CAPITULO 1. Teorema del Binomio

Transcripción

1 CAPITULO 1 Teorema del Biomio Este capitulo esta destiado a presetar coteidos y actividades que permitirá al estudiate: Operar co simbología matemática, desarrollar expresioes que ivolucre u úmero fiito de productos biomiales, y emplear el cocepto de búsqueda istatáea, a fi de determiar rápida y eficietemete los térmios e desarrollos biomiales mediate u algoritmo 1. Itroducció a los Factoriales Defiició 1.1. Para cada N llamaremos factorial a! 1 2 3, y defiimos además 0! 1 Ejemplo ! 1! para cada N E efecto! [ ] 1! Defiició 1.2. Para cada N, N y llamaremos úmero combiatorio a Ejemplo ! 4 3! 3! 3! 4 1! 3! 4!!! 1 Observació Cosideremos u cojuto co cuatro elemetos, digamos C {1,2,3,4} N etoces La catidad de subcojutos de C co cardialidad 3 so los siguietes C 1 {1,2,3}, C 2 {1,2,4}, C 3 {1,3,4}, C 3 {2,3,4} 4 So como se ve cuatro cojutos lo que coicide co 3 La catidad de subcojutos de C co cardialidad 2 so los siguietes seis cojutos C 1 {1,2}, C 2 {1,3, }, C 3 {1,4}, C 3 {2,3}, C 3 {2,4}, C 3 {3,4} Y que tambié coicide co 4 2 4! 4 2! 2! 2! ! 2! E realidad esto o es ua coicidecia, ya que e la práctica el úmero combiatorio co, fue costruido para cotar la catidad de grupos co elemetos a partir de elemetos dados, de allí la restricció 1

2 2 1. TEOREMA DEL BINOMIO 1.3. Propiedades de los Números Combiatorios. Etre muchas propiedades de los úmeros combiatorios, sólo exhibiremos las que ecesitamos estrictamete para coseguir uestros objetivos. 1 E efecto!!!!!! E particular, 1, para verificar esta igualdad, basta hacer 0 y recordar que 0 el cojuto vacío o tiee elemetos y es subcojuto de todos los cojutos E efecto !! + 1! + 1!! + 1!!! !!! ! + 1!!! E efecto ! + 1!!! + 1! + 1!!!! E efecto + 1! + 1! 1!!! + 1 1!!! !!! + 1!!!!

3 TEOREMA DEL BINOMIO 3 E efecto + + 1!!! +!! + 1 +! + 1! 1!! + 1!! + 1 +! + 1!! + 1! + 1! + 1!! + 1! Teorema del Biomio Teorema 2.1. Teorema del Biomio. Si N, a R y b R tal que a + b 0 etoces a + b 0 a b Demostració Debemos verificar que a + b 0 a b Gestió de la iformació: Como N etoces podemos usar el proceso de iducció matemática, para verificar la validez de la fórmula F : a + b Debemos mostrar que F1 es verdadera 0 a b ; N a + b Por ua parte teemos que a + b 1 a + b, y por otra, a b 1 a 1 0 b a 1 1 b 1 1 Así que, a + b a b, y F1 es verdadera Hipótesis de iducció: Supogamos que F es verdadera, es decir a + b 0 a b Tesis de iducció. Debemos mostrar que F+1 es verdadera H

4 4 1. TEOREMA DEL BINOMIO Desarrollado F+1 teemos que a + b +1 a + b a + b H a + b 0 0 a b a +1 b + 0 a b +1 Aplicado la propiedad del reloj??, a la seguda parcela e teemos que 0 a b +1 Reemplazado e teemos que: a +1 b 1 +1 a +1 b 1 a + b +1 0 a +1 b + a a +1 + a +1 + a +1 + Así que F+1 es verdadera, y +1 1 a +1 b 1 a +1 b a +1 b + a +1 b a +1 b a +1 b a +1 b a + b a +1 b + 0 a b + 1 b b b b Corolario 2.2. E Teorema 2.1 Para cada 0,1,..., 1 el térmio de orde + 1 es de la forma: t +1 a b

5 3. EJERCICIOS RESUELTOS DE TEOREMA DEL BINOMIO 5 E efecto Del teorema 2.1 sigue que a + b a b 0 a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b a b }{{}}{{}}{{}}{{} t 1 t 2 t 3 t +1 Así que t +1 a b, para 0,1,2,..., 1 E el desarrollo biomial, B 3. Ejercicios Resueltos de Teorema del Biomio de la forma x 4m etoces debe ser u múltiplo de 4. x 1 x 3 para N. Demostremos que si existe u térmio Solució Debemos mostrar que 4 r Gestió de la iformació t s+1 es el térmio pedido si y sólo si t s+1 x s s 1 s x 3 s x s 1 s x 3s s x 4s 1 s x 4m aparecerá e el térmio t s+1 si y sólo si x 4m x 4s 4m 4s Coclusió : es u múltiplo de 4. 4s 4m 4s m 2 Determiemos, si existe el térmio idepediete de x e el desarrollo biomial 2x x

6 6 1. TEOREMA DEL BINOMIO Solució Debemos determiar el térmio idepediete de x, es decir aquel e que aparece x 0 1. Gestió de la iformació Del Teorema del Biomio 2.1 sigue que 1 + x x 0 Multiplicado por 2x + 1 teemos que 2x x 2 2x x 0 Luego, existirá el térmio idepediete de x si 0 2 x 2 +1 x x Así que el térmio pedido es Demostremos usado el teorema del biomio que Solució 1 s 0 s s0 [ Teo2.1 s0 ] 1 s 1 s 0 s s0 1 s s 4 Si N, y A x 2 + x 1 y B x x 2, so dos desarrollos biomiales tales que t A es el - ésimo térmio de A y t B es el - ésimo térmio de B, 1 etoces demostremos que Solució t A t B es u úmero par Debemos verificar que 2 s, para algú etero s. Gestió de la iformació Para el biomio A teemos que:

7 4. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEOREMA DEL BINOMIO 7 t A x x 1 x Para el biomio B teemos que: t B x x 2 1 x Fialmete comparado térmios teemos que es par, pues, t A t B x x x x }{{} s 4. Ejercicios Propuestos del Teorema del Biomio 1 Determie el séptimo térmio e el desarrollo biomial 2x y 12 2 Determie el oveo térmio e el desarrollo biomial 2 + x Determie el decimocuarto térmio del desarrollo biomial 4x 2 y xy 2 4 Determie el térmio que cotiee a x 2 e el desarrollo biomial 5 Determie el térmio que cotiee x2 e el desarrollo biomial y2 8 x y y2 2x 2 6 Determie el térmio que cotiee a x r e el desarrollo biomial x x 2 x + 1 x 7 Si uo de los térmios e el desarrollo biomial 2x 2 1 x 60 es de la forma a x 54. Determie el valor de a

8 8 1. TEOREMA DEL BINOMIO 8 Determie el térmio idepediete de x si existe e el desarrollo biomial x 3 1 x Determie el valor de a e el desarrollo biomial x a , de tal forma que el térmio idepe- x diete de x sea igual al coeficiete de x 2 10 E el desarrollo biomial x x + 1 x 2 el coeficiete biomial del 3 er térmio es mayor que el coeficiete biomial del 2 do térmio e 44 uidades. Determie, si existe, el térmio idepediete de x. 11 Muestre que el coeficiete del térmio cetral del desarrollo biomial 1 + x 2, es igual a la suma de los coeficietes de los dos térmios cetrales del desarrollo biomial 1 + x Dados los desarrollos biomiales x 2 + x 1, y x x 2. Determie el cojuto T { N Los terceros térmios de los biomios sea iguales} 13 Si e el desarrollo biomial 1 + x 43, los coeficietes de la posició 2m + 1 y m + 2 so iguales. Determie, si es posible, el valor de m 14 Determie el coeficiete de x e el desarrollo biomial 1 x + x x 2+1 x 15 E el desarrollo biomial a y2 15, el térmio que cotiee a y 22 preseta el coeficiete umérico 455. Determie el valor de a 27 i 16 Demuestre que 2 i0 17 Cosidere los reales positivos p y q tales que, p + q 1. Demuestre que r p q 0 r p. 0

9 Bibliografía [1] Bello, I. Álgebra Elemetal, Broos/Cole Publishig Compay [2] Bobadilla, G. Labarca R. Cálculo 1, Facultad de Ciecia, Uiversidad de Satiago [3] Boldrii, J. Rodriguez, S. Figueiredo, V. Wetzler, H. Álgebra Liear, Editora Harper & Row do Brasisl Ltda, [4] Fraleigh J. Álgebra Abstracta Addiso-Wesley Iberoamericaa [5] Grimaldi, R. Matemáticas Discretas y Combiatorias, Addiso Wesley [6] Gustafso, R. Álgebra Itermedia, Broos/Cole Publishig Compay [7] Kaufma, J. Álgebra Itermedia, Broos/Cole Publishig Compay 2000 [8] Satader, R. Álgebra Elemetal y superior, Uiversidad de Satiago 2004 [9] Satader, R. Álgebra Lieal, Uiversidad de Satiago 2004 [10] Satader, R. U Segudo curso de Algebra Lieal [11] Swoowsi, E. Álgebra y trigoometría, Broos/Cole Publishig Compay [12] Zill, D. Álgebra y trigoometría, Mc Graw Hill

10

11 Idice Factorial, 1 Número combiatorio, 1 Térmio de orde e u desarrollo biomial, 4 Térmio idepediete, 5 Teorema del biomio, 3 11

12

13 Coteidos Capitulo 1. Teorema del Biomio 1 1. Itroducció a los Factoriales 1 2. Teorema del Biomio 3 3. Ejercicios Resueltos de Teorema del Biomio 5 4. Ejercicios Propuestos del Teorema del Biomio 7 Bibliografía 9 Idice 11 13