R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

Transcripción

1 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació. Para referiros a ua sucesió cualquiera escribimos a, a, a, a 4,... a. El térmio a, que ocupa el lugar, se llama térmio geeral. Si el Térmio geeral viee expresado mediate ua fórmula, etoces se puede hallar tatos térmios de la sucesió como queramos. Cada ua de las siguietes sucesioes tiee su térmio geeral expresado por ua fórmula: a =- ; 5; 8; ;... a = ; /; /5; /7;... a = ; 4; 9; 6; 5; 6;... b = ; 8; 7; 64; 5; 6;... No todas las sucesioes tiee térmios geeral. Por ejemplo, e la sucesió de los úmeros primos ; ; 5; 7; ; ; 7; 9; ;... o hay igua fórmula que exprese el térmio geeral. Este térmio geeral es coocido como Termio eésimo y es la ley mediate la cual se obtiee u térmio cualquiera de la sucesió, e fució de los ateriores. Otra maera de defiir ua sucesió es por medio de ua relació, por ejemplo la sucesió de Fiboacci se forma así: ; ; ; ; 5; 8; ;,. Dode u u, u u u Alguos ejemplos so los siguietes: a) U U ; U ;... - b) {(-) } ; ; ; ; ; c) { ( ) } 0 d) { }.;.0;.00;.000;.0000;... ; 9 ; 8 ; 65 ; 6 ; Escribir los cuatro primeros térmios de las sucesioes: a) { } b) - { } ( ) c) { } ; ; ; 4 ; 5 ; ; ; 5 ; 7 ; 9 ; ; ; 4 ; 8 ; 6 ;

2 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. Hallar el térmio eésimo de las sucesioes siguietes: a) ; ; ; 4 ; 5 ; { } b) ; ; 5 ; 7 ; 9 ; { } c) d) ; 4 ; 8 ; 6 ; ; ; ; 8 ; 5 ; 4 ; { } { } Ejemplo : E la sucesió (a ) el primer térmio es y los demás térmios se obtiee sumado 5 al térmio aterior. Hallar los 5 primeros térmios de la sucesió. Solució Ejemplo : Hallar la expresió del térmio geeral de la sucesió (a ) =, 5, 7, 9,,... Solució SUCESIONES MONOTONAS Ua sucesió es acotada si existe u úmero positivo M idepediete de, tal que: u M para,,,4, a) ; ; ; ; ;... es acotada o excede a a { } 4 5 ( )(-) b) ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;...es acotada o excede a a { c) ; 4; 6; 8;0;... o acotada {} Ua sucesió moótoa es creciete cuado la siguiete proposició es verdadera u u para toda,,,4,... De forma aáloga ua sucesió es moótoa decreciete si se cumple lo siguiete u u para toda,,,4,... Ejemplo, coteste Si/No para los siguietes casos; Sucesió Acotada Moótoa creciete Moótoa decreciete ;.5; ;.5; 4; 4.5;.. NO NO ; -; ; -; ; -; ; SI NO NO ;.;.;.; SI SI NO.;.. /0; /; /; /; SI NO SI a }

3 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. ; ¾; ; 4/5; ; 5/6; ;. SI NO NO Si los térmios de ua sucesió {S} se acerca a u úmero L, se dice que la sucesió es Covergete a L. O bie, que el límite de S tiede a L. Es decir: Lim S L E caso cotrario se dice divergete o S L cuado Para los ejemplos ateriores. - b) {(-) } ; ; ; ; ;... coverge a c) { ( ) }.;.0;.00;.000;.0000;... Coverge a 0 d) { } Problemas. ; 9 ; 8 ; 65 ; 6 ;... Divergete Estudiar la covergecia de las sucesioes cuyos térmios geerales so los siguietes a) S 5 b) S c) S SUCESIONES ARITMÉTICAS Se llama sucesió aritmética al cojuto de elemetos e la cual cada térmio, después del primero, es igual al aterior más ua catidad costate, llamado razó o diferecia. Esa catidad costate que diferecia a dos térmios cosecutivos. Se llama razó y se represeta por d La sucesió: S 5; 8;;4;... Tiee la razó o diferecia d = 8 5 = 8 = 4 = La sucesió: S 8;; 8; ; ; 7 es ua progresió aritmética de seis térmios Ua sucesió aritmética es creciete si su razó es positiva. e la cual cada térmio, a partir del segudo, se obtiee añadiedo al aterior ua catidad costate igual a -5 d = 8 = 8 = 8 = - = -5 S 5;0;5; 0; 5;... d 5 Por lo cotrario, ua sucesió aritmética es decreciete si su razó es egativa.

4 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. S ; 7; ; ; 55;... d 4 Para ecotrar el térmio eésimo de ua sucesió aritmética, podemos deducirlo de lo siguiete: Sea la progresió aritmética: a=a, a, a, a 4, a 5,..., a Por la defiició de sucesió aritmética podemos deducir lo siguiete: a = a a = a + d = a + d a = a + d = (a +d)+d = a+d a 4 = a + d = (a + d)+d = a+d a 5 = a 4 + d = (a + d) + d = a+4d a = a + ( ) d Esta fórmula os permite determiar el térmio eésimo e ua sucesió aritmética, y los compoetes a, y d, como veremos e el siguiete ejemplo: Hallar el vigésimo térmio de la progresió aritmética: -5, -, -9, -6,... Para este caso los parámetros so: a = -5 ; d = - (-5) = = = 0 a =? a = a + ( ) d= -5 + (-) = Fialmete el térmio eésimo a= -8 Para = 0, por ejemplo; tedremos a 0 = (0)-8=60-8=4 Ejemplos:. El primer térmio de ua p.a. es 5 su diferecia escribir los cuatro primeros térmios. Datos: a = 5 d = Icógitas: a, a, a, a 4, Como cada térmio es igual al aterior más la diferecia será: a = 5; a = 5 + = 7; a = 7 + = 9; a 4 = 9 + = Los cuatro térmios de la progresió será: 5, 7, 9, Se trata de ua progresió aritmética creciete 4

5 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series.. El séptimo térmio de ua sucesió aritmética. es su diferecia es - Determiar el primer térmio. Datos: a 7 = d = - = 7 Icógita: a Se trata de ua progresió aritmética decreciete al ser egativa la diferecia A partir de la fórmula del térmio eésimo a = a + ( - )d, sustituimos los datos = a + (7 - ) (-) = a - 8 de dode + 8 = a por lo tato a =. Los térmios tercero y séptimo so, respectivamete, 0 y 4. Determiar el primer térmio y escribir los tres térmios siguietes. Datos: a = 0; a 7 = 4 Icógitas= a y a,a, a 4 Sustituimos e a = a + ( - )d, los datos para el º y séptimo térmio. Es decir teemos ecuacioes que al sustituir para el tercer y séptimo térmio os queda lo siguiete: a = a + ( - )d para el tercer térmio 0 = a + d a 7 = a + (7 - )d para el sétimo 4 = a + 6d Que costituye u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas que resolvemos restado a la seguda ecuació, la primera (método de reducció) Resultado 4 = 4d de dode d = 4/4 = 6; luego d = 6 Sustituyedo este valor e la primera ecuació resultará: 0 = a + x 6 de dode a = 0 - = - Luego a = - y d = 6 Co estos valores podemos escribir los tres térmios siguietes: a = a + d = = 4 a = a + d = = 0 a 4 = a + d = = 6 Problemas. ) Si e ua sucesió aritmética el décimo séptimo es y el primero es, hallar la razó. ) Cuátos térmios tiee ua sucesió aritmética fiita, cuyo eésimo térmio es, la razó es y su térmio es? ) cuatos múltiplos de 5 hay etre y 58? 4) Si el séptimo térmio de ua sucesió aritmética es 6 y el décimo quito térmio es, escribir los cico primeros térmios de esta sucesió. 5) Cuál es el décimo térmio de la sucesió aritmética 5,, 9,...? 6) El primer térmio de ua sucesió aritmética es y su duodécimo térmio es 44. Hallar la diferecia Comú. 5

6 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. Sucesioes geométricas: Dada ua sucesió, a= a ; a ; a ; a 4; a 5; a 6; tal que térmio cualquiera puede obteerse multiplicado el aterior por la razó costate r. Por ejemplo dada la secesió geométrica creciete a= 5, 0, 0, 40 E dode la razó o multiplicador de cada térmio es. Se puede observar que cada térmio se obtiee por la multiplicació del térmio aterior por. Es decir, a = 5 a = a x= 5x= 0 a = a x= 0x= 0.. Etc E forma geeral teemos; a = ra a = ra = rra =a r a 4 = ra = ra r =a r y así sucesivamete. Etoces el térmio eésimo a se formará de acuerdo a la siguiete regla: a = a r - dode a = al térmio eésimo = úmero atural que expresa el úmero de térmios r = la razó o cociete de dos térmios cosecutivos. Se observa que u térmio cualquiera puede obteerse multiplicado el aterior por la razó costate r, así: a = r a - Tambié puede obteerse observado la ley de formació. Cada térmio es igual al primero multiplicado por la potecia de r cuyo expoete es igual a los térmios que le precede así: a = a r - Ejemplos y ejercicios de Sucesioes geométricas:. El primer térmio de ua sucesió geométrica. es 5; su razó ; escribir los cuatro primeros térmios. Datos: a = 5 r = 6

7 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. Icógitas: a, a, a, a 4, Como cada térmio es igual al aterior multiplicado por la razó, será: a = 5; a = 5 x = 0; a = 0 x = 0; a 4 = 0 x = 40 Los cuatro térmios de la sucesió será: 5, 0, 0, 40. Se trata de ua sucesió geométrica creciete. El quito térmio de ua sucesió geométrica es 486 su razó es. Determiar el primer térmio. Datos: a 5 = 486 r = = 5 Icógita: a Se trata de ua sucesió geométrica creciete al ser la razó mayor que. Escribimos la fórmula del térmio geeral: a = a r - e ella sustituimos los datos 486 = a 5- operado resulta: 486 = a 4 = 8 a de dode a = 486 / 8 =6. Los térmios tercero y quito de ua sucesió geométrica so, respectivamete, 8 y. Determiar el primer térmio y escribir los tres térmios siguietes. Datos: a = 8; a 5 = Icógitas= a y a,a, a 4 A partir de la fórmula del térmio geeral. a = a r - e ella sustituimos los datos aplicádosela al º y séptimo térmio así: a = a r - Que se trasforma e 8 = a r a 5 = a r 5- Que se trasforma e = a r 4 Que costituye u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas que resolvemos elimiado ua icógita y ua ecuació, (método de reducció), dividiedo miembro a miembro ambas ecuacioes resultará: 4 = Traspoiedo térmios: r = ---- r 4 Despejado, r será igual a ± ¼ = ± ½ Sustituyedo e la primera ecuació: 8 = a r resultará 8 = a (± ½) = a (/4) de dode a = Como teemos dos solucioes para la razó, tedremos dos solucioes para el problema: Solució ª para r = ½: a = ; a = 6; a = 8; a 4 = 4 Solució ª para r =-½: a = ; a = -6; a = 8; a 4 =- 4 7

8 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. E el primer caso la sucesió es decreciete por cumplir la desigualdad: 0 < r < E el segudo caso la sucesió es alterada por cumplir la desigualdad: r < 0 SERIES Ua serie es la suma de los térmios de ua sucesió y el valor de dicha suma, si es que tiee alguo es S Lim S E ecoomía estamos iteresados a estudiar las series geométricas ifiitas, de la forma: a La cual se obtiee a partir de u térmio iicial multiplicado por ua catidad costate Pogamos u ejemplo: Ua empresa agrícola que produce u determiado producto ha teido como beeficios el último año por 50,000 pesos y espera que crezca e u % aual para los próximos 8 años. Cuáles so los beeficios previstos para el décimo año y cuales los beeficios totales a lo largo del período? Año Beeficios 0 50, (+.) =50000(.) 50000(.)(+.) = 50000(.) 50000(.) (+.) =50000(.) (.) 7 La suma de esta serie de catidades es la ecuació que escribimos ates. 4 S a Esta serie se llama como hemos dicho SERIE GEOMÉTRICA fiita de razó k. Para ecotrar la suma de la serie, la multiplicamos ambos miembros de la ecuació por la costate k y después despejamos: ks

9 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. efectuamos la resta de esta última co la aterior despejamos S ( k) a lo que os deja S - S S a a( k ), ( k) k Si K= la suma sería S =a (a+a+a+a+a+a+a..) E resume, la suma de ua serie geométrica ifiita será igual a a 4... a( k ), ( k) k Para el ejemplo aterior teemos los siguietes datos; a=50000, k=. y =8. Por lo tato da (.) (.) Series geométricas ifiitas (. ) (.) 4,04,89.6 Supogamos ua sucesió ifiita de úmeros como la siguiete:, ½; ¼, /8, /6 /; E dode para cada térmio de la sucesió se forma dividiedo por a su predecesor, de tal forma que el eésimo térmio es / -. La razó de esta serie es ½, y el primer térmio es a=. Por lo tato teemos la siguiete serie geométrica... E el caso de series geométricas ifiitas para poder ecotrar la suma de la serie cuado tiede a ifiito, es decir para el ejemplo aterior; Lim Cuado más crezca el valor de el térmio tederá a ser cero, por ejemplo para u valor grade como de =00, el termio es aproximadamete 7.8x0 -, u valor muy cercao a cero. E forma geeral para el caso de series ifitas: S a( k ), ( k) k cuado, depede de k Si el valor de K esta etre -< k < el limite tiede cero. Mietras que; si k ó k o tiee límite. 9

10 R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. E resume, si k <, la suma de los térmios de S tederá al límite a cuado (- k) tiede a ifiito. Este límite es por defiició la suma ifiita, y esta es covergete. Por lo cotrario si k, la serie ifiita es divergete. Problemas.. Ecuetre la suma de las serie S.... Estudiar la covergecia de las series geométricas siguietes y calcular la suma de las que tega. a.... p p p k=/p b.... x ( x) ( x) k=/(+x) Bibliografía Herádez, Héctor, Núñez Luis. Sucesioes y Series: ocioes básicas. Notas Prelimiares, [e líea] Uiversidad de los Ades, Mérida, José Darío Sáchez Herádez, SUCESIONES Y SERIES, [e líea] SUCESIONES Y SERIES. México. 0