Coeficientes binomiales
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- Montserrat Sara San Segundo Salazar
- hace 9 años
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1 Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si demostració Requisitos Factorial y sus propiedades elemetales Expresió de productos de úmeros aturales cosecutivos a través de factoriales Defiició del factorial de u úmero etero positivo (repaso El factorial de u úmero N deotado por! se defie como el producto de los úmeros eteros cosecutivos de a Por ejemplo }{{}}{{} 4! }{{} }{{} }{{}}{{} }{{} Fórmula recursiva para el factorial (repaso Para cada N Para cada N co (! ( }{{}! }{{} Defiició del factorial del úmero (repaso Por defiició! }{{} Notamos que co esta defiició la fórmula ( se cumple tambié para E efecto el lado izquierdo de esta fórmula para es (!! }{{} y el lado derecho es (! }{{} 4 Defiició recursiva de la fució factorial (repaso La fució factorial se puede defiir por iducció matemática por medio de la codició iicial ( y de la fórmula recursiva! }{{} (! } {{ } Coeficietes biomiales ejercicios págia de 6
2 5 Defiició de coeficietes biomiales Para cualquier { } y cualquier k { } (! : k k! ( k! Calcule: 6 ( 5 5!!! 6 7 ( 6 8 ( 9 ( ( ( ( ( 4 Propiedad simétrica de coeficietes biomiales ejemplo ( 5 De los cálculos 5! ( 5!! 5! ( ( 5 5 se ve que!! Coeficietes biomiales ejercicios págia de 6
3 5 Propiedad simétrica de coeficietes biomiales ( ( k k Demostració ( k! (! ( (! 6 Fórmula recursiva para los coeficietes biomiales ejemplo ( ( 8 8 6! 6!! 5!! 6!! 6! (! 6!! 6! (!! 6! 7 Fórmula recursiva para los coeficietes biomiales ( ( ( k k k ( Demostració Por u lado Por otro lado k ( ( k k (k! ( k! (k! ( k! 8 Otra forma de la fórmula recursiva para los coeficietes biomiales Use la fórmula del ejercicio aterior para expresar ( ( k a través de ciertos valores de : 9 Calcule ( 5 ( ( k Verifique que ( 5 ( 5 ( 5 y ( ( 6 ( 6 Coeficietes biomiales ejercicios págia de 6
4 Triágulo de Pascal Descripció de la idea Usado las fórmulas ( ( ( ( k k k ( uo puede calcular los coeficietes biomiales sucesivamete: calcular ( usado ( y ( calcular ( y ( usado ( ( ( etc Los primeros regloes del triágulo de Pascal Recordado que ( ( y obteemos los regloes y : ( ( }{{} }{{} ( }{{} E el siguiete regló usamos las fórmulas ( ( y la fórmula recursiva: ( ( ( ( ( }{{} }{{}}{{} }{{} }{{} Cálculos para : ( ( }{{} ( ( }{{} ( ( ( }{{} ( }{{} De maera similara calcule ( 4 k para k 4: Coeficietes biomiales ejercicios págia 4 de 6
5 El triágulo de Pascal Los regloes correspode a 4 5 Para cada el -ésimo regló está formado por los úmeros ( k co k Las flechas muestra cómo fucioa la fórmula recursiva: cada elemeto (excepto los elemetos extremos e cada regló se obtiee como la suma de dos elemetos de arriba 4 5 Co ayuda del triágulo de Pascal ecotramos por ejemplo ( ( 4 5 }{{} Potecias del biomio (si demostració Recordamos que para cualesquiera a b R }{{} (a b (a b(a b a ab ba b a ab b Notamos que los coeficietes de esta fórmula coicide co las etradas del regló del triágulo de Pascal: ( ( ( (a b a b a b a b De maera similar (si demostració ( ( ( (a b a b a b a b ( De maera similar escriba la fórmula para (a b 4 : a b a }{{} a b ab b }{{} Coeficietes biomiales ejercicios págia 5 de 6
6 El setido combiatorio de los coeficietes biomiales (si demostració 4 Cosideremos u cojuto de 5 elemetos Por simplicidad de otació supoemos que sus elemetos so { 4 5} Ecotremos todos los subcojutos de tamaño : { } { } { 4} { 5} { } { 4} { 5} { 4} { 5} {4 5} So subcojutos de tamaño Por otro lado ( 5 5!!! }{{} 5 E el cojuto { 4} ecuetre todos los subcojutos de tamaño : So }{{} { } { 4} subcojutos Por otro lado } {{ } ( 4 } {{ } 6 El setido combiatorio de los coeficietes biomiales Basádose e los ejemplos ateriores euciamos el resultado geeral si demostració Sea N k { } Etoces e cualquier cojuto de elemetos hay exactamete ( k subcojutos de elemetos }{{} 7 Cuátos subcojutos de elemetos tiee u cojuto de 5 elemetos Calcule la respuesta co u coeficiete biomial luego escriba todos estos subcojutos 8 Cuátos subcojutos de 4 elemetos tiee u cojuto de 6 elemetos Coeficietes biomiales ejercicios págia 6 de 6
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