Práctica 1.- Sucesiones y series

Transcripción

1 Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría de los casos, calcular el límite de ua sucesió y la suma de ua serie, respectivamete. Asimismo el programa Mathematica os facilita el estudio de sucesioes recurretes.. - Sucesioes de úmeros reales Ejercicio. Estudiar la sucesió de térmio geeral a = 3 +. Defiimos la sucesió I[]:= 3 a@_d := + Geeramos ua tabla co los 0 primeros térmios de la sucesió I[3]:= termios = Table@a@D, 8,, 0<D Out[3]= : 3, 3 5, 3 0, 3 7, 3 6, 3 37, 3 50, 3 65, 3 8, 3 0, 3, 3 45, 3 70, 3 97, 3 6, 3 57, 3 90, 3 35, 3 36, 3 40 > I[4]:= Table@a@D, 8,, 0<D êê N Out[4]= 8.5, 0.6, 0.3, , , , 0.06, , , , , , , , , , , , , < Los visualizamos gráficamete

2 Practica_Sucesioes_Series.b I[5]:= PlotStyle > PlotRage AllD.4..0 Out[5]= Tambié podemos hallar u térmio cualquiera de la sucesió : I[6]:= a@3d Out[6]= 3 0 I[7]:= a@3d Out[7]= 3 96 Gráficamete se observa que la sucesió es decreciete, acotada y que tiede a 0. Veamos como podemos estudiar estos aspectos co Mathematica. Crecimieto : I[8]:= Simplify@a@D a@ + DD Out[8]= H + L El programa o os da iformació sobre si la desigualdad plateada es cierta o o. Esto es debido, etre otras cosas, a que el programa o recooce a la variable como u úmero atural. La siguiete istrucció resuelve este problema. I[9]:= Simplify@a@D a@ + D, Itegers Ï > 0D Out[9]= True Acotació:

3 Practica_Sucesioes_Series.b 3 I[0]:= Simplify@0 a@d.5, Itegers Ï > 0D Out[0]= True Límite : I[]:= Limit@a@D, D Out[]= 0 Tambié podemos utilizar variables como subídices. De esta forma, la sucesió aterior podría defiirse como 3 I[]:= a _ := + Esto os permite utilizar la misma termiología que habitualmete usamos e clase, auque si utilizamos esta otació e Mathematica hemos de teer mucho cuidado al escribir los subídices. Ejemplo. Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral b = 3 +p Defiimos la sucesió I[3]:= b _ := 3 +π Calculamos su límite I[5]:= Limit@b, D Out[5]= 0 Ejemplo.3 Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral c = cosh pl Defiimos la sucesió I[6]:= c _ := Cos@ πd Calculamos su límite co Mathematica I[8]:= Limit@c, D Out[8]= Iterval@8, <D E este caso Mathematica o es capaz de daros el valor del límite debido a que se trata de ua sucesió oscilate, es decir,

4 4 Practica_Sucesioes_Series.b que tiee dos subsucesioes co distito límite (por tato, la sucesió o será covergete). Estudiemos la sucesió de térmios pares : I[9]:= c Out[9]= Cos@ πd Observemos que Mathematica o idetifica cos(p) =. Esto se debe a que, como hemos cometado ateriormete, el programa o recooce a la variable como u úmero atural. Para ello debemos utilizar la istrucció : I[0]:= Simplify@c, Itegers Ï > 0D Out[0]= Ahora tambié podemos calcular su límite I[]:= Limit@Simplify@c, Itegers Ï > 0D, D Out[]= Estudiemos ahora la sucesió de térmios impares : I[]:= c Out[]= Cos@H + L πd I[3]:= Simplify@c, Itegers Ï > 0D Out[3]= I[4]:= Limit@Simplify@c, Itegers Ï > 0D, D Out[4]= La sucesió {c } admite dos subsucesioes que tiee distito límite. Por tato la sucesió es oscilate.. - Sucesioes recurretes Ejemplo.4 Estudiar la sucesió recurrete dada por x =, x = x - -x -. Defiimos la sucesió

5 Practica_Sucesioes_Series.b 5 I[5]:= x@d := x@_d := x@ D x@ D Ahora podemos determiar cualquier térmio de la sucesió (o u valor aproximado del mismo). I[8]:= x@d Out[8]= I[9]:= x@d êên Out[9]= I[30]:= x@5d Out[30]= I[3]:= N@x@5D, 0D Out[3]= Visualizamos gráficamete los térmios de la sucesió I[3]:= termios := Table@x@D, 8,, 0<D ListPlot@termios, PlotStyle PoitSize@0.05DD Out[33]= Gráficamete se observa que la sucesió es creciete y que está acotada y, por tato, será covergete. Si tratamos de calcular el límite de la sucesió {x } mediate la istrucció Limit el programa queda imerso e u proceso recursivo ifiito y o es capaz de daros el valor del límite.

6 6 Practica_Sucesioes_Series.b > D HSe quedaría bloqueado...l E estos casos, para calcular el límite de la sucesió hemos de seguir el procedimieto visto e clase. Si llamamos L al límite de la sucesió, etoces debe cumplirse que L =L -L. Ahora podemos pedirle a Mathematica que os resuelva esta ecuació. I[34]:= SolveAL == L L,LE Solve::ifu : Iverse fuctios are beig used by Solve, so some solutios may ot be foud; use Reduce for complete solutio iformatio. à Out[34]= 88L 0<, 8L << I[35]:= ReduceAL == L L,LE Out[35]= HC@D Itegers && L + πc@dl»» L 0 Las úicas solucioes reales de la ecuació aterior so L = 0yL=. Como x = y la sucesió x es creciete descartamos L = 0 como límite, y por tato el límite es L = Ejemplo.5 Estudiar la sucesió de Fiboacci dada por x =, x =, x + = x + x +. Defiimos la sucesió I[36]:= x = ; x = ; x _ := x + x Calculamos alguos térmios I[40]:= termios = Table@x, 8,, 0<D Out[40]= 8,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55<

7 Practica_Sucesioes_Series.b 7 I[4]:= ListPlot@termios, PlotStyle PoitSize@0.05DD Out[4]= Se trata de ua sucesió estrictamete creciete y que o está acotada, por lo que será divergete.. - Series de úmeros reales Ejemplo. Probar que la serie +3 - Defiimos el térmio geeral de la serie es covergete. Calcular su suma. I[4]:= a _ := + 3 Se trata de ua serie de térmios positivos.para estudiar su covergecia procedemos como sigue. Codició ecesaria de covergecia I[44]:= Limit@a, D Out[44]= 0 La serie puede ser covergete. Criterio del cociete I[45]:= LimitB a +, F a Out[45]= Etoces el criterio del cociete o decide. Apliquemos el criterio de comparació por paso al límite:

8 8 Practica_Sucesioes_Series.b I[46]:= b _ := I[47]:= LimitB a, F b Out[47]= Como el límite es u úmero real positivo las series a y b tiee el mismo carácter. Puesto que b = es covergete, tambié lo será a = Calculamos su suma (Mathematica puede calcula el valor exacto de la suma de diferetes tipos de series) I[48]:= + 3 Out[48]= H3 + Log@4DL 0 I[49]:= NB F + 3 Out[49]= Ejemplo. Probar que la serie es covergete.calcular su suma a partir de la sucesió de sumas parciales. Defiimos el térmio geeral de la serie I[50]:= a _ := Se trata de ua serie de térmios positivos.para estudiar su covergecia procedemos como sigue. Codició ecesaria de covergecia I[5]:= Limit@a, D Out[5]= 0 La serie puede ser covergete.

9 Practica_Sucesioes_Series.b 9 Criterio del cociete I[53]:= LimitB a +, F a Out[53]= Como el límite es L= < el criterio del cociete garatiza que la serie es covergete. Calculemos la sucesió de sumas parciales: I[54]:= s _ = k= a k Out[54]= I + + M Mathematica os facilita e este caso ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió {s } de sumas parciales. Ahora podemos calcular el valor de la suma de la serie estudiado el límite de la sucesió {s }. I[55]:= Limit@s, D Out[55]= Log@4D Log@D I[56]:= FullSimplify@%D Out[56]= Etoces la serie tiee como suma S =. El valor de la suma tambié podría haberse obteido directamete I[57]:= Out[57]= Ejemplo.3 Probar que la serie = es covergete.calcular su suma. lhl Defiimos el térmio geeral de la serie I[58]:= a _ := Log@D Se trata de ua serie de térmios positivos.para estudiar su covergecia procedemos como sigue.

10 0 Practica_Sucesioes_Series.b Codició ecesaria de covergecia I[60]:= D Out[60]= 0 La serie puede ser covergete. Criterio de la raíz I[6]:= LimitB a, F Out[6]= 0 Como el límite es L=0 < el criterio de la raíz garatiza que la serie es covergete. Calculemos la sucesió de sumas parciales: I[6]:= s _ = k= a k Out[6]= k= Log@kD k E este caso, Mathematica o ha sido capaz de daros ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió {s } de sumas parciales. I[63]:= a = Out[63]= = Log@D El programa Mathematica tampoco ha podido daros el valor exacto de la suma. Si embargo, podemos pedirle que os de u valor aproximado usado el comado N. I[64]:= NB a F = Out[64]= 3.46 Si bie el comado N puede serviros e la mayoría de los casos, para obteer u valor aproximado de la suma de ua serie el programa Mathematica icorpora la istrucció NSum@a, 8, mi, max <D I[65]:= NSum@a, 8,, <D Out[65]= 3.46

11 Practica_Sucesioes_Series.b Ejemplo.4 Calcular u valor aproximado de la suma de las siguietes series: a) I- 4 M I - + M Valor aproximado I[66]:= NSumB 4 I + M, 8,, <F Out[66]= 0.3 Valor exacto I[67]:= - 4 I - + M Out[67]= 9 5 H-L b) 3 - Valor aproximado I[68]:= NSumB H L, 8,, <F 3 Out[68]= Valor exacto I[69]:= H-L 3 - Out[69]= J 3 π 3 Log@DN 9 I[70]:= H-L NB 3 - F Out[70]=

12 Practica_Sucesioes_Series.b c) !-3 Valor aproximado I[7]:= NSumB , 8,, <F! 3 Out[7]= Valor exacto I[7]:= !-3 Out[7]= ! E este caso Mathematica o es capaz de obteer el valor exacto de la serie Ejercicios propuestos.-dada la sucesió de térmio geeral a =, se pide : -7 a) Escribir los 0 primeros térmios y represetarlos gráficamete. b) Estudiar el crecimieto y la acotació, c) Calcular el límite..-probar que la sucesió de térmio geeral b = sei H -L p M 4 oscilate, estudiado las subsucesioes 8b < y 8b - <. es H -L 3.- Calcular lim Æ I M. 4.- Estudiar la sucesió recurrete dada por x = a,

13 Practica_Sucesioes_Series.b 3 x + = 4 + x, Œ N, para los valores de a=,, Obteer la suma de a) los primeros úmeros aturales, b) los primeros úmeros impares. 6.- Probar que las siguietes series so covergetes. Calcular el valor de la suma o, e su caso, u valor aproximado. al H L 5 3 bl cl 3! 7.-Comprobar que la serie es telescópica. H4 -L H4 +3L Calcular su suma de las dos formas siguietes: a) utilizado la fórmula para sumar ua serie telescópica, b) directamete co el programa Mathematica. 8.-Probar que la serie H-L SiA p E es covergete. Hallar el valor de la suma o, e su caso, u valor aproximado.