TALLER DEL CENTRO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS

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1 TALLER DEL CENTRO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS Series Ifiitas de Números y Fucioes Guillermo Romero Melédez Departameto de Actuaría, Física y Matemáticas ü 1. SERIES DE NÚMEROS ü La serie =0 a = a 0 + a 1 + a a +... es covergete si la sucesió: S = a 0 + a 1 + a a tiee límite L cuado Æ, y e este caso se escribe: =0 a = L y se dice que L es la suma de la serie =0 a ü 1.1 CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES E esta secció euciaremos los pricipales criterios de covergecia de las series de úmeros y e la siguiete secció daremos ejemplos, siguiedo el orde que se acoseja usar e los ejercicios. a) Si la serie a es covergete, etoces a Æ 0. Cómo se usa? Se calcula lim a b) Series cuya suma o covergecia se cooce. = L y si L π 0, la serie diverge.

2 2 Taller Series Ifiitas de Números y Fucioes.b b1) La serie geométrica: =0 r = 1 + r + r r +... coverge si y sólo si -1 < r < 1, y e este caso =0 r = 1 ê(1-r) b2) La serie p: =0 1 ë p = ë 2 p + 1 ë 3 p ë p +... coverge si y sólo si p > 1. c) Criterios de comparació. Se costruye ua ueva serie, co los térmios domiates de la serie origial, y cuya covergecia se coozca (por ser ua serie geométrica o ua serie p, o ua serie cuyo térmio a o tiede a 0). c1) Criterio básico de comparació. Si a y b so series de térmios o egativos, se tiee: i) a b y b es covergete fi a es covergete. ii) a b y a es divergete fi b es divergete. c2) Criterio de comparació del límite. Si a y b so series de térmios positivos, se tiee: Si a / b Æ L > 0, ambas series a y b coverge, o ambas diverge. d) Prueba de la Itegral. ü Se utiliza cuado ua parte del térmio a es la derivada de otra parte de ese térmio. Si f(x) es cotiua, positiva y decreciete e [1, ) y a = f(), etoces: =1 a coverge ñ Ÿ 1 f HxL x coverge. e) Covergecia Absoluta a coverge fi a coverge f) Criterio de Leibiz

3 Taller Series Ifiitas de Números y Fucioes.b 3 Si a es decreciete y a Æ 0, etoces H-1L a coverge g) Criterio de la Razó. Si a +1 / a Æ L, se tiee: i) L < 1 fi a es absolutamete covergete. ii) L > 1 o L = fi a es divergete. h) Criterio de la Raíz. Si a Æ L, se tiee: i) L < 1 fi a es absolutamete covergete. ii) L > 1 o L = fi a es divergete. ü 1.2 EJEMPLOS E esta secció presetaremos ejemplos de la aplicació de los criterios ateriores. EJEMPLO 1: Determiar si la siguiete serie es covergete o divergete: =0 SiH1êL Solució: La comparamos co la serie: =0 1ê, la cual es ua p serie, co p =1 y por lo tato diverge. Utilizamos el criterio de covergecia del límite: lim a ê b = CosH0L = 1 > 0, lim SiH1 ê L êh1 ê L = lim CosH1 ê L I 1 ë 2 M ë I 1 ë 2 M = por lo tato ambas series diverge. EJEMPLO 2: Determiar si la siguiete serie es covergete o divergete: =1 H1-1êL 2 Solució: Utilicemos el criterio de la raíz:

4 4 Taller Series Ifiitas de Números y Fucioes.b lim a = lim H1 1 ê L 2 = lim H1 1 ê L = e 1 < 1 por lo tato la serie coverge.

5 Taller Series Ifiitas de Números y Fucioes.b 5 ü 2. SERIES DE FUNCIONES (SERIES DE POTENCIAS) ü Las series de potecias so de la forma: =0 c Hx - al = c 0 + c 1 (x - a) + c 2 Hx - al c Hx - al +... y e geeral coverge e u itervalo (a - R, a + R), y al úmero R se le llama radio de covergecia. Se demuestra que si ua fució f(x) se represeta como ua serie de potecias, etoces: c = f HL (a)/! La serie obteida: =0 f HL HaLë! Hx - al se llama Serie de Taylor de f(x) e a, y si a = 0 la serie de potecias se llama Serie de Mac Lauri de f(x). Si la suma e la serie de Taylor llega solamete hasta la potecia, se llama Poliomio de Taylor y se deota por T (x): T (x) = f HaL + f HaLHx - al + f HaLë2! Hx - al f HL HaL ë! Hx - al A la diferecia de f(x) y T (x) se le llama Residuo de la Serie de Taylor y se deota por R (x): R (x) = f(x) - T (x). Si R (x) Æ 0, cuado Æ, para x e (a-r, a+r), el itervalo de covergecia de la series, etoces la fució es igual a su serie de Taylor e ese itervalo. U desigualdad útil para probar esto último es la Desigualdad de Taylor: R HxL M êh + 1L! x - a +1, co M u úmero que cumple: f H+1L HxL M, para x e (a-r, a+r). Las series de potecias puede derivarse e itegrarse térmio a térmio e su itervalo de covergecia. ü 2.1 EJEMPLOS E esta secció presetaremos ejemplos de series de Taylor y de Mac Lauri. EJEMPLO 3: Calcular la serie de Taylor de la fució: f(x) = 1/x = x -1, e a = 2. Calcular su radio de covergecia.

6 6 Taller Series Ifiitas de Números y Fucioes.b Solució: f(a) = 1/2 = 2-1 f (x) = - x -2, f (a) = f (x) = 2 x -3, f (a) = f (x) = - 2 3x -4, f (a) = f HL (x) = H-1L! x -H+1L, f HL (2) = H-1L! 2 -H+1L y la serie de Taylor es: =0 H-1L 2 -H+1L Hx - 2L Para calcular el radio de covergecia, utilizamos el criterio de la raíz: a = 2 H+1L x 2 = x-2 / (2 2 ) Ø x-2 / 2 < 1, si x-2 < 2. R =2. EJEMPLO 4: Expresar como serie de potecias la fució: (1 + x)/ H1 - xl 2 y calcular su radio de covergecia. Solució: Sabemos de la serie geométrica: =0 x = 1/(1-x) = H1 - xl -1, si x < 1. Derivado co respecto a x obteemos: 1/H1 - xl 2 = =1 x -1 por lo tato: (1+x)/H1 - xl 2 = (1+x) =1 x -1 = =1 x -1 + x =1 x -1 = (1+ 2 x + 3 x x ) + (x + 2 x x ) = x + 5 x x = =0 H2 + 1L x, si x < 1, R =1 Series@H1 + xlêh1 xl^2, 8x, 0, 10<D 1 + 3x+ 5x 2 + 7x 3 + 9x x x x x x x 10 + O@xD 11