obteció de ese resultado e ua sola ejecució del experimeto. Debido a la gra importacia y ecesidad de estudiar este tipo de modelos se ha desarrollado toda ua disciplia de las matemáticas, la Probabilidad. No obstate, se utiliza el mismo térmio de probabilidad para deomiar a la medida del grado de certidumbre que se tiee e la ocurrecia de u resultado específico del experimeto aleatorio. Partiedo etoces de que uestro objeto de estudio será los experimetos aleatorios, el primer paso será idetificar a todos los resultados posibles del experimeto, para posteriormete seleccioar aquellos que sea de iterés. Esto da lugar a ua serie de defiicioes que so la piedra agular de la teoría de la Probabilidad. Defiició El cojuto de todos los resultados posibles de u experimeto aleatorio se llama Espacio Muestral y se deota por S. Ejemplo Cosidere el experimeto que cosiste e observar el resultado que se obtiee al lazar u dado. El espacio muestral de dicho experimeto es S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Ejemplo Cosidere el experimeto que cosiste e observar el mes de acimieto de tres persoas. El espacio muestral correspodiete a dicho experimeto es el cojuto de teras ordeadas M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 2

3 S = { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3),... } O de otra maera, S = { (a, b, c) 1 a 12, 1 b 12, 1 c 12, a, b, c ℵ } Defiició U eveto es cualquier subcojuto del espacio muestral. Se acostumbra deotar a los evetos mediate letras mayúsculas, preferetemete las primeras del alfabeto. Desde esta cocepció es útil idetificar y defiir alguos evetos otables y que por su importacia recibe u ombre propio. Alguos de ellos los defiimos a cotiuació. EVENTOS NOTABLES Evetos Simples so aquellos que costa de u solo resultado posible; esto es, so de cardialidad 1. Evetos Compuestos so los que costa de más de u resultado posible. Eveto Seguro es aquel que co seguridad ocurrirá. Es, por tato, el espacio muestral y se deota por S. Eveto Imposible es aquel que uca ocurrirá. Se deota por. Evetos excluyetes o mutuamete excluyetes so aquellos cuya itersecció es vacía. M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 3

4 Ejemplo Cosideremos el siguiete espacio muestral: U a r m y C s A z v 3 b 5 D t B 12 F k 2.2 Defiició clásica de probabilidad. Existe tres formas distitas de asigar probabilidades a los evetos. Estas formas se cooce comúmete como iterpretacioes de probabilidad, y auque e alguos casos cualquiera de ellas se podría utilizar, esa posibilidad o siempre existe. Por tal razó es importate coocer cada ua de estas iterpretacioes, así como las premisas de cada ua de ellas o sólo para poder aplicarlas adecuadamete, sio tambié para tratar de ecotrar coicidecias etre ellas, que os permita desarrollar ua teoría geeral. 1) Iterpretació Clásica Si u experimeto tiee u espacio muestral fiito y todos los resultados so igualmete factibles, etoces la probabilidad de que ocurra el eveto A es M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 4

5 el cociete etre el úmero de evetos simples e A y el úmero de evetos simples e el espacio muestral S. Esto se deota como P ( A ) = # A # S Ejemplo E u tiro al blaco se tiee 12 resultados posibles, a saber: -15, -4, 0, 1, 15, 40, 50, 100, 150, 300, 500, 1000, todos igualmete probables. Calcular: a) La probabilidad de acertar a u úmero egativo. Llamemos A al eveto de acertar a u úmero egativo. Etoces P(A) = 2/12 b) La probabilidad de que el resultado sea u úmero positivo. Sea B el eveto de acertar a u úmero positivo. Etoces P(B) = 9/12 c) La probabilidad de acertar al cero. Sea C el eveto de acertar al cero, etoces, P(C) = 1/12 d) La probabilidad de acertar a u úmero o egativo. P(B C) = # ( B C ) # S = 10/12 2) Iterpretació Frecuetista De acuerdo co esta iterpretació la probabilidad de eveto es la frecuecia relativa co la que se preseta dicho eveto e u úmero grade de experimetacioes. Esto es, P(A) = lim (A) Dode M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 5

6 (A) es el úmero de veces que se observa el eveto A e repeticioes del experimeto. Ate la imposibilidad de realizar ua ifiidad de experimetacioes se aproxima la probabilidad de A mediate el cociete (A) co suficietemete grade. Es decir, P(A) (A) Es importate isistir e que etre más grade sea, mejor será la aproximació. Ejemplo Se tiee 200 cilidros de cocreto y se somete a ua prueba de compresió. Todos los cilidros so iguales y está bajo las mismas codicioes de humedad y temperatura. Los resultados observados so los siguietes: Límites Frecuecias La resistecia está medida e kg/cm 2. Calcular la probabilidad de cada uo de los siguietes evetos: A: U cilidro resiste etre 191 y 200 kg/cm 2. B: U cilidro resiste etre 201 y 210 kg/cm 2. C: U cilidro resiste etre 191 y 210 kg/cm 2. D: U cilidro resiste a lo sumo 200 kg/cm 2. P(A) = 25 / 200 = M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 6

7 P(B) = 132 / 200 = 0.66 P(C) = 157 / 200 = P(D) = 47 / 200 = ) Iterpretació Subjetiva De acuerdo co esta iterpretació la probabilidad de u eveto es el grado de certidumbre que tiee quie asiga la probabilidad, e la ocurrecia de u eveto. Ua probabilidad igual a cero idica la certeza absoluta de que el eveto o ocurrirá y ua probabilidad igual a uo idica la certeza absoluta de que el eveto ocurrirá. A pesar de ser tres cocepcioes diferetes de la probabilidad, es posible ecotrar aspectos comues, los cuales permite desarrollar ua sola teoría. 2.3 Axiomas de Probabilidad De lo aterior se desprede que la probabilidad es ua fució de cojuto cuyo domiio es el cojuto potecia del espacio muestral (coocido como σ - álgebra de evetos) y su cotradomiio los úmeros reales. La probabilidad se deota por P y satisface las siguietes propiedades. AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1) Si A es u eveto, etoces 0 P(A) 1 2) P(S) = 1 3) Si A 1, A 2,... A so evetos mutuamete excluyetes, etoces P( A ) = P(A ) i = 1 i i = 1 i M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 7

8 A partir de estos axiomas es posible desarrollar y demostrar los siguietes teoremas, de los cuales omitimos la demostració, aú cuado e geeral es bastate secilla, ya que basta co la aplicació, e ocasioes reiterada de los axiomas de probabilidad. Teorema P( ) = 0. Teorema Si A es u eveto, etoces A c tambié lo es, y P( A c ) = 1 P(A). Teorema Si A y B so dos evetos cualesquiera, etoces P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) Ejercicio Recietemete se ha cuestioado la aceptabilidad de u acueducto ya existete para trasportar flujo aticipado. Mediate simulació el igeiero ha estimado tasas de flujo máximo aual así como sus probabilidades de ocurrecia (supoiedo que el flujo máximo posible es 12 cm 2 /s ), como sigue: Evetos A: El flujo que se preseta está etre 5 y 10 cm 2 /s, iclusive. B: El flujo que se preseta está etre 8 y 12 cm 2 /s, iclusive C = A B Probabilidades de ocurrecia P(A) = 0.6 ; P(B) = 0.6 ; P(C) = 0.7 M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 8

9 Calcular las siguietes probabilidades: a) P ( A B ) b) P ( A C ) c) P (A c B c ) d) P (A c ) e) P ( B A c ) RESOLUCIÓN a) P ( A B ) P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 0.5 b) P ( A C ) = P( A (A B) ) = P ((A A) (A B)) = P( A A) + P ( A B) P (A A B ) = P ( A ) + P ( A B ) - P ( A B) = P ( A ) = 0.6 c) P (A c B c ) = P (A B ) c = 1 P (A B ) = = 0.5 d) P (A c ) = 1 P ( A ) = = 0.4 e) P ( B A c ) = P ( B ) + P (A c ) P ( B A c ) = P ( B ) + P (A B ) = = 0.9 M. e I. Isabel Patricia Aguilar Juárez 9